Matriisien diagonalisointi 
Ellinoora Luostarinen 
LuK-tutkielma 
Tammikuu 2025 
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
 Turun yliopiston laatujärjestelmän mukaisesti tämän julkaisun alkuperäisyys on tar- 
kastettu Turnitin OriginalityCheck-järjestelmällä
 TURUN YLIOPISTO 
Matematiikan ja tilastotieteen laitos 
Ellinoora Luostarinen : Matriisien diagonalisointi 
LuK-tutkielma, 11 s. 
Matematiikka 
Tammikuu 2025
Tässä tutkielmassa käsitellään matriisien ominaisvektoreita, ominaisarvoja sekä ka- 
rakteristisia yhtälöitä. Tämä kaikki huipentuu tutkielman pääaiheeseen eli viimei- 
sessä luvussa esitettyyn matriisien diagonalisointiin. Tutkielma sisältää aiheelle olen- 
naisia tuloksia sekä niitä havainnollistavia esimerkkejä. 
Asiasanat: matriisi, ominaisvektori, ominaisarvo, karakteristinen yhtälö, similaari- 
suus, diagonalisointi.

 Sisällys 
1 Johdanto 1 
2 Ominaisvektorit ja ominaisarvot 1 
3 Karakteristinen yhtälö 4 
3.1 Similaarisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
4 Diagonalisointi 6 
4.1 Matriisien diagonalisointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

 1 Johdanto 
Matriisilaskennan kehittymisen katsotaan alkaneen 1600-luvulla, kun René Descar- 
tes kehitti karteesisen koordinaatiston. Tämä loi pohjan vektori- ja matriisiesityk- 
sille. Ominaisarvojen ja karakteristisen polynomin historia juontaa juurensa 1800- 
luvulle, kun Augustin Cauchy otti käyttöönsä karakteristisen polynomin sekä muo- 
toili ominaisarvo-ongelman. Samaan aikaan James Sylvester loi termin ’matriisi’, 
mikä johti ensimmäisiin lineaarialgebran systemaattisiin tutkimuksiin [2]. 
Matriisien diagonalisoinnin sovelluksilla on runsaasti käyttökohteita eri tieteena- 
loilla. Diagonalisoinnin avulla pystytään yksinkertaistamaan monimutkaisia yhtä- 
löitä, koska niistä on helppo selvittää matriisien ominaisarvot sekä ominaisvektorit. 
Tätä voidaan käyttää hyödyksi esimerkiksi ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä. Tut- 
kielman aihe on rajattu reaalimatriiseihin. 
Tutkielman toisessa luvussa käsitellään ominaisvektoreita sekä ominaisarvoja. 
Luvun alussa esitetään määritelmä ominaisvektoreille ja -arvoille. Määritelmää seu- 
raa havainnollistavat esimerkit. Kolmannessa luvussa käsitellään karakteristista yh- 
tälöä. Luku alkaa yksinkertaisella esimerkillä, jonka jälkeen siirrytään yleiseen ta- 
paukseen. 
Viimeisessä luvussa käsitellään tutkielman pääaihetta eli matriisien diagonali- 
sointia. Se alkaa kahdella esimerkillä, jotka havainnollistavat diagonaalimatriisien 
potenssien laskemista. Luvussa myöhemmin esitetyn lauseen avulla saadaan jaettua 
diagonalisoinnin vaiheet neljään askeleeseen. Matriisin diagonalisointiin liittyvässä 
esimerkissä 9 käytetään aiempien lukujen tuloksia hyödyksi. Tällöin tutkielman ai- 
heiden liittyminen toisiinsa konkretisoituu lukijoille. 
Tutkielman lukijoilta edellytetään lineaarialgebran perustuntemusta. Tämä tar- 
koittaa esimerkiksi determinantin laskemisen, matriisien laskutoimitusten sekä mat- 
riisilaskennan peruskäsitteiden tuntemista. Tutkielman päälähteenä käytetään D.C. 
Layn, S.R. Layn ja J.J. McDonaldin kirjaa Linear Algebra and Its Applications 
[1]. Toisena lähteenä käytetään Frank Uhligin teosta The Eight Epochs of Math as 
regards past and future Matrix Computations [2]. 
2 Ominaisvektorit ja ominaisarvot 
Lineaarinen muunnos x ↦→ A x voi siirtää vektoreita moniin eri suuntiin. Usein 
on kuitenkin olemassa vektoreita, joihin matriisi A vaikuttaa hyvin yksinkertaisella 
tavalla. 
Määritelmä 1. Olkoon A n × n -matriisi. Kompleksilukua λ sanotaan matriisin A 
ominaisarvoksi ja vektoria x ̸ = 0 sitä vastaavaksi ominaisvektoriksi, jos
A x = λ x .
Esimerkki 1. Olkoon A = 
(︃
1 6 
5 2 
)︃ 
, u = 
(︃ 
6 
− 5 
)︃ 
ja v = 
(︃ 
3 
− 2 
)︃ 
. Ovatko vektorit 
u ja v matriisin A ominaisvektoreita? 
Lasketaan
A u = 
(︃
1 6 
5 2 
)︃ (︃ 
6 
− 5 
)︃ 
= 
(︃− 24 
20 
)︃ 
= − 4 
(︃ 
6 
− 5 
)︃ 
= − 4 u 
1
 ja
A v = 
(︃
1 6 
5 2 
)︃ (︃ 
3 
− 2 
)︃ 
= 
(︃− 9 
11 
)︃ 
̸ = λ 
(︃ 
3 
− 2 
)︃ 
.
Näin ollen u on matriisin A ominaisvektori, joka vastaa ominaisarvoa ( − 4) . Vektori 
v ei ole matriisin A ominaisvektori, koska A v ei ole vektorin v monikerta. 
Esimerkki 2. Osoita, että skalaari 7 on matriisin A ominaisarvo esimerkissä 1 ja 
etsi sitä vastaavat ominaisvektorit. 
Skalaari 7 on matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos yhtälöllä
A x = 7 x (1)
on ei-triviaali ratkaisu. 
Yhtälö 1 on ekvivalentti yhtälön A x − 7 x = 0 kanssa. Näin ollen
( A − 7 I ) x = 0 . (2)
Tämän homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi muodostetaan matriisi
A − 7 I = 
(︃
1 6 
5 2 
)︃ 
− 
(︃
7 0 
0 7 
)︃ 
= 
(︃− 6 6 
5 − 5 
)︃ 
.
Matriisin A − 7 I sarakkeet ovat selvästi lineaarisesti riippuvia, joten yhtälöllä 2 on 
ei-triviaaleja ratkaisuja. 
Näin ollen 7 on matriisin A ominaisarvo. Ominaisvektoreiden löytämiseksi käytetään 
rivioperaatioita (︃− 6 6 0 
5 − 5 0 
)︃ 
∼ 
(︃
1 − 1 0 
0 0 0 
)︃ 
.
Yleinen ratkaisu on muotoa x2 
(︃
1 
1 
)︃ 
. Jokainen tämän muotoinen vektori, jossa x2 ̸ = 
0 , on ominaisvektori ja vastaa ominaisarvoa λ = 7 . 
Yhtälöiden 1 ja 2 ekvivalenssi pätee mille tahansa ominaisarvolle λ . Näin ollen 
λ on n × n -matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos yhtälöllä
( A − λI ) x = 0 (3)
on ei-triviaali ratkaisu. Yhtälön 3 kaikkien ratkaisujen joukko muodostaa matriisin 
A − λI nolla-avaruuden. Tämä joukko on avaruuden Rn aliavaruus. Sitä kutsutaan 
matriisin A ominaisavaruudeksi , joka vastaa sen ominaisarvoa λ . Ominaisavaruus 
koostuu nollavektorista ja kaikista ominaisarvoa vastaavista ominaisvektoreista. 
Esimerkissä 3 osoitetaan, että esimerkin 1 matriisin A ominaisarvoa λ = 7 vastaava 
ominaisavaruus sisältää kaikki vektorin (1 , 1) monikerrat. Tällöin ominaisavaruus on 
siis suora, joka kulkee origon ja pisteen (1 , 1) kautta. 
2
 Esimerkki 3. Olkoon
A = 
⎛ ⎝ 4 − 1 6 2 1 6 
2 − 1 8 
⎞ ⎠ .
Matriisilla A on ominaisarvo 2 . Etsi kanta vastaavalle ominaisavaruudelle. 
Muodostetaan
A − 2 I = 
⎛ ⎝ 4 − 1 6 2 1 6 
2 − 1 8 
⎞ ⎠ − 
⎛ ⎝ 2 0 0 0 2 0 
0 0 2 
⎞ ⎠ = 
⎛ ⎝ 2 − 1 6 2 − 1 6 
2 − 1 6 
⎞ ⎠ .
Rivimuunnetaan laajennettu matriisi yhtälölle ( A − 2 I ) x = 0 :⎛ ⎝ 2 − 1 6 0 2 − 1 6 0 
2 − 1 6 0 
⎞ ⎠ ∼ 
⎛ ⎝ 2 − 1 6 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 
⎞ ⎠ .
Yleinen ratkaisu on ⎛ ⎝ x1 x2 
x3 
⎞ ⎠ = x2 
⎛ ⎝ 1 / 2 1 
0 
⎞ ⎠ + x3 
⎛ ⎝ − 3 0 
1 
⎞ ⎠ ,
missä x2 ja x3 ovat vapaita muuttujia. Kanta on siis⎧ ⎨ ⎩ 
⎛ ⎝ 1 2 
0 
⎞ ⎠ , 
⎛ ⎝ − 3 0 
1 
⎞ ⎠ ⎫ ⎬ ⎭ .
Lause 1. Jos v1 , ..., vr ovat n × n -matriisin A ominaisvektoreita, jotka vastaavat 
erillisiä ominaisarvoja λ1 , ..., λr, niin joukko { v1 , ..., vr } on lineaarisesti riippuma- 
ton. 
Todistus. Oletetaan, että { v1 , ..., vr } on lineaarisesti riippuva. Koska v1 on nollasta 
poikkeava, niin jokin joukon vektoreista on edeltävien vektoreiden lineaarikombinaa- 
tio. Olkoon p pienin indeksi, jolle pätee vp +1 on edeltävien lineaarisesti riippumatto- 
mien vektoreiden lineaarikombinaatio. Tällöin on olemassa skalaarit c1 , ..., cp, joille 
pätee
c1v1 + ... + cpvp = vp +1 . (4)
Kertomalla yhtälön 4 molemmat puolet matriisilla A ja hyödyntämällä tietoa A vk = 
λkvk jokaiselle k , saadaan
c1 A v1 + ... + cp A vp = A vp +1 (5) 
c1 λ1v1 + ... + cp λpvp = λp +1vp +1 . (6)
Kertomalla yhtälön 4 molemmat puolet kompleksiluvulla λp +1 ja vähentämällä tu- 
loksen yhtälöstä 6, saadaan
c1( λ1 − λp +1) v1 + ... + cp( λp − λp +1) vp = 0 . (7)
Koska { v1 , ..., vp } on lineaarisesti riippumaton, niin kaikki kertoimet yhtälössä 7 
ovat nollia. Yksikään tekijöistä λi − λp +1 ̸ = 0 , koska ominaisarvot eroavat toisistaan 
ja ci = 0 kaikille i = 1 , ..., p . Jos ci = 0 , niin yhtälö 4 sanoo, että vp +1 = 0 . Tämä 
johtaa ristiriitaan, joten joukko { v1 , ..., vr } on lineaarisesti riippumaton.
3
 3 Karakteristinen yhtälö 
Neliömatiisin A ominaisarvoista saadaan hyödyllistä tietoa sen karakteristisesta yh- 
tälöstä. Yleisen tapauksen ymmärtämiseksi tarkastellaan ensin yksinkertaista esi- 
merkkiä. 
Esimerkki 4. Etsi matriisin
A = 
(︃
2 3 
3 − 6 
)︃
ominaisarvot. 
On löydettävä kaikki kompleksiluvut λ siten, että matriisiyhtälöllä
( A − λI ) x = 0
on ei-triviaali ratkaisu. Säännöllisten matriisien ominaisuuksien perusteella on siis 
löydettävä kaikki kompleksiluvut λ , joilla matriisi A − λI ei ole säännöllinen, missä
A − λI = 
(︃
2 3 
3 − 6 
)︃ 
− 
(︃
λ 0 
0 λ 
)︃ 
= 
(︃
2 − λ 3 
3 − 6 − λ 
)︃ 
.
Matriisi A − λI ei ole säännöllinen täsmälleen silloin, kun sen determinantti on nolla. 
Matriisin A ominaisarvot ovat yhtälön
det( A − λI ) = det 
(︃
2 − λ 3 
3 − 6 − λ 
)︃ 
= 0
ratkaisut. Tiedetään, että
det 
(︃
a b 
c d 
)︃ 
= ad − bc,
jolloin
det( A − λI ) = (2 − λ )( − 6 − λ ) − (3)(3) 
= − 12 + 6 λ − 2 λ + λ2 − 9 
= λ2 + 4 λ − 21 
= ( λ − 3)( λ + 7) .
Jos det( A − λI ) = 0 , niin λ = 3 tai λ = − 7 . Matriisin A ominaisarvot ovat siis 3 ja 
− 7 . 
Yhtälöä det( A − λI ) = 0 kutsutaan matriisin A karakteristiseksi yhtälöksi. Voi- 
daan todeta (vrt. Esimerkkiä [4]), että λ on matriisin A ominaisarvo jos ja vain jos 
λ toteuttaa karakteristisen yhtälön
det( A − λI ) = 0 .
4
 Esimerkki 5. Etsi matriisin
A = 
⎛ ⎜⎜⎝ 
5 − 2 6 1 
0 3 − 8 0 
0 0 5 4 
0 0 0 1 
⎞ ⎟⎟⎠
karakteristinen yhtälö. 
Muodostetaan A − λI . Determinanttien ominaisuuksien perusteella saadaan
det( A − λI ) =det 
⎛ ⎜⎜⎝ 
5 − λ − 2 6 − 1 
0 3 − λ − 8 0 
0 0 5 − λ 4 
0 0 0 1 − λ 
⎞ ⎟⎟⎠ 
=(5 − λ )(3 − λ )(5 − λ )(1 − λ ) .
Karakteristinen yhtälö on
(5 − λ )2(3 − λ )(1 − λ ) = 0
tai
( λ − 5)2( λ − 3)( λ − 1) =0
eli
λ4 − 14 λ3 + 68 λ2 − 130 λ + 75 =0 .
Esimerkeissä 4 ja 5, det( A − λI ) on polynomi muuttujan λ suhteen. Jos A on 
n × n -matriisi, niin voidaan osoittaa, että det( A − λI ) on astetta n oleva polynomi. 
Sitä kutsutaan matriisin A karakteristiseksi polynomiksi . 
Esimerkissä 5 ominaisarvolla 5 sanotaan olevan kertaluku 2 , koska tekijä ( λ − 5) 
esiintyy karakteristisessa polynomissa kaksi kertaa. Yleisesti matriisin A ominaisar- 
von λ algebrallinen kertaluku on sen kertaluku matriisin A karakteristisen polynomin 
nollakohtana. 
Esimerkki 6. Olkoon 6 × 6 matriisin karakteristinen polynomi on λ6 − 4 λ5 − 12 λ4. 
Etsi ominaisarvot ja niiden kertaluvut. 
Jaetaan polynomi tekijöihin
λ6 − 4 λ5 − 12 λ4 = λ4( λ2 − 4 λ − 12) = λ4( λ − 6)( λ + 2) .
Ominaisarvot ovat 0 kertaluvulla 4 , 6 kertaluvulla 1 ja − 2 kertaluvulla 1 . 
Esimerkin 6 ominaisarvot voitaisiin luetella myös muodossa 0 , 0 , 0 , 0 , 6 , − 2 , jossa 
ominaisarvot toistuvat niiden kertalukujen mukaisesti. 
Karakteristinen yhtälö on tärkeä teoreettisista syistä. Käytännön laskennassa minkä 
tahansa yli 2 × 2 matriisin ominaisarvot tulisi selvittää tietokoneella, ellei matriisi 
ole kolmiomatriisi tai sillä ole muita erityisominaisuuksia. Vaikka 3 × 3 matriisin 
karakteristinen polynomi on helppo laskea käsin, sen tekijöihin jakaminen saattaa 
olla hankalaa, mikäli matriisi ei ole tarkoin valittu. 
5
 3.1 Similaarisuus 
Lause 2 havainnollistaa yhtä karakteristisen polynomin käyttötapaa ja muodostaa 
perustan useille iteratiivisille menetelmille, jotka approksimoivat ominaisarvoja. Ol- 
koot A ja B n × n -matriiseja. Matriisi A on similaarinen matriisin B kanssa, jos on 
olemassa säännöllinen matriisi P , jolle pätee P − 1 AP = B . Merkitsemällä Q = P − 1, 
saadaan Q− 1 = B Q = A . Näin ollen, myös B on similaarinen matriisin A kanssa. 
Voidaan siis todeta, että A ja B ovat similaarisia. Matriisin A muuttamista muotoon 
P − 1 AP kutsutaan similaarisuusmuunnokseksi. 
Lause 2. Jos n × n -matriisit A ja B ovat similaarisia, niin niillä on sama karak- 
teristinen polynomi ja näin ollen samat ominaisarvot ja niiden kertaluvut. 
Todistus. Todistamme tässä vain sen, että ominaisarvot ovat samat similaarisilla 
polynomeilla. Jos B = P − 1 AP , niin
B − λI = P − 1 AP − λP − 1 P = P − 1( AP − λP ) = P − 1( A − λI ) P .
Determinanttien kertolaskun ominaisuuden perusteella saadaan
det( B − λI ) = det( P − 1( A − λI ) P ) = det( P − 1) det( A − λI ) det( P ) . (8)
Koska
det( P − 1) det( P ) = det( P − 1 P ) = det I = 1 ,
niin yhtälöstä 8 nähdään, että
det( B − λI ) = det( A − λI ) .
4 Diagonalisointi 
Monissa tapauksissa matriisin A sisältämä tieto ominaisarvoista sekä -vektoreista 
voidaan esittää hyödyllisessä tulomuodossa A = P D P − 1, missä D on diagonaa- 
limatriisi. Tässä luvussa huomataan, miten tulomuoto mahdollistaa matriisin po- 
tenssien Ak laskemisen suurilla arvoilla k , joka on perusidea useissa lineaarialgebran 
sovelluksissa. Esimerkki 7 havainnollistaa, että diagonaalimatriisien potenssien las- 
keminen on helppoa. 
Esimerkki 7. Jos
D = 
(︃
5 0 
0 3 
)︃ 
,
niin
D2 = 
(︃
5 0 
0 3 
)︃ (︃
5 0 
0 3 
)︃ 
= 
(︃
52 0 
0 32 
)︃ 
6
 ja
D3 = D D2 = 
(︃
5 0 
0 3 
)︃ (︃
52 0 
0 32 
)︃ 
= 
(︃
53 0 
0 33 
)︃ 
.
Yleisesti
D k = 
(︃
5k 0 
0 3k 
)︃ 
,
kaikille k ≥ 1 . 
Jos A = P D P − 1 jollekin säännölliselle matriisille P ja diagonaalimatriisille D , 
niin myös Ak on helppo laskea. Tämä osoitetaan esimerkissä 8. 
Esimerkki 8. Olkoon A = 
(︃ 
7 2 
− 4 1 
)︃ 
. Etsi kaava potenssille Ak. On annettu, että 
A = P D P − 1, missä P = 
(︃ 
1 1 
− 1 − 2 
)︃ 
ja D = 
(︃
5 0 
0 3 
)︃ 
. 
Standardikaava 2 × 2 matriisin käänteismatriisille antaa
P − 1 = 
(︃ 
2 1 
− 1 − 1 
)︃ 
.
Tällöin matriisin kertolaskun assosiatiivisuuden nojalla,
A2 = ( P D P − 1)( P D P − 1) = P D ( P − 1 P ) D P − 1 = P D D P − 1 
= P D2 P − 1 = 
(︃ 
1 1 
− 1 − 1 
)︃ (︃
52 0 
0 32 
)︃ (︃ 
2 1 
− 1 − 1 
)︃ 
.
Edelleen,
A3 = ( P D P − 1) A2 = ( P D P − 1) P D2 P − 1 = P D D2 P − 1 = P D3 P − 1 .
Yleisesti kaikille k ≥ 1 ,
Ak = P D k P − 1 = 
(︃ 
1 1 
− 1 − 2 
)︃ (︃
5k 0 
0 3k 
)︃ (︃ 
2 1 
− 1 − 1 
)︃ 
= 
(︃ 
2 · 5k − 3k 5k − 3k 
2 · 3k − 2 · 5k 2 · 3k − 5k 
)︃ 
.
Neliömatriisia A sanotaan diagonalisoituvaksi, jos se on similaarinen jonkin dia- 
gonaalimatriisin kanssa. Toisin sanoen silloin, kun pätee A = P D P − 1, jossa P on 
jokin säännöllinen matriisi ja D on diagonaalimatriisi. 
Lause 4 antaa ehdot diagonalisoituville matriiseille ja kertoo, kuinka sopiva tulo- 
muoto voidaan muodostaa. 
Lause 3. Neliömatriisi A on diagonalisoituva jos ja vain jos sillä on n määrä line- 
aarisesti riippumattomia ominaisvektoreita. 
Itse asiassa A = P D P − 1, missä D on diagonaalimatriisi, pätee jos ja vain jos mat- 
riisin P sarakkeet ovat matriisin A lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita. 
Tässä tapauksessa matriisin D diagonaalialkiot ovat matriisin A ominaisarvoja, jot- 
ka vastaavat matriisin P ominaisvektoreita. 
7
 Todistus. Jos P on mikä tahansa n × n -matriisi, jonka sarakkeina ovat v1 , ..., vn ja 
D on mikä tahansa diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkioita ovat λ1 , ..., λn, niin 
huomataan, että
AP = A 
(︁
v1 v2 ... vn 
)︁ 
= 
(︁
A v1 A v2 ... A vn 
)︁ 
(9)
ja
P D = P 
⎛ ⎜⎜⎜⎝ 
λ1 0 ... 0 
0 λ2 ... 0 
... 
... 
... 
0 0 ... λn 
⎞ ⎟⎟⎟⎠ = (︁λ1v1 λ2v2 ... λnvn )︁ . (10)
Nyt oletetaan, että A on diagonalisoituva ja A = P D P − 1. Kertomalla yhtälön mo- 
lemmat puolet matriisilla P saadaan AP = P D . Eli(︁
A v1 A v2 ... A vn 
)︁ 
= 
(︁
λ1v1 λ2v2 ... λnvn 
)︁ 
. (11)
Yhdistämällä sarakkeet nähdään, että
A v1 = λ1v1 , A v2 = λ2v2 , ..., A vn = λnvn . (12)
Koska P on säännöllinen, sen sarakkeiden v1 , ..., vn täytyy olla lineaarisesti riippu- 
mattomia. Lisäksi, koska sarakkeet ovat nollasta poikkeavia, niin yhtälöt kohdassa 
12 osoittavat, että λ1 , ..., λn ovat ominaisarvoja ja v1 , ..., vn niitä vastaavia ominais- 
vektoreita. 
Otetaan lopuksi mitkä tahansa ominaisvektorit v1 , ..., vn ja käytetään niitä muodos- 
tamaan matriisin P sarakkeet. Käytetään ominaisvektoreita vastaavia ominaisarvoja 
λ1 , ..., λn muodostamaan matriisi D . Yhtälöiden 9, 10 ja 11 perusteella AP = P D . 
Tämä pätee ominaisvektoreille ilman mitään lisäehtoja. Jos ominaisvektorit ovat 
lineaarisesti riippumattomia, niin matriisien ominaisuuksien perusteella P on sään- 
nöllinen. Tällöin yhtälö AP = P D on sama asia yhtälön A = P D P − 1 kanssa.
4.1 Matriisien diagonalisointi 
Esimerkki 9. Diagonalisoi matriisi
A = 
⎛ ⎝ 1 3 3 − 3 − 5 − 3 
3 3 1 
⎞ ⎠ ,
jos mahdollista. 
Toisin sanoen etsi säännöllinen matriisi P ja diagonaalimatriisi D siten, että A = 
P D P − 1. 
Lauseessa 3 esitetyn menetelmän toteuttamiseksi tarvitaan neljä vaihetta. 
Ensimmäisessä vaiheessa etsitään matriisin A ominaisarvot. Kuten kappaleessa 3 
8
 mainittiin, tämän vaiheen laskutoimitukset soveltuvat paremmin tietokoneella las- 
kettaviksi, kun matriisi on suurempi kuin 2 × 2 -matriisi. Tarpeettomien sivuseikko- 
jen välttämiseksi tekstissä yleensä annetaan tarvittavat tiedot tämän vaiheen suo- 
rittamiseksi. Tässä esimerkissä karakteristinen yhtälö sisältää kolmannen asteen po- 
lynomin, joka voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti
0 = det( A − λI ) = − λ3 − 3 λ2 + 4 
= − ( λ − 1)( λ + 2)2 .
Ominaisarvot ovat siis λ = 1 ja λ = − 2 . 
Toisessa vaiheessa etsitään matriisin A kolme lineaarisesti riippumatonta ominais- 
vektoria. Ominaisvektoreita tarvitaan kolme, sillä matriisi A on 3 × 3 -matriisi. Jos 
tämä vaihe epäonnistuu, niin lauseen 3 mukaan matriisi A ei ole diagonalisoituva. 
Luvussa 2 esitetty menetelmä tuottaa kannan jokaiselle ominaisavaruudelle. 
Kanta ominaisarvolle λ = 1 :
v1 = 
⎛ ⎝ 1 − 1 
1 
⎞ ⎠ .
Kanta ominaisarvolle λ = − 2 :
v2 = 
⎛ ⎝ − 1 1 
0 
⎞ ⎠ ja v3 = 
⎛ ⎝ − 1 0 
1 
⎞ ⎠ .
Voidaan tarkistaa, että vektorit { v1 , v2 , v3 } muodostavat lineaarisesti riippumatto- 
man joukon. 
Vaiheessa kolme muodostetaan säännöllinen matriisi P vaiheessa kaksi saaduista 
vektoreista. Vektorit voidaan järjestää miten tahansa. Käyttäen vaiheessa kaksi ole- 
vaa järjestystä saadaan
P = 
(︁
v1 v2 v3 
)︁ 
= 
⎛ ⎝ 1 − 1 − 1 − 1 1 0 
1 0 1 
⎞ ⎠ .
Viimeisessä vaiheessa eli vaiheessa neljä muodostetaan diagonaalimatriisi D vastaa- 
vista ominaisarvoista. Tässä vaiheessa on olennaista, että ominaisarvojen järjestys 
vastaa matriisin P sarakkeissa käytettyä järjestystä. Ominaisarvoa λ = − 2 käyte- 
tään kaksi kertaa, sillä sitä vastaavia ominaisvektoreita on kaksi:
D = 
⎛ ⎝ 1 0 0 0 − 2 0 
0 0 − 2 
⎞ ⎠ .
Lopuksi voi tarkistaa, että matriisit P ja D todella toimivat. Jotta vältetään matrii- 
sin P − 1 laskeminen, voidaan yksinkertaisemmin tarkistaa pitääkö yhtälö AP = P D 
9
 paikkansa. Lasketaan
AP = 
⎛ ⎝ 1 3 3 − 3 − 5 − 3 
3 3 1 
⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 − 1 − 1 − 1 1 0 
1 0 1 
⎞ ⎠ = 
⎛ ⎝ 1 2 2 − 1 − 2 0 
1 0 − 2 
⎞ ⎠ 
P D = 
⎛ ⎝ 1 − 1 − 1 − 1 1 0 
1 0 1 
⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 1 0 0 0 − 2 0 
0 0 − 2 
⎞ ⎠ = 
⎛ ⎝ 1 2 2 − 1 − 2 0 
1 0 − 2 
⎞ ⎠ .
Lause 4 tarjoaa riittävän ehdon sille, että matriisi on diagonalisoituva. 
Lause 4. Jos n × n -matriisilla on n määrä toisistaan eroavia ominaisarvoja, niin 
se on diagonalisoituva. 
Todistus. Olkoon v1 , ..., vn matriisin A määrää n toisistaan eroavia ominaisarvoja 
vastaavia ominaisvektoreita. Tällöin lauseen 1 mukaan joukko { v1 , ..., vn } on line- 
aarisesti riippumaton. Näin ollen matriisi A on diagonalisoituva lauseen 3 perusteel- 
la.
Ei kuitenkaan ole välttämätöntä n × n -matriisin diagonalisoituvuuden kannalta, 
onko sillä n määrä toisistaan eroavaa ominaisarvoa. Esimerkin 9 3 × 3 -matriisi on 
diagonalisoituva, vaikka sillä on ainoastaan kaksi ominaisarvoa. 
Esimerkki 10. Määritä, onko matriisi
A = 
⎛ ⎝ 5 − 8 1 0 0 7 
0 0 − 2 
⎞ ⎠
diagonalisoituva. 
Koska matriisi A on kolmiomatriisi, niin sen ominaisarvot sijaitsevat sen päädia- 
gonaalilla. Tällöin matriisin ominaisarvot ovat siis 5 , 0 ja − 2 . Matriisi A on 3 × 3 
-matriisi ja sillä on kolme toisistaan eroavaa ominaisarvoa. Näin ollen A on diago- 
nalisoituva. 
10
 Viitteet 
[1] D. C. Lay, S. R. Lay, J. J. McDonald: Linear Algebra and Its Applications, Sixth 
Edition , Pearson Education, 2021. 
[2] F. Uhlig: The Eight Epochs of Math as regards past and future Matrix Compu- 
tations , Department of Mathematics and Statistics, Auburn University, 2020. 
11