Odotettu vaje, Value-at-Risk sekä niiden rooli markkinariskien pääomavaateissa Aino Peurala Pro gradu -tutkielma Toukokuu 2025 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Tarkastajat: Prof. Jukka Lempa Dos. Kalle Parvinen Turun yliopiston laatujärjestelmän mukaisesti tämän julkaisun alkuperäisyys on tar- kastettu Turnitin OriginalityCheck-järjestelmällä TURUN YLIOPISTO, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Pro gradu -tutkielma Pääaine: Matematiikka Tekijä: Aino Peurala Otsikko: Odotettu vaje, Value-at-Risk sekä niiden rooli markkinariskien pääoma- vaateissa Ohjaaja: Prof. Jukka Lempa Sivumäärä: 41 sivua Aika: Toukokuu 2025 Tämä tutkielma käsittelee markkinariskien minimipääomavaateita, joita sääntely velvoittaa pankkeja laskemaan. Pääomavaateiden tarkoitus on velvoittaa pankkeja varaamaan riittävästi pääomaa kattamaan niiden ottamat riskit. Näin niiden avulla pyritään estämään yksittäisten pankkien konkursseja, sekä laajojen finanssikriisien syntyä. Markkinariskien pääomavaateiden sääntelyssä on tapahtunut viime vuosina suu- ria muutoksia. Eräs huomattavimmista muutoksista on aiemmin käytetyn Value- at-Risk-riskimitan korvaaminen odotetun vajeen riskimitalla. Sekä muutoksen, että pääomavaateiden ymmärtämiseksi tutkielmassa käsitellään vaatimuksia, joita hyväl- le riskimitalle on asetettu. Tämän lisäksi esitellään kahden edellä mainitun riskimi- tan laskentapoja sekä niiden ominaisuuksia ja eroavaisuuksia. Riskimittojen laskentaan käytettävien mallien toimivuus on varmistettava toteuma- testein. Mallin toimivuuden lisäksi halutaan varmentaa sen tulosten kattavan myös poikkeuksellisen heikoista olosuhteista seuraavia tappioita. Tämän vuoksi malleihin suoritetaan stressitestausta. Molempien suorittamista vaaditaan myös sääntelyssä ja nämä käsitellään tässä tutkielmassa lyhyesti. Markkinariskien minimipääomavaateiden laskentaa tarkastellaan erityisesti sisäisten menetelmien näkökulmasta. Lisäksi esitellään pääomavaateiden historiaa ja mark- kinariskien pääomavaateissa tapahtuneita viimeaikaisimpia muutoksia. Tutkielman lopuksi tarkastellaan pääomavaateiden muutosten vaikutuksia. Asiasanat: Value-at-Risk, Odotettu vaje, Pääomavaade, Markkinariski. Sisällys 1 Johdanto 1 2 Riskit 3 2.1 Markkinariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Korkoriski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Valuuttariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.3 Osakeriski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.4 Hyödykeriski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.5 Luottomarginaaliriski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Muita riskejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Riskimitta 6 3.1 Koherentti riskimitta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1 Subadditiivisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Konsistentti pisteytyvyys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Value-at-Risk ja odotettu vaje 11 4.1 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.1 Varianssi-kovarianssi tapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1.2 Historiallinen tapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1.3 Monte Carlo simulointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 Value-at-Risk ja heikkoudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Odotettu vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.4 Riskimittojen eroavaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Mallin tuloksien varmentaminen 18 5.1 Value-at-Risk-riskimitan toteumatestaus . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2 Odotetun vajeen toteumatestaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2.1 Value-at-Risk-riskimitan toteumatestauksen hyödyntäminen . 20 5.2.2 Odotetun vajeen toteumatestaus suoraan . . . . . . . . . . . . 21 5.2.3 Muita toteumatestausmenetelmiä . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3 Stressitestaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.3.1 Value-at-Risk-riskimitan toteumatestaus . . . . . . . . . . . . 24 6 Markkinariskien pääomavaatimukset 25 6.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2 Fundamental review of trading book ja uudistunut markkinariski- sääntely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2.1 Sisäiset menetelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2.2 Muita muutoksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3 Sisäiset mallit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3.1 Mallinnettavat riskitekijät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3.2 Ei-mallinnettavat riskitekijät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.3.3 Maksukyvyttömyysriski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.3.4 Lopulliset pääomavaatimukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7 Uudistuneiden pääomavaatimusten vaikutus 34 8 Yhteenveto 36 1 Johdanto Pankeilla on maailmantaloudessa keskeinen rooli, mutta silti niillä on yksi hauraim- mista liiketoimintamalleista. Pankit ovatkin olleet keskeisessä asemassa monissa fi- nanssikriiseissä läpi historian. [1] Vuosina 2007 ja 2008 koko maailmaa koskettavan finanssikriisin seurauksena pankit kärsivät valtavia tappioita ja valtiot joutuivat lu- nastamaan niistä useita. Ennen tätä finanssikriisiä, taantuma oli ollut yhtä vakava viimeksi 1930-luvulla.[2] Pankkien ottamien riskien toteutuessa tappioita voi koitua pankin lisäksi myös sen asiakkaille esimerkiksi menetettyjen talletusten muodossa. Asiakkaat saattavat olla henkilöitä, yrityksiä ja muita pankkeja, jolloin vaikutukset voivat olla hyvin laajat. Tämän vuoksi riskienhallinta tärkeää sekä pankin johdolle, että pankkien toimintaa valvoville viranomaisille. Pankin ja valvovan viranomaisen tavoitteet ovat kuitenkin hieman erilaiset. Pankin johdon tavoitteena on yrityksen toiminnan ja ar- von suojaaminen. Kansallisten viranomaisten tavoitteina ovat yksittäisten pankkien turvaaminen, sijoittajien sekä kuluttajien oikeudenmukaisen ja läpinäkyvän kohte- lun varmistaminen sekä rahoitusjärjestelmän vakaus. [1] Pääomavaateet eivät estä pankkeja ottamasta riskejä, mutta ne velvoittavat pankkeja varautumaan riskeihin riittävällä pääomalla. Pankkien toiminnan vakautta koskeva sääntely perustuu vahvasti Baselin pankki- valvontakomitean luomaan Basel sääntelykehikkoon.[3] Finanssikriisin seurauksena todettiin, että muun muassa markkinariskien pääomavaatimuksia koskevaa säänte- lyä on uudistettava. Välittömänä reagointina kriisiin julkaistiin Basel II.5 -sääntely vuonna 2009. Vuonna 2013 Baselin pankkivalvontakomitea julkaisi lopullisen ver- sion dokumentista "Fundamental review of the trading book: A revised market risk framework", joka on kokoelma ehdotuksia markkinariskejä koskevan sääntelyn parantamiseksi.[4] Vuonna 2019 julkaistiin lopullinen versio Baselin uudistuneista minimipääomavaatimuksista markkinariskeille.[5] Tämä tutkielma esittelee erilaiset markkinariskit sekä niiden pääomavaateiden mittaamista. Menetelmät pääomavaateiden mittaamiseen perustuvat Baselin pank- kivalvontakomitean julkaisemaan markkinariskien pääomavaateiden sääntelyyn. [5] Pääomavaateiden laskennan esittelyn lisäksi tarkastellaan uuden kokonaisuuden tuo- mia muutoksia ja mahdollisia vaikutuksia pankkien pääomavaatimuksiin ja käyttäy- tymiseen. Sääntelyn ja sen muutosten ymmärtämisen taustaksi tarkastellaan ris- kimittojen ominaisuuksia yleisesti, jonka lisäksi esitellään kaksi pääomavaateiden kannalta keskeisessä roolissa olevaa riskimittaa: Value-at-Risk ja odotettu vaje. Markkinariskit ovat riskejä, jotka syntyvät omaisuuden arvon vaihtelusta ja tä- män aiheuttamasta tappion mahdollisuudesta. Markkinariskeiksi luetaan yleisesti korkoriski, valuuttariski, osakeriski sekä hyödykeriski. Markkinariskiä ei voida pois- taa täysin hajauttamalla. Toisin kuin yrityskohtainen riski, esimerkiksi korkojen muutokset vaikuttavat kaikkien markkinoilla olevien sijoituskohteiden arvoon. [6] Erilaiset markkinariskit esitellään tarkemmin luvussa 2. Luvussa esitellään lyhyesti myös muita riskejä, joita pankkien tulee hallita. Pankkien liiketoiminta ja sen tuotto perustuvat riskien hyväksymiseen asiak- kaalta saatua palkkiota vastaan. Jotta voidaan tehdä päätös riskin säilyttämisen ja hajauttamisen välillä on riski välttämätöntä mitata. [7] Riskien mittaamista se- 1 kä riskimittoja käsitellään luvussa 3. Lisäksi esitellään koherentin ja konsistentisti pisteytyvän riskimitan määritelmät, sekä näiden ominaisuuksien tarjoamat hyödyt. Yksi suurimmista sääntelykokonaisuuden tuomista muutoksista on siirtyminen Value-at-Risk-riskimitasta odotetun vajeen riskimittaan pankkien sisäisissä mene- telmissä. Value-at-Risk kuvaa tappion, jota tietyllä luottamustasolla ei ylitetä. Odo- tettu vaje sen sijaan mittaa keskimääräisen tappion niistä tappioista, jotka jäävät luottamustason ulkopuolelle. Value-at-Risk-riskimitta on ollut laajasti käytössä jo 90-luvulta lähtien. [6] Luot- tokriisin jälkeen Value-at-Risk-riskimittaa on kuitenkin arvosteltu laajasti ja sitä on jopa syytetty finanssikriisin synnystä. [8] Value-at-Risk-riskimitan merkittävimpiä heikkouksia on, ettei se ole koherentti riskimitta. Value-at-Risk ei täytä subaddi- tiivisuuden ehtoa. [9] Odotetun vajeen riskimitta sen sijaan täyttää koherentin ris- kimitan vaatimukset. Se onkin yksi syy sille, miksi odotettu vaje korvaa Value-at- Risk-riskimitan uudessa sääntelyssä. Odotetun vajeen riskimitallakin on kuitenkin merkittävä heikkous. Se ei ole kon- sistentisti pisteytyvä. Tämän ominaisuuden puuttuminen hankaloittaa riskimitan estimointiin käytetyn mallin toteumatestaamista. Toteumatestaamalla arvioidaan, kuinka hyvin malli kykenee kuvaamaan todellisuutta. Tämän puutteen vuoksi odo- tetun vajeen roolia sääntelyssä on kritisoitu. Molempien riskimittojen ominaisuuksia käsitellään tarkemmin luvussa 4. Luvussa 5 käsitellään mallien toteumatestausta ja stressitestausta. Kumpaakin prosessia käytetään mallin tuloksien varmentamiseen. Toteumatestausta hyödynne- tään mallin oikeellisuuden varmentamiseen. Stressitestaamalla sen sijaan varaudu- taan siihen, että mallin tulokset huomioivat myös kaikista heikoimmat ajanjaksot. Markkinariskien pääomavaatimuksien historiaa sekä niiden laskentaa sisäisillä menetelmillä käsitellään luvussa 6. Pankit voivat sisäisten menetelmien sijaan las- kea pääomavaateet myös standardimenetelmällä. Sisäisten mallien mukainen lasken- ta vaatii pankeilta enemmän resursseja kuin standardimenetelmä. Sisäisten mene- telmien käyttö vaatii pankilta kyvykkyyttä mallintaa esimerkiksi odotetulle vajeelle arvo menetelmällä, jonka myös pankin valvontaviranomainen hyväksyy. Luvussa 7 on koottuna mahdollisia vaikutuksia, joita markkinariskejä koskevat sääntelymuutokset aiheuttavat. Uudistunut sääntely ei ole astunut vielä voimaan, joten muutosten seurauksia voidaan vasta arvioida. Kahdeksas luku on viimeinen ja se sisältää yhteenvedon tutkielmasta. 2 2 Riskit Tässä luvussa esitellään erilaiset taloudelliset riskit keskittyen erityisesti markkina- riskeihin. Taloudellinen riski voidaan määritellä usealla tavalla. Ensimmäisen mää- ritelmän mukaan riski on rahoitusyhtiöön kohdistuva riski. Toisen määritelmän mu- kaan taloudellinen riski on riski, joka koskee rahoitusinstrumentteja. [10] Kolmas määritelmä taloudelliselle riskille on vaihtelu ja epävarmuus tulevaisuuden arvossa.[9] Viimeisen määritelmän mukaisesti tulevaisuudessa toteutuvaa arvoa on luonnollista kohdella satunnaismuuttujana. Taloudelliset riskit jaetaan useimmiten neljään eri riskiin, joita ovat markkinariski, luottoriski, likviditeettiriski ja operatiivinen riski. Riskifaktori tai riskitekijä on muuttuja, joka pääasiallisesti määrittelee instru- mentin arvon. Riskitekijä voi olla esimerkiksi korko tai valuuttakurssi. [2] 2.1 Markkinariski Markkinariski on markkinahintojen vaihteluista aiheutuva tappion mahdollisuus. Markkinariski ei koske pelkästään markkinapaikalla myytävää varallisuutta. Kaikel- la rahoitusvarallisuudella on markkinariski, sillä kaikkien varallisuuden muotojen ar- vo voi muuttua ajan kuluessa. Markkinariskiä voidaan kutsua myös systemaattiseksi riskiksi, eikä sitä voi poistaa hajauttamalla.[10] Hajautettavissa olevia riskejä kutsu- taan idiosynkraattisiksi riskeiksi. Ne koskevat esimerkiksi yksittäistä omaisuuslajia tai toimialaa. Markkinariski jaetaan yleisesti neljään eri riskilajiin, joita ovat korkoriski, va- luuttariski, osakeriski ja hyödykeriski. Baselin markkinariskien pääomavaatimuksis- sa riskiluokaksi luetaan myös luottomarginaaliriski. [5] Markkinariskejä ovat myös riskitekijöiden muutoksista aiheutuvat potentiaaliset tappiot. Markkinariskien mittaus tehdään usein lyhyeltä ajanjaksolta, jolla pankki voi oletettavasti riskin suojata. Tämän vuoksi omaisuuslajin odotettu tuotto ei vaikuta markkinariskin laskentaan, sillä sen oletetaan olevan lyhyellä aikavälillä sama kuin riskitön tuotto. [7] Rahoitusinstrumenttien hintojen oletetaan muuttuvan tasaises- ti ja jatkuvasti. Suuret ja epäjatkuvat muutokset ovat harvinaisia. Tämän vuoksi markkinariskimalleissa käytetään usein jatkuvia jakaumia.[10] 2.1.1 Korkoriski Korot ovat monien markkinahintojen taustatekijä. Markkinakorkoihin vaikuttavat muun muassa inflaation odotettu taso, yleinen taloustilanne, rahapolitiikka ja kes- kuspankin näkemys, valuutanvaihdon aktiivisuus ja poliittinen tasapaino.[6] Kiinteäkorkoisten omaisuuserien arvo riippuu koroista käänteisesti. Mikäli ko- rot laskevat, joukkovelkakirjojen arvo nousee. Sama pätee myös päinvastaisessa ase- telmassa. Korkotaso määrittää myös diskonttokoron kaikille omaisuuserille. Tämän vuoksi koroilla on merkittävä vaikutus kaikessa arvonmäärityksessä. [6] Korkoriski on markkinariskeistä vaikein hallittava. Eräs syy tähän on se, et- tä eri korkoja on laajasti. Vaikka eri korkojen liikehdintä on useimmiten saman suuntaista, eivät ne ole täysin korreloituneita. [2] Erilaisia korkoja ovat esimerkiksi eri maturiteetteihin sidotut Euribor-korot, Euroopan keskuspankin ohjauskorko ja Swap-korot. 3 Korkoriski vaikuttaa pankkeihin, omaisuuserien arvonmuutosten lisäksi pankin korkokatteen kautta. Korkokate on pankin ansaitseman koron ja pankin maksaman koron erotus. Korkokatetta tulisi hallita siten, että se pysyisi samalla tasolla mark- kinamuutoksista huolimatta. [2] 2.1.2 Valuuttariski Valuuttakursseissa tapahtuvat muutokset vaikuttavat vieraaseen valuuttaan sidot- tujen omaisuuserien arvoon. Näiden muutosten aiheuttamaa riskiä kutsutaan va- luuttariskiksi. Usein myös kullan hinnan vaihtelun aiheuttamat riskit käsitellään valuuttariskinä hyödykeriskin sijaan. Tämä johtuu siitä, että kullan markkinahin- nan vaihtelu muistuttaa enemmän valuuttojen arvonmuutoksia kuin tavanomaisten hyödykkeiden. 2.1.3 Osakeriski Osake on osuus yrityksen nettovarallisuudesta. Osakkeen omistaja hyötyy yrityksen voitoista, mutta samanaikaisesti joutuu kantamaan yrityksen riskiä. Vastuut rajoit- tuvat yritykseen sijoitetun omaisuuden suuruuteen. [6] Osakeriskiä voidaan kutsua myös osakkeen hintariskiksi. Se on riski, joka osakkei- siin sijoittamisesta ja osakkeiden hintojen vaihtelusta syntyy. Osakkeiden hintojen muutoksiin vaikuttaa kyseisen yrityksen menestys, mutta myös esimerkiksi poliit- tinen ilmapiiri. Tehokkaiden markkinoiden hypoteesin mukaan tehokkailla markki- noilla osakkeiden hinnat heijastavat kaikkea saatavilla olevaa tietoa oikein ja välit- tömästi tiedon julkistamisen jälkeen. [11] 2.1.4 Hyödykeriski Hyödykkeiden varastoinnista saatavan hyödyn ja kustannusten vaihtelu erottaa hyö- dykemarkkinat muista markkinoista. Hyödykkeiden hinnassa onkin tärkeää huomioi- da kaupan kohteen toimitusehdot. [6] Hyödykeriskiksi kutsutaan riskiä, joka aiheutuu kaupankäynnin kohteena olevien hyödykkeiden markkinahinnan muutoksista. Hyödykkeitä ovat fyysiset tuotteet, joi- ta voidaan myydä tai vaihtaa jatkomarkkinoilla. Näihin kuuluvat muun muassa maa- talouden tuotteet, mineraalit ja muut jalometallit kuin kulta. 2.1.5 Luottomarginaaliriski Omaisuuserän luottomarginaali heijastaa velallisen luottoriskiä. Mitä suurempi ris- ki velan takaisinmaksulla on, sen korkeampaa tuottoa myönnetystä rahoituksesta vaaditaan. Arvopaperin luottomarginaali on siitä maksettavan koron ja vertailuar- vopaperin koron erotus. Vertailuarvopaperi voi olla esimerkiksi valtion velkakirja. Luottomarginaaliriski on riski arvopaperin luottomarginaalin muutoksesta, jonka seurauksena arvopaperin markkina-arvo muuttuu. [2] Marginaali muutos voi johtua arvopaperin liikkeeseen laskeneen yrityksen muuttuneesta riskitasosta, mutta myös markkinaolosuhteiden muutoksesta. 4 2.2 Muita riskejä Esitellään lyhyesti vielä muita riskejä, joita pankkien on seurattava. Luottoriski on riski taloudellisesta tappiosta, joka aiheutuu toisen osapuolen ky- kenemättömyydestä suorittaa velvoitteitaan. [12] Pankeille luottoriskiä syntyy muun muassa asuntolainoista tai luottokorttiveloista. Tappio aiheutuu, mikäli velallinen ei pysty maksamaan lainaamiaan varoja takaisin. Luottoriskit ovat satunnaisia ja har- voja, mutta yksittäiset tapahtumat ovat usein kooltaan merkittäviä. Likviditeettiriski on riski siitä, että omaisuuserää ei voi myydä tai ostaa ha- lutessaan, joko ollenkaan tai nykyisellä markkinahinnalla. Vaikka likviditeettiris- ki on merkittävä riski, joka tulee huomioida, on sen kuvaileminen matemaattisesti haastavaa.[10] Pankille likviditeettiriski toteutuu esimerkiksi tilanteessa, jossa pan- kin likvidit varat eivät riitä kattamaan tallettajien nostamia summia. Operatiivinen riski syntyy yrityksen kaikesta liiketoiminnasta. Operatiivisia ris- kejä ovat muun muassa järjestelmähäiriöt sekä inhimilliset vahingot. Laajat opera- tiiviset riskit ovat harvinaisia, mutta niiden realisoituessa tappiot voivat olla hyvin suuria. Malliriski on mahdollisuus tappiosta, joka johtuu epätäsmällisen tai virheelli- sen mallin pohjautuvasta päätöksenteosta. Malliriskejä ovat esimerkiksi mallin vää- rinmäärittely ja arviointivirheet. Tällainen virhe voisi olla mallin määrittely ohut- häntäisen normaalijakauman perusteella, vaikka aineisto viittaisi paksuhäntäiseen jakaumaan. [13] Malliriskin hallitsemiseksi malleja toteumatestataan. Toteumates- tauksesta kerrotaan kattavammin luvussa 5. Järjestelmäriski on riski siitä, että taloudellinen toiminta häiriintyy laajasti äkil- lisen poikkeuman seurauksena. Järjestelmäriskin myötä vaikeudet siirtyvät pankista toiseen. Riskiin liittyy vahvasti myös flight-to-quality ilmiö, joka muodostuu, kun si- joittajat myyvät riskialttiimpana pitämiään sijoituksia ja ostavat tilalle vakaampia sijoituksia. [6] Järjestelmäriskille on kaksi aiheuttajaa. Tallettajien ja sijoittajien paniikinomai- nen käytös ja tästä aiheutuva talletuspako. Talletuspako syntyy, kun suuri määrä tallettajia haluaa nostaa talletuksensa ja aiheuttaa pankille likviditeettivajeen. Toi- nen järjestelmäriskin aiheuttaja on häiriö maksujärjestelmässä. 5 3 Riskimitta Taloudellinen riskienhallinta koostuu riskien mittaamisesta sekä niiden kontrolloin- nista. Taloudellisten riskien hallinnassa voidaan hyödyntää likvidejä markkinoita, joka erottaa sen muun tyyppisten riskien hallinnasta. [14] Riskejä voidaan mita- ta yhtiön omistajien tai johtajien halusta sekä valvojan vaatimusten seurauksena. Näistä ensimmäiseen käytettäviä mittoja voidaan kutsua sisäisiksi riskimitoiksi ja jälkimmäisiä ulkoisiksi riskimitoiksi. On mahdollista, että toimiva sisäinen riskimitta ei sovellu ulkoiseksi riskimitaksi, eikä ulkoinen sisäiseksi. [15] Jos markkinat olisivat täydellisesti likvidit, voisi riskienhallinta sisältää ainoas- taan tappiorajat kullekin sijoittajalle. Kun raja saavutetaan, voitaisiin positio likvi- doida ilman lisäkustannuksia. Tällainenkin tilanne vaatisi kuitenkin sääntöjä.[14] Täydellisesti likvideillä markkinoilla toimiville tappiorajoille olisi asetettava ai- nakin viisi vaatimusta. Ensimmäiseksi olemassa olevien positioiden markkinahinto- ja tulisi seurata jatkuvasti ja huolellisesti, jotta tappiorajan ylitys huomattaisiin. Toiseksi tappiorajat olisi suhteutettava sijoittajan kokemukseen sekä sijoitusstrate- giaan. Kolmanneksi tappiorajojen nostamiseen tulisi asettaa omat säännöt. Neljän- neksi suuret voitot ja tappiot vaatisivat analysointia. Viimeisenä ehtona olisi vaati- mus rahoitussuunnitelmasta.[14] Koska täydellinen likviditeetti ei voi käytännössä toteutua on sijoittajan varau- duttava epälikvidien markkinoiden tuottamiin kustannuksiin. Tästä johtuen tarvi- taan edellä mainittujen sääntöjen lisäksi keinoja riskien hallintaan. [14] Riskin suuruuteen vaikuttavat sen todennäköisyys ja mahdollisen tappion suu- ruus. Markkinariskien tapauksessa riskin suuruus riippuu omaisuuserien hinnoista. Oletetaan, että kaikki nämä hinnat tiedetään. Todennäköisyys, jolla omaisuuserä saavuttaa kunkin hinnan on tuntematon. Riskin suuruus arvioidaan riskimitalla. Määritellään riskimitta perustuen lähteeseen [9]. Määritelmä 1. Olkoon kaikkien mahdollisten tilojen joukko, jonka oletetaan olevan äärellinen. Olkoon G kaikkien riskien joukko, joka koostuu kaikkista reaaliar- voisista funktioista joukossa . Riskimitta on kuvaus  : G 7! R : Riskimittoja on erilaisia eri käyttötarkoituksiin ja näiltä vaaditaan siten myös eri- laisia ominaisuuksia. Sääntelyn näkökulmasta on tärkeää, että riskimitta sopeutuu mallin heikkoon määrittelyyn, eikä se ole herkkä datan pienille muutoksille. Tällaista riskimittaa kutsutaan robustiksi. Sääntelyn määräämän riskimitan on oltava yksi- selitteinen, vakaa ja kaikkien olennaisten toimijoiden on kyettävä toteuttamaan sen mittaaminen. Ilman näitä ominaisuuksia, kaksi samassa riskiasemassa olevaa port- foliota voivat saada tulokseksi erilaiset riskiluvut. Tämä puolestaan mahdollistaa sääntelyyn kohdistuvan arbitraasin, joka tarkoittaa sääntelyn vaateiden täyttämistä sekä kiertämistä keinotekoisesti.[15] Markkinariskien arviointiin käytettävien riskimittojen keskitytään usein erityi- sesti kahteen ominaisuuteen, riskimitan koherenttiuteen sekä konsistenttiin pistey- tyvyyteen. Näitä käsitellään kahdessa seuraavassa aliluvussa. 6 3.1 Koherentti riskimitta Artzner, Felbaen, Eber ja Heath esittelivät vuonna 1999 neljä aksioomaa, joita hy- vän riskimitan tulisi noudattaa. [9] Riskimittaa, joka täyttää neljä aksioomaa kutsu- taan koherentiksi. Esitellyt aksioomat ovat käänteinen invarianssi, subadditiivisuus, positiivinen homogeenisuus ja monotonisuus. Tarkastellaan näitä neljää aksioomaa edellä mainitussa järjestyksessä. Aksiooma 1 (Käänteinen invarianssi) . Jokaiselle satunnaismuuttujalle X 2 G , sekä vakiolle 2 R pätee  ( X +  r ) =  ( X ) ; jossa r on riskitön kohde-etuus. Käänteisen invarianssin mukaan, lisäämällä määrän riskitöntä kohde-etuutta r , riski pienenee vakion verran. Aksiooma 2 (Subadditiivisuus) . Jokaiselle satunnaismuuttujalle X1 ; X2 2 G pätee  ( X1 + X2)   ( X1) +  ( X2) : Aksiooman mukaan kohde-etuuksien yhdistäminen ei lisää niistä aiheutuvaa ris- kiä. Subadditiivisuuden aksioomaan palataan omassa aliluvussaan, koska sen sillä on huomattava merkitys sääntelyssä tapahtuneissa muutoksissa. Aksiooma 3 (Positiivinen homogeenisuus) . Jokaiselle vakiolle   0 ja satunnais- muuttujalle X 2 G pätee  ( X ) =  ( X ) : Positiivisen homogeenisuuden nojalla position koko vaikuttaa position riskiin. Aksiooma 4 (Monotonisuus) . Jokaiselle satunnaismuuttujalle X ; Y 2 G , kun X  Y , pätee  ( Y )   ( X ) : Monotonisuuden mukaan kohteen Y arvon ollessa aina kohdetta X suurempi, on kohteen Y riski aina suurempi. 7 3.1.1 Subadditiivisuus Näkemys siitä tuleeko riskimitan täyttää subadditiivisuusvaatimus ollakseen luotet- tava ei ole täysin yksimielinen. Lähteessä [9] listataan neljä syytä, miksi subadditiivisuus on luonnollinen vaati- mus riskimitalle: 1. Jos valuuttakursseja kuvaava riskimitta ei täytä subadditiivisuutta, voisi riskiä pienentää esimerkiksi kahden pankkitilin avaamisella. 2. Mikäli yritys ei täyttäisi lisäpääoman vaatimuksia, olisi sillä houkutus jakau- tua kahteen osaan pienentääkseen valvontaviranomaiselle tuottamaansa riski- lukua. 3. Konkurssiriskin vuoksi yritykseltä, jonka eri toiminnot eivät ole vastuissa tois- tensa veloista, vaaditaan enemmän pääomaa kuin yrityksiltä, joilla ei ole täl- laisia rajoitteita. 4. Oletetaan kahden eri kohteen riskejä mitattavan erillään ja keskittämättä. Näi- den yhdistetyn riskin kattona voidaan pitää riskimittojen summaa, jos ne täyt- tävät subadditiivisuuden ehdon. Kou et al 2013 [15] esittelivät dataan perustuvat riskimitat. He myös osoitta- vat, että subadditiivisuuden sijaan riittää, että riskimitta täyttää komonotonisen subadditiivisuuden ehdon, joka on helpompi saavuttaa. Näin ollen heidän mukaansa subadditiivisuus ei olisi välttämätön ominaisuus toimivalle riskimitalle. Subadditiivisuuden mukaan kahden fuusioituneen pankin riski on pienempi tai yhtä suuri kuin kahden erillisen pankin yhteenlaskettu riski. Yhdistymisen vaikutus- ta voidaan kuitenkin tarkastella kahdesta näkökulmasta. Pankin toiminnan rahoitta- jia (esimerkiksi tallettajat) ja pankin omistajia koskevat riskit eivät aina käyttäydy täysin samalla tavalla. Pankkien yhdistymisellä on rahoittajien näkökulmasta aina positiivinen vaikutus, kun taas pankin omistajille vaikutus on negatiivinen. Havain- nollistetaan yhdistymisen vaikutuksia esimerkillä. [16] Esimerkki 1. Olkoon X > 0 pankin varallisuuden arvo hetkellä t = 1 ja D pankin kokonaisvelan nimellisarvo. Pankin rahoittajille maksetaan takaisin joko koko velka- saldo tai pankin ollessa kyvytön maksamaan koko velkaa, maksaa se rahoittajilleen varojensa arvon X . Tällöin pankin rahoittajien saama kassavirta on min ( X ; D ) ja pankin omistajien haltuun jäävä varallisuus on X min ( X ; D ) = max (0 ; X D ) : Tarkastellaan seuraavaksi kahta pankkia, jotka ovat suunnitelleet yhdistymistä. Täl- löin rahoittajien saama kassavirta hetkellä t = 1 on riippuvainen siitä, ovatko kaksi pankkia yhdistyneet hetkellä t = 0 . Tällöin pankin rahoittajien saama kassavirta on min ( X1 ; D1) + min ( X2 ; D2)  min ( X1 + X2 ; D1 + D2) 8 ja pankin omistajien haltuun jäävä varallisuus on max (0 ; X1 D1) + max (0 ; X2 D2)  max (0 ; X1 + X2 D1 D2) : Huomataan pankin tulevaisuuden varojen arvosta riippumatta yhdistyneenä nii- den suorittama maksu koko rahoittajien joukolle on korkeampi kuin ne olisivat ilman pankkien yhdistymistä. Yksittäisen velkojan kannalta pankkien yhdistyminen saat- taa olla huono asia. Vaikka jaettavat varat lisääntyvät, samaan aikaan myös velat ja rahoittajien määrä lisääntyy. Pankin omistajille kokonaisuudessaan jäävä varallisuus on puolestaan korkeampi silloin, jos pankit eivät ole yhdistyneet. Pankin rahoittajien, kuten tallettajien, voidaan katsoa tarvitsevan enemmän suo- jelua kuin niiden omistajat. Tällöin sääntelijän on perusteltua suosia subadditiivi- suuden toteuttavaa riskimittaa. [16] Pankkien välisillä markkinoilla pankit toimivat usein toistensa rahoittajina. Täl- löin yhden pankin konkurssi aiheuttaa vaikeuksia pankeille, jotka ovat lainanneet tälle rahaa. Mikäli nämäkin pankit joutuvat konkurssiin siirtyvät vaikeudet näiden rahoittajille ja järjestelmäriski toteutuu. Pankkien yhdistyminen saattaa aiheuttaa tällaisen ketjureaktion. Kuten yllä todettiin, vaikka yhdistyneiden pankkien konkurs- sissa velkojien koko joukon saama tulo kasvaa saattaa yksittäisen velkojan tilanne heikentyä. Jos tällainen velkoja on pankki saattaa konkurssiaalto syntyä. [16] Pankeilla on lakisääteisiä suojia, kuten talletussuoja. Suomessa talletussuojasta vastaa Rahoitusvakausvirasto ja sen toiminta on säädetty EU:n talletussuojadirek- tiivillä. Talletussuoja turvaa talletuspankin asiakkaiden talletukset tilanteessa, jossa pankki on maksukyvytön tai konkurssissa. [17] Talletussuoja lisää tallettajien luot- tamusta pankkia kohtaan ja vähentää talletuspaon riskiä. Talletussuoja aiheuttaa kuitenkin tilanteen, jossa pankkien yhdistyminen ei välttämättä pienennäkään näi- den aiheuttamia riskejä. Pankkien yhdistyessä myös näiden talletukset saattavat kasvaa. Jos yhdistynyt pankki ajautuu konkurssiin, korvaa talletussuoja pankissa olevat talletukset. Rajoituksia voi esiintyä esimerkiksi korvattavassa summassa asia- kasta kohden. Talletussuojan korvaama määrä on suurempi kuin, jos vain toinen pankeista ajautuisi konkurssiin. [16] 3.2 Konsistentti pisteytyvyys Riskimittojen ennusteita käytetään sekä sisäisen riskienhallintaan, että sääntelyn vaatimien pääomavaateiden laskentaan. Riskimitan valinnan lisäksi on tehtävä pää- tös myös käytettävästä ennustemenetelmästä. Ennustemenetelmän valintaa edeltää usein päätös menetelmästä, jota käytetään portfolion tappiojakauman arviointiin. [18] Ennusteiden, sekä ennustemenetelmien arviointiin sekä vertailuun hyödynnetään usein pisteytysfunktioita. Pisteytysfunktio on funktio, jonka arvo on riippuvainen ennusteiden ja aitojen havaintojen arvoista ja erityisesti arvojen eroavaisuuksista. Useimmiten pisteytysfunktiot ovat määritelty siten, että pienet funktion arvot kerto- vat onnistuneista ennusteista. Eräitä tunnettuja pisteytysfunktioita ovat neliövirhe ( x y )2 ja absoluuttinen virhe j x y j .[19] 9 Ennusteen pisteytysfunktio voidaan johtaa soveltamalla mitä tahansa pisteytys- funktiota, joka on konsistentti ennusteen jakauman ennalta määrätyn funktionaalin kanssa. Määritellään seuraavaksi pisteytysfunktio ja funktionaali perustuen lähtee- seen [19]. Määritelmä 2. Olkoon väli I ennusteen tulosten mahdollinen arvojoukko ja F näiden havaintoarvojen todennäköisyysjakauma. Pisteytysfunktio on mikä tahansa kuvaus S : I  I ! [0 ; 1 ) : Funktionaali puolestaan on joukkoarvoinen funktio F 7! T ( F )  I : Pisteytysfunktion ja funktionaalin avulla määritellään vielä konsistentti ja aidos- ti konsistentti pisteytysfunktio, sekä konsistentisti pisteytyvä funktionaali. Määritelmä 3. Olkoon I  R väli, F joukko jakaumafunktioita avaruudella ( I ; B ( I )) , T : F ! P ( I ) funktionaali ja S : I  I ! R pisteytysfunktio. 1. Pisteytysfunktio S on konsistentti funktionaalin T suhteen, jos EF [ S ( x; Y )] on olemassa sekä äärellinen kaikilla F 2 F ja x 2 I ja jos pätee EF [ S ( t; Y )]  EF [ S ( x; Y )] ; kaikilla F , t 2 T ( F ) ja X 2 I . 2. Pisteytysfunktio S on aidosti konsistentti funktionaalin T suhteen, jos se on konsistentti ja, jos yhtälöstä EF [ S ( t; Y )] = EF [ S ( x; Y )] ; seuraa x 2 T ( F ) , kun t 2 T ( F ) . 3. Funktionaali T on konsistentisti pisteytyvä (elicitable) suhteessa luokkaan F , jos on olemassa pisteytysfunktio S , joka on aidosti konsistentti funktionaalin T suhteen luokassa F . Kun pisteytysfunktio on aidosti konsistentti funktionaalin suhteen, voidaan pis- teytysfunktion saamien arvojen perusteella arvioida ennusteen laatua. Mitä lähem- pänä pisteytysfunktion arvo on lukua 0 , sitä lähempänä ennusteen arvot ovat aito- ja havaintoja. Pisteytysfunktiota voidaankin tällöin hyödyntää mallin ja ennusteen toteumatestauksessa, sillä toteumatestin tulokset ovat keskenään vertailukelpoisia. Konsistenttia pisteytyvyyttä voidaankin pitää tärkeänä ominaisuutena ennusteen arvioinnin toteuttamiseksi. [19] 10 4 Value-at-Risk ja odotettu vaje Markkinariskien pääomavaateen laskennan muutoksista merkittävimpiä on Value- at-Risk-riskimitan korvaaminen odotetun vajeen riskimitalla. Tässä luvussa esitel- lään nämä riskimitat, niiden ominaisuuksia ja eroavaisuuksia. 4.1 Value-at-Risk Value-at-Risk (lyhennettynä VaR ) on J.P. Morganin 1990-luvulla levittämä riski- mitta, joka kuvaa kuinka epävakaita portfolion omaisuuserät ovat.[20] Alkuperäise- nä tavoitteena oli kehittää yksi tunnusluku, joka koosti yrityksen jokaisen portfolion riskin päivittäin. [10] Value-at-Risk esittää suurimman mahdollisen tappion valitul- la luottamusvälillä, kun haitallisimmat tapahtumat ovat jätetty pois.[21] Jos laske- taan Value-at-Risk esimerkiksi 95% luottamustasolla, on 95% todennäköisyys, että portfolio ei tuota Value-at-Risk-arvoa suurempaa tappiota. Kolme tärkeää parametria Value-at-Risk-arvon laskemisessa ovatkin valittu ajan- jakso, luottamusväli ja havaintojakso. [6] Ajanjaksolla voidaan tarkoittaa esimerkiksi portfolion pitoaikaa. Määritellään Value-at-Risk-riskimitta. Määritelmä 4. Olkoon L portfolion tappio ja haluttu luottamustaso . Tällöin VaR on P ( L  VaR1 ) = : Jos halutaan määritellä Value-at-Risk suoraan tuotosta R = L merkitään P ( R  VaR1 ) = : Value-at-Risk on laajasti käytetty tunnusluku riskienhallinnassa. Sen etuja ovat yksinkertaisuus, pelkkiin tappioihin keskittyminen sekä äärimmäisten tilanteiden poissulkeminen. [10] Mahdollisuus tiivistää monen muuttujan aiheuttama riski yh- teen lukuun, on varsinkin johdon näkökulmasta houkutteleva. [2] Jotta voidaan arvioida suurinta mahdollista tappiota Value-at-Risk-riskimitalla, on kyettävä arvioimaan tuottoja, sekä näiden jakaumaa. Jakauman määrittämiseksi on arvioitava portfolion arvoon vaikuttavat satunnaismuuttujat, oletukset ennalta määrättyjen satunnaismuuttujien tuottojen jakaumalle, tapa mallintaa yhteys sa- tunnaismuuttujien arvon ja oikean portfolion välillä. On myös päätettävä, miten määritetään luottamustaso, jossa toteutuvaa tappiota seurataan. [21] Value-at-Risk-arvon laskemiseen on useita tapoja. Kolme yleistä menetelmää ovat Varianssi-kovarianssi tapa, historiallinen tapa sekä Monte Carlo simulointi. Nä- mä menetelmät esitellään seuraavissa luvuissa. 11 4.1.1 Varianssi-kovarianssi tapa Varianssi-kovarianssi tapa on menetelmä, jonka J.P. Morgan esitteli ensimmäisenä nykyisessä muodossaan vuonna 1996.[20] Menetelmää kutsutaan joissain lähteissä myös Normaali lineaariseksi Value-at-Risk-malliksi.[7] Varianssi-kovarianssi lähesty- minen johtaa Value-at-Risk-suureen arvioimalla portfolion varianssia ja kovarians- sia ennalta määrättyjen riskifaktorien tuottoihin nähden. Tämän lisäksi arvioidaan myös portfolion herkkyyttä näiden riskifaktorien muutoksiin. [21] Menetelmässä oletetaan riskitekijöiden tuottojen noudattavan normaalijakau- maa ja niiden yhteisjakauman olevan multinormaalisti jakautunut. Lisäksi portfo- lion arvonmuutosten oletetaan olevan lineaarisesti riippuvaisia kaikkien riskitekijöi- den tuotoista. [6] Johdetaan seuraavaksi Value-at-Risk tällä menetelmällä, kuten lähteessä. [7] Olkoon t tarkastelun alkuhetki ja h kuinka monen päivän aikana ansaittuja tuot- toja halutaan tarkastella. Value-at-Risk-arvon laskentaan huomiodaan siis tuotot vä- liltä [ t; t + h ] . Tämä ansaittu tuotto on normaalijakautunut satunnaismuuttuja Xht. Oletetaan, että Xht  N ( ht ; 2 ht) , jossa ht on tuottojen arvioitu odotusarvo ja 2 ht tuottojen arvioitu varianssi. VaR ht; 1 on Value-at-Risk luottamustasolla 1 . Tällöin todennäköisyys P ( Xht < VaR ht; 1 ) = P  Xht ht ht < VaR ht; 1 ht ht  = P  Z < VaR ht; 1 ht ht  ; jossa Z  N (0 ; 1) . Määritelmän 4 mukaan P ( Xht < VaR ht; 1 ) = , joten P  Z < VaR1 ht ht  = : Koska P ( Z <  1( )) = , niin VaR ht; 1 ht ht =  1( ) ; jossa  on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Kyseinen kertymäfunktio on symmetrinen, jolloin  1( ) =  1(1 ) . Symmetrisyyttä hyödyntäen saadaan lopullinen muoto VaR1 =  1(1 )  : Varianssi-kovarianssi menetelmä soveltuu ainoastaan lineaaristen tuottojen port- folioille, eikä siten sovellu esimerkiksi optioita sisältävien portfolioiden Value-at-Risk laskentaan.[7] Oletus tuottojen normaalijakautuneisuudesta on ongelmallinen, sillä todellisuu- dessa poikkeavat arvot ovat yleisempiä ja suurempia. Yleinen uskomus on, että tuot- tojen jakaumalla on normaalijakaumaa paksummat hännät. [6] 12 4.1.2 Historiallinen tapa Historiallisessa tavassa lasketaan tuotto portfolion nykyisten painojen ja historiallis- ten tuottojen avulla. Menetelmä olettaa tulevaisuuden tuottojen noudattavan samaa jakaumaa kuin menneisyydessä. [6] Määritellään historiallinen Value-at-Risk kuten lähteessä [7]. Määritelmä 5. 100 % historiallinen h -päivän Value-at-Risk on :s kvantiili em- piirisesta h -päivän tuottojakaumasta tai P&L-jakaumasta. Menetelmän etu on, että se on helppo toteuttaa ja ymmärtää. Näin ollen sen tuloksia ymmärtää myös pankin johto, jolla ei välttämättä ole syvällistä ymmär- rystä mallinnuksesta. [21] Historiallinen menetelmä ei vaadi täsmällisiä oletuksia tuottojen yhteisjakaumasta tai näiden parametreistä, toisin kuin kaksi muuta tut- kielmassa esiteltävää menetelmää. Menetelmälle riittää edellä mainittu oletus siitä, että tulevaisuuden ja menneisyyden tuottojen jakaumat ovat samat. Lisäksi histo- riallinen menetelmä on kyvykäs kuvaamaan riskifaktoreita, vaikka portfolion arvo ei olisi monotoninen. [21] Value-at-Risk-arvo voidaan laskea myös epälineaarisille instrumenteille, kuten optioille. [7] Menetelmällä on myös heikkoutensa. Otoksen pituudella on suuri vaikutus me- netelmän toimivuuteen. Jos data on hyvin pitkältä ajalta, jakaumasta tulee yksityis- kohtaisempi, mutta samaan aikaan sen herkkyys markkinaolosuhteiden muutoksiin pienenee. Haluttu luottamustaso voi olla haastavaa saavuttaa, sillä historialliset ai- kasarjat voivat olla verrattain lyhyitä. [21] Edes neljän vuoden päivittäinen data ei takaa tarpeeksi tarkkoja tuloksia, ilman mallin laajentamista. Tästä johtuen histo- riallinen Value-at-Risk perustuu usein yhden päivän Value-at-Risk-riskilukuun, joka skaalataan useampaa päivää edustavaksi arvioksi. Soveltuvan skaalausmenetelmän valitseminenkaan ei kuitenkaan ole yksinkertaista. [7] Portfolion rakenne on saattanut historiassa muuttua. Koska tarkoituksena on arvioida nykyisen portfolion tuottoja, ei historiallista dataa voi käyttää sellaisenaan. Historialliset tuotot onkin simuloitava voimassa olevalla portfoliorakenteella. [7] Viimeinen heikkous on, että menetelmä olettaa joko volatiliteetin tai korrelaation pysyvän samana ajan kuluessa. Tämä johtuu siitä, että menetelmä olettaa jakauman olevan stationaarinen. [21] Usein pitkältä aikaväliltä koottu data sisältää lyhyem- piä ajanjaksoja, joiden välillä riskifaktoreiden käyttäytyminen vaihtelee. Tällainen ajanjakso voi syntyä esimerkiksi pörssiromahduksen seurauksena. Mikäli kaikki data huomioidaan yhtäläisesti, ei sen pohjalta tehty arvio heijasta vallitsevien markkinao- losuhteiden mukaista tilannetta. [7] Vaikka historiallisella menetelmällä on mahdollista mallintaa Value-at-Risk myös epälineaarisille portfolioille, on se monimutkaisempaa. Esitellään sen vuoksi ylei- set vaiheet lineaarisen portfolion historialliseen Value-at-Risk-laskentaan ja jätetään epälineaariset portfoliot käsittelemättä. Historiallisen Value-at-Riskin laskentaa op- tioista muodostetulle portfoliolle käsitellään muun muassa lähteessä [7] Historiallinen Value-at-Risk laskenta vaatii historiallista dataa riittävän pitkältä ajalta. Tämän pohjalta simuloidaan portfolion tuottoja, jotka muunnetaan vallitse- vien markkinaolosuhteiden mukaisiksi. Muokattuihin tuottoihin sovitetaan empiiri- nen jakauma ja lopulta jakaumasta lasketaan Value-at-Risk halutulla luottamusta- lossa ja riskihorisontilla.[7] 13 4.1.3 Monte Carlo simulointi Monte Carlo simuloinnin edellytyksenä on tuottojen reunajakaumien, sekä eri tuot- tojen välisen riippuvuuden mallintaminen. Vertailuerille arvioidaan yhteysjakauma, jonka avulla portfolion uusi arvo määritellään generoimalla jakaumasta satunnais- vektori. Kun generointi suoritetaan useasti, simuloidaan tuottojakauma koko portfo- liolle. [21] Vektori koostuu pseudosatunnaisluvuista, jotka ovat algoritmilla luotuja mahdollisimman satunnaisia lukuja. Tiivistetysti Monte Carlo simulaatiota suunni- tellessa kaksi merkittävää valintaa ovat pseudosatunnaislukujen tuottamiseen käy- tettävä algoritmi ja satunnaislukujen riippuvuuksia kuvaava malli. [7] Monte Carlo Value-at-Risk määritellään kuten historiallinen Value-at-Risk 5. Kahteen edellä esiteltyyn tapaan verrattuna, Monte Carlo simulointi on edisty- nein menetelmä Value-at-Risk laskentaan. [6] Menetelmän tehokkuuteen voivat vai- kuttaa reunajakaumien todenmukaisuus yksittäiselle omaisuuserälle, omaisuuserien riippuvuuden mallinnustapa, satunnaislukujen generointiin käytetty algoritmi sekä tuotettujen simulaatioiden lukumäärä.[21] Monte Carlo pohjaisten menetelmien tu- lokset Value-at-Risk-riskimitan tuottamisessa voivatkin vaihdella hyvin paljon kes- kenään. [6] Tuottojen jakauman voidaan olettaa noudattavan moniulotteisen normaalijakau- man lisäksi myös muita jakaumia, kuten Studentin t-jakaumaa. Moniulotteinen nor- maalijakauma on suosittu, sillä parametrien arviointi ja Monte Carlo simulaatioiden tuottaminen on sekä nopeampaa, että helpompaa kuin muita jakaumia käyttäessä. Moniulotteinen normaalijakauma Monte Carlo simuloinnissa altistaa sen vastaaville rajoitteille, joita varianssi-kovarianssi menetelmällä on. Historialliseen menetelmään verrattuna Monte Carlo simulaatio vaatii useampia laskentoja, sillä simulaatioiden lisäksi on estimoitava jakauman parametrit. [21] Toisaalta mahdollisuus simuloi- da estimoitujen parametrien pohjalta useita skenaarioita on suurimpia menetelmän etuja. Monte Carlo simuloinnin voidaan sanoa hyödyntävän historiallista dataa his- toriallista menetelmää kehittyneemmin. [7] Jakauman lisäksi Monte Carlo simulaatiota tehdessä on valittava myös pseudo- satunnaislukujen generointimenetelmä. Kuten historiallinen menetelmä, myös Monte Carlo simulointi voi ratkaista riip- puvuuksien ei-monotonisuudesta johtuvia ongelmia, jonka lisäksi sitä voidaan hyö- dyntää epälineaaristen tuottojen tapauksissa. Lisäksi voidaan laskea Value-at-Risk millä tahansa luottamusvälillä. Se vaatii vain useampia simulaatioita. [6] Monte Car- lo simulointi voi onnistua monimutkaisten riippuvuussuhteiden ja muiden kuin nor- maalijakautuneiden reunajakaumien simuloinnissa. Tämä vaatii jakaumien huolel- lista ja yksityiskohtaista määrittelyä. Historiallisen tavan eduksi mainittiin edellä sen helppo toteutus ja ymmärrettävyys. Monte Carlo simuloinnin tulokset riippuvat useista tekijöistä, jonka vuoksi sen tuloksien raportointi ymmärrettävästi sattaa olla haastavaa. [21] Monte Carlo simulointi ei vaadi taustalleen laajaa historiallista da- taa. Tämä on eduksi esimerkiksi silloin kun halutaan mallin heijastavan vallitsevia markkinaolosuhteita. [7] 14 4.2 Value-at-Risk ja heikkoudet Edellä esiteltyjen laskentamenetelmille tyypillisten heikkouksien lisäksi, Value-at- Risk-riskimitalla on myös ongelmia myös riskimittana. Sen käyttöä onkin laajasti kritisoitu. Jokainen menetelmä vaatii tuottojen jakauman arviointia ja sen epäonnistuessa saattaa tuloksena olla hyvin vääristynyt Value-at-Risk-arvo. [6] Laskennan tuloksena saatu Value-at-Risk-arvo ei kerro mitään jakauman hän- nästä. Kaksi portfoliota voivat samasta Value-at-Risk-arvosta huolimatta olla hyvin erilaisia luottamustason ulkopuoliselta häntäjakaumaltaan.[10] Value-at-Risk ilmai- see suurimman mahdollisimman tappion, kun kaikkein tuhoisimpia ei huomioida. Tällöin tuhoisimpien, mutta kuitenkin mahdollisten, tappioiden suuruus jää tunte- mattomaksi. [21] Jokainen tapa, jolla Value-at-Risk voidaan määrittää hyödyntää dataa mennei- syydestä. Historia ei kuitenkaan aina toista itseään. Poikkeuksellisen vakaa ajan- jakso saattaa aiheuttaa liian matalan Value-at-Risk-arvon ja vastaavasti poikkeuk- sellisen epävakaa jakso liian korkean Value-at-Risk-arvon.[6] Vuosien 2003 ja 2006 välillä markkinoihin vaikuttavien muuttujien volatiliteetti oli matala. Koska Value- at-Risk-arvon laskemiseen käytettiin historiallista dataa, tämän jakson Value-at- Risk-luvutkin olivat sen hetken markkinaolosuhteiden mukaiset. Pankkikriisin ol- lessa aluillaan, Value-at-Risk-arvon datan volatiliteetti oli yhä liian pieni. Tämän seurauksena Value-at-Risk-arvon perusteella lasketut pääomavaatimuksetkin olivat liian matalat kriisin alkaessa. [2]. Usein Value-at-Risk laskentaan käytetään lyhyttä ajanjaksoa, kuten päivää tai viikkoja. On osoitettu, että Value-at-Risk-estimaatti heikkenee siirryttäessä lyhyem- mistä jaksoista vuosittaisiin estimaatteihin.[6] Value-at-Risk tuottaa suurimman tappion valitulla todennäköisyydellä. Tämä tekee siitä soveltumattoman yhtiöille, jotka vertailevat sijoituksia hyvin erilaisilla skaaloilla ja tuotoilla. Value-at-Risk kuvaa vain pienen osan riskistä, joka omai- suuserää rasittaa. Jos investointipäätöksiä tehdään Value-at-Risk-arvon perusteella, se saattaa al- tistaa ylimääräiselle riskille. Altistuminen voi tapahtua, vaikka Value-at-Risk-arvo olisi arvioitu täsmällisesti. On huomattu Value-at-Risk-arvoa riskimittana käyttä- vien päälliköiden tekevän riskillisempiä investointeja kuin muita riskimittoja käyt- tävät päälliköt. [22] Value-at-Risk ei ole koherentti riskimitta, mutta se täyttää kuitenkin osan vaa- dittavista aksioomista. Value-at-Risk on käänteisesti invariantti, positiivisesti ho- mogeeninen ja monotoninen riskimitta. Subadditiivisuutta se ei kuitenkaan aina noudata.[10] Tämä voi aiheuttaa ongelmia esimerkiksi silloin, jos halutaan yhdistää useamman portfolion riskilukuja. 4.3 Odotettu vaje Kuten edeltävässä luvussa todettiin Value-at-Risk kertoo luottamustason sisällä ta- pahtuvan suurimman tappion. Se ei kuitenkaan kerro sitä, minkä suuruisia luotta- mustason ulkopuoliset tappiot ovat. Odotettu luottamustason ulkopuolinen tappio voidaan määritellä ehdollisen odotusarvon kautta. Tätä ehdollista odotusarvoa kut- 15 sutaan odotetuksi vajeeksi (Expected shortfall, ES). Odotetusta vajeesta voidaan käyttää myös nimeä ehdollinen Value-at-Risk (conditional Value-at-Risk, cVaR).[10] Määritellään odotetun vajeen riskimitta. Määritelmä 6. Olkoon L portfolion arvo ja VaR portfoliolle luottamustasolla laskettu Value-at-Risk-arvo. Odotettu vaje ES on ES = E [ L j L  VaR ] : Kuvataan odotettua tuottoa tiheysfunktion f ( x ) avulla ja olkoon Value-at-Risk mitattu luottamustasolla . Tällöin odotettu vaje ES on ES = 1 1 Z V aR 1 xf ( x ) dx: Odotettu vaje voidaan määritellä myös seuraavasti ES = 1 1 Z 1 VaR q dq : Odotetun vajeen laskentaan voi hyödyntää samoja menetelmiä kuin Value-at- Riskin laskentaan. Odotettu vaje ja Value-at-Risk lasketaan usein samanaikaisesti sekä samalla mallilla, näiden ollessa vahvasti yhteydessä toisiinsa. [10] 4.4 Riskimittojen eroavaisuuksia Toisin kuin Value-at-Risk, odotettu vaje täyttää subadditiivisuuden ehdon. Odo- tetun vajeen subadditiivisuus todistetaan muun muassa lähteessä [23]. Se täyttää myös kolme muuta edellä esiteltyä aksioomaa ja onkin siten koherentti riskimitta. Value-at-Risk ja odotettu vaje toteuttavat molemmat komonotonisen subaddi- tiivisuuden, jota on ehdotettu korvaamaan subadditiivisuusehto. [15] Odotetun vajeen estimaatti ei ole konsistentisti pisteytyvä, kuten Value-at-Risk. Tämän puutteen seurauksena sen käyttö riskin ennustamiseen saattaa olla haas- tavaa. [19] Haasteet kohdistuvat etenkin mallin toteumatestaukseen. Kuten edellä mainittiin, on toteumatestauksen tulosten vertailukelpoisuuden kannalta konsistent- ti pisteytyvyys tärkeä ominaisuus. Toteumatestauksen haastavuutta aiheuttaa myös odotetun vajeen keskittyminen ainoastaan jakauman häntään. Odotetun vajeen toteumatestaus ei ole silti mahdotonta. Odotettu vaje ja Value- at-Risk-mitat ovat yhdistettyinä konsistentisti pisteytyviä. Tämä vaatii suppeita oletuksia, jotka ovat usein riskienhallinnallisiin tarkoituksiin soveltaessa voimassa. Yhdistetty konsistentti pisteytyvyys, sekä odotetun vajeen ja Value-at-Risk riski- mittojen yhdistetty konsistentin pisteytyvyyden todistus esitellään lähteessä. [24] Sekä Value-at-Risk että odotettu vaje -riskimittojen heikkous on tappiojakau- mat, joiden häntä on paksu. Varsinkin Value-at-Riskin kohdalla tämä korostuu. Kaksi häntäjakaumaltaan hyvin erilaista häntäjakaumaa voivat saada tulokseksi sa- man riskiluvun. 16 Odotetun vajeen tuottama riskiluku on hyvin herkkä suurille tappioille, vaikka ne olisivat hyvin harvinaisia. Value-at-Risk-mittaan yksittäisillä poikkeavilla arvoilla ei ole juuri vaikutusta. Ero suurten lukujen vaikutuksessa on saman kaltainen kuin mediaanilla ja keskiarvolla. [10] Odotetun vajeen odotusarvo saattaa sisältää tilanteita, joissa pankki ajautuu konkurssiin, mutta myös sellaisia tilanteita, joissa pankin haltuun jää varallisuutta. Tämän voidaan kokea sekoittavan pankin rahoittajien ja omistajien etua. Tappioja- kaumaa ei tule sekoittaa konkurssin todennäköisyyteen. Omistajien ja rahoittajien edun eriarvoisuus saattaa toteutua myös tilanteessa, jossa odotettu vaje hyväksyy konkurssin aiheuttavan position ja hylätä toisen position, vaikka pankin olisi mah- dollista selviytyä tappiosta. [25] Eri tavoin määriteltyjen mallien vaikutusta Value-at-Risk ja odotettu vaje - riskilukuihin tutkiessa havaittiin odotettu vajeen olevan alttiimpi mallin määrit- telystä aiheutuvalle vaihtelulle. Tämä voi johtaa sääntelyarbitraasiin. Minimipää- omavaateita mallintaessa sääntelyarbitraasi voi olla esimerkiksi mallin parametrien valitseminen niin, että pääomavaade on mahdollisimman pieni. [13] Tämä lisäksi odotetun vajeen -mallien parametrit ovat myös alttiimpia väärin määrittelylle kuin Value-at-Risk-mallien parametrit. [13] Tämä saattaa johtaa ris- kien aliarviointiin ja liian vähäiseen varautumiseen. 17 5 Mallin tuloksien varmentaminen Tässä luvussa esitellään kaksi keinoa varmentaa mallin toimivuutta riskin mittaa- misessa. Matemaattisten mallien tuottamia tuloksia ei voida automaattisesti pitää uskottavina ja todellisuutta kuvastavina. Yksi tapa testata mallien tuloksia on to- teumatestaus, joka vertaa mallin ennustamia tuloksia aitoihin havaintoihin. Toinen ongelma varsinkin markkinaolosuhteista riippuvien ilmiöiden mallinta- misessa on se, että markkinaolosuhteet eivät pysy ajan kuluessa samana. Erityisesti nykyhetkeä ja historiaa heikommat olosuhteet ovat riskien kannalta merkittäviä. Heikkoihin markkinaolosuhteisiin varaudutaan usein stressitestaamalla. 5.1 Value-at-Risk-riskimitan toteumatestaus Eräs haaste Value-at-Risk-luvun laskemisessa on luottamustason valinta. Toteuma- testauksen avulla voidaan arvioida mallin tuloksia havaintoihin perustuvaan dataan verraten. Toteumatestauksen suorittaminen riippuu siitä halutaanko testata ainoas- taan Value-at-Risk-estimaattia, odotetua vajetta vai koko tuottojakaumaa.[21] Value-at-Risk-estimaatin tapauksessa testaus on melko yksinkertaista. Mallin tuottamista tuotoista tulee testata valitun luottamustason ylittämisen todennäköi- syys, sekä riippumattomuus muiden päivien toteumista. Arvioidaan jokaista aikaväliä Bernoullin kokeena. Joko aikavälin tuotto sisältyy luottamusvälillä oleviin tuottoihin, tai jää sen ulkopuolelle. Olkoon hetkellä i ansai- tun tuoton Ri jääminen luottamustason ulkopuolelle tämän kokeen onnistuminen. Olkoon onnistumisen todennäköisyys ja Bernoullin kokeen lopputulos Ii. Koe voi- daan esittää muodossa Ii = ( 1 ; jos Ri < VaR1 0 ; jos Ri  VaR1 : Koska Value-at-Risk on tässä yhteydessä määritetty tuottojen kautta, se saa ne- gatiivisia arvoja. Toteumatestauksen nollahypoteesina on, että tarkasteltavien het- kien tuottojen jääminen luottamusvälin ulkopuolle ovat toisistaan riippumattomia ja Bernoulli-jakautuneita H0 : Ii  i.i.d Bernoulli ( ) : Olkoon koko otos T . Tällöin todennäköisyys, että otoksessa T on Tl kappaletta luottamusvälin ulkopuolelle jääviä tuottoja on P ( Tl) =  T Tl  Tl(1 )T Tl : Merkitään ulkopuolelle jäävien tuottojen ja koko otoksen suhdetta  ^ = Tl =T . Malli on tarkka, kun todennäköisyys =  ^ . Tätä nollahypoteesia voidaan testata uskot- 18 tavuustestisuureella LRua = 2 ln  L ( ) L (  ^)  = 2 ln  Tl(1 )T Tl  ^ Tl(1  ^)T Tl  ; joka lähestyy asymptoottisesti 2-jakaumaa. Testin avulla selviää ennustaako Value- at-Risk-estimaatti oikean kappalemäärän luottamustason ulkopuolisia tuottoja. Se ei kuitenkaan ota vielä kantaa siihen ovatko luottamustason ulkopuolelle jäävät to- teutuneet tuotot toisistaan riippumattomia vai esiintyvätkö ne ryppäinä. [21]. Ryppäinä esiintyvät luottamustason ulkopuolelle jäävät havainnot merkitsevät, että päivänä l + 1 ulkopuolelle jääminen on todennäköisempää, jos päivänä l on jääty luottamustason ulkopuolelle. Mallin tuottamien arvojen riippumattomuutta voidaan testata vertaamalla niitä Markovin ketjuun, jossa on kaksi jo aiemmasta toteumatestistä tuttua tilaa. Tuotolle mallinnettu arvo, on joko luottamustason si- sällä tai ulkopuolella. Markovin ketjua noudattavan satunnaismuuttujan arvo on riippuvainen ainoastaan edeltävän ajanhetken satunnaismuuttujan arvosta. Tilasta i tilaan j siirtymien todennäköisyyttä ij voidaan kuvata matriisina.  =  1 01 01 1 11 11  Matriisin todennäköisyyksien mukainen Markovin ketjun uskottavuusfunktio on L () = (1 01)T00  T01 01 (1 11)T10  T11 11 ; jossa Tij on sellaisten havaintojen lukumäärä, jossa siirrytään tilasta i tilaan j . Ensimmäisen asteen derivaattojen nollakohtien avulla saadaan todennäköisyyk- sille suurimman uskottavuuden estimaatit  ^01 = T01 T00 + T01 ja  ^11 = T11 T10 + T11 Jos tuotto on riippumaton edeltävän hetken tuotosta, tulisi yhtäsuuruuden 01 = 11 päteä. Tällöin nollahypoteesin mukainen uskottavuuskerroin on L (^) = (1  ^)T00+ T10  ^ T01+ T11 ; jossa  ^ =  ^01 =  ^11 : Uskottavuuskerroin riippumattomille poikkeuksille on LRind. = 2 ln L (  ^) L (^) ; ! 19 joka noudattaa asymptoottisesti 2(2) -jakaumaa. L (  ^) on todennäköisyyden us- kottavuusfunktio. Mallin oikeellisuuden arvioimiseksi uskottavuuskertoimet tulee muuntaa p-arvoiksi. Jos otos on suuri, tämä voidaan laskea suoraan 2-jakauman kertymäfunktiosta. Pienillä otoksilla p-arvo on kannattavampaa laskea simuloimalla, sillä pienessä otoksessa voi olla vähän etenkin luottamustason ylittäviä havaintoja. [26] 5.2 Odotetun vajeen toteumatestaus Koska odotetu vaje ei ole konsistentisti pisteytyvä, on sen laskentaan käytettävien mallien toteumatestaus monimutkaisempaa kuin Value-at-Risk-mallien. Siitä huoli- matta menetelmiä on olemassa useita. Tässä luvussa esitellään niistä muutama. Lähteessä [27] käsitellään kolme toteumatestaustapaa odotetulle vajeelle. Nämä menetelmät ovat ei-parametrisiä, riippumattomia jakaumasta eivätkä oleta asymp- toottista konvergenssia. Esitellään näistä kaksi tarkemmin seuraavissa aliluvuissa. 5.2.1 Value-at-Risk-riskimitan toteumatestauksen hyödyntäminen Ensimmäisessä menetelmässä toteumatestataan ensin Value-at-Risk ja hyödynne- tään tätä odotetun vajeen testaamisessa. Olkoon Xt pankin ansaitsema tuotto päivänä t = 1 ; : : : ; T . Xt noudattaa tun- tematonta todennäköisyysjakaumaa Ft, jonka mallinnettu todennäköisyysjakauma on Pt. Satunnaismuuttujat X~ = f Xt g ovat toisistaan riippumattomia, mutta eivät välttämättä samoin jakautuneita. Odotetun vajeen ES ;t määritelmästä 6 voidaan johtaa E  Xt ES ;t + 1 Xt + VaR ;t < 0  = 0 : Jos VaR ;t on jo toteumatestattu, voidaan havaittujen poikkeamien suuruutta tes- tata erikseen odotetun vajeen mallin tuottamia ennusteita vastaan. Olkoon It indi- kaattorifunktio, joka on määritelty seuraavasti It = ( 1 ; kun Xt + VaR ;t < 0 0 ; kun Xt + VaR ;t  0 : Indikaattorifunktio saa arvon 1 , kun tuotto on luottamustason sisällä ja muuten arvon 0 . Määritellään tämän avulla testisuure Z1  X~  = PT t =1 XtIt ES ;t NT + 1 ; kun NT = PT t =1 It > 0 . Valitaan testille nollahypoteesi H0 : P [ ] t = F [ ] t ; 8 t; 20 jossa P [ ] t ( x ) = min(1 ; Pt( x ) = ) on häntäjakauma muuttujalle x . Muuttuja x on pienempi kuin VaR ;t. Vastahypoteesi on H1 : ES F ;t  ES ;t ; kaikilla t; ESF ;t > ES ;t ; jollain t ja VaR F ;t = VaR ;t ; kaikilla t; jossa E S F ;t on odotetun vajeen toteuma, kun X  F . Ennustettu VaR pätee myös vastahypoteesin ollessa voimassa. Testi perustuu Value-at-Risk-mitan toteumatestaukseen, jonka vuoksi tämä on oleellinen huomio. Valitut hypoteesit toteuttavat seuraavan lauseen. Lause 1. Olkoon toteumatestin hypoteesit H0 : P [ ] t = F [ ] t ; 8 t; H1 : ES F ;t  ES ;t ; 8 t; ESF ;t > ES ;t ; 9 t ja VaR F ;t = VaR ;t ; 8 t: Nollahypoteesin H0 ollessa voimassa toteutuu odotusarvo EH0 [ Z1 j NT > 0] = 0 : Kun puolestaan vastahypoteesi H1 on voimassa, toteutuu odotusarvo EH1 [ Z1 j NT > 0] < 0 : Lauseen todistus esitetään lähteessä [27]. Edellä esitellyn lauseen nojalla oletetaan Z1  X~  arvon olevan nolla, kun nolla- hypoteesi on voimassa. Muuttujan Z1  X~  negatiiviset arvot viestivät, että mallin tuottamat ennusteet eivät vastaa havaittuja arvoja. 5.2.2 Odotetun vajeen toteumatestaus suoraan Toinen menetelmä testaa odotetua vajetta suoraan. Menetelmän testi seuraa suo- raan odotusarvosta ES ;t = E  Xt It  : Kyseiseen odotusarvoon perustuen määritellään Z2  X~  = TX t =1 Xt It T ES ;t + 1 : Testiin soveltuvat nollahypoteesi ja vastahypoteesi ovat H0 : P [ ] t = F [ ] t ; 8 t H1 : ES F ;t : Näiden valittujen hypoteesien ollessa voimassa, toteutuu seuraava lause. 21 Lause 2. Olkoon toteumatestin hypoteesit H0 : P [ ] t = F [ ] t ; 8 t H1 : ES F ;t : Nollahypoteesin H0 ollessa voimassa toteutuu odotusarvo EH0 [ Z2] = 0 : Kun puolestaan vastahypoteesi H1 on voimassa, toteutuu odotusarvo EH1 [ Z2] < 0 : Lauseen todistus esitetään lähteessä [27]. Kuten ensimmäisen toteumatestausmenetelmän kohdalla, negatiiviset arvot ker- tovat heikosta testituloksesta. 5.2.3 Muita toteumatestausmenetelmiä Esitellään lopuksi lyhyesti muutama toteumatestausmenetelmä, joita voidaan käyt- tää odotetun vajeen toteumatestaamiseen joko suorasti tai epäsuorasti. Kolmannessa lähteen [27] esittelemässä toteumatestissä tarkastellaan mallin tuot- taman havaintojen jakauman häntiä. Onnistuneen mallin havaintojen pitäisi olla toi- sistaan riippumattomia ja noudattaa tasajakaumaa U (0 ; 1) . Menetelmä ei ole yhtä luonnollinen kuin kaksi aiemmin esiteltyä. Tästä huolimatta se on kuitenkin yleis- tettävissä Lähteessä [28] odotetun vajeen toteumatestaukseen ehdotetaan Diebold-Mariano testiä, joka hyödyntää odotetun vajeen ja Value-at-Risk-mitan yhdistettyä konsis- tenttia pisteytyvyyttä. Diebold-Mariano testi vertailee kahta ennustetta ja näiden ennustevirheitä. Testi perustuu testisuureeseen, joka noudattaa asymptoottiesti nor- maalijakaumaa. [29] Moniulotteisia toteumatestejä esitellään lähteessä [30]. Näitä ehdotetaan epä- suoraksi tavaksi toteumatestata odotetua vajetta ja nämäkin perustuvat Value-at- Risk-mallien toteumatestaukseen. Moniulotteinen testi mahdollistaa, että odotetun vajeen mallin arviointiin voidaan käyttää Value-at-Risk-mallin arvoja eri luottamus- tasoilta. Testejä luonnehditaan helpoiksi ymmärtää, selittää sekä toteuttaa. Moniu- lotteisen toteumatestin osoitetaan olevan perinteistä binomijakaumaan perustuvaa Value-at-Risk-mallin toteumatestiä parempi. Se erottelee paremmin hyvät ja huonot mallit etenkin, kun testataan havaintoja pidemmältä aikaväliltä. Kumulatiivisiin poikkeamiin perustuvia toteumatestejä käsitellään lähteessä [31]. Testejä esitellään useampia, mutta kaikkien lähtökohta on samankaltainen kuin edellä esitellyssä Value-at-Risk-mallin toteumatestissä. Luottamustason ulkopuolelle jäävät havainnot ovat onnistuneen mallin tapauksessa satunnaisia. Kumulatiivisella poikkeamalla tarkoitetaan tämän testin yhteydessä integraalia yli luottamustason ylittävien havaintojen. 22 5.3 Stressitestaus Stressitestaamalla selvitetään äärimmäisen vakavan ja harvinaisen, mutta kuiten- kin mahdollisen skenaarion vaikutusta portfolioon ja sen arvoon. [10] Esimerkiksi EKP:n vuonna 2023 teettämissä stressitesteissä skenaariona oli korkean inflaation ja matalan kasvun, sekä korkeiden korkojen kausi.[32] Stressitesti on yksinkertainen ja läpinäkyvä, mutta skenaarioiden luominen saattaa olla lähempänä taidetta kuin tiedettä. [10] Stressitestaamiseen ei ole yhtä maailmanlaajuisesti hyväksyttyä menetelmää. Eräs suosittu menetelmä pohjautuu regressioanalyysiin. Ensimmäisessä vaiheessa määritellään skenaario. Skenaario voi perustua histori- aan tai olla testausta varten kehitetty.[10] Stressitestausta varten halutaan kohdis- taa skenaario muutamaan merkittävään riskifaktoriin tai rahoitusvälineeseen. Jos skenaarion määrittävät tekijät ovat vahvasti korreloituneita, se häiritsee mallin pa- rametrien arviointia. Tätä kutsutaan multikollineaarisuudeksi. [10] Seuraavaksi on määriteltävä, miten valittu skenaario vaikuttaa muihin rahoi- tusvälineisiin. Arvio voidaan muodostaa monimuuttujaregressiolla. Ensin regressoi- daan jokaisen rahoitusvälineen tuotot skenaarion tuottojen kanssa. Regressointiin käytetään viimeaikaisia tuottoja, vaikka skenaarion tuotot olisivatkin historiallisia. Tämä johtuu käytännöllisistä syistä. Esimerkiksi euroa ja joitain nykyajan suurim- pia yrityksiä ei ollut muutamia vuosikymmeniä sitten. Stressitestillä halutaan va- rautua tulevaisuuteen ja useimmiten nykyhetken tiedot ovat tähän parempia kuin menneet.[10] Kun vallitseva skenaario ja tämän vaikutukset instrumenttien tuottoihin on mää- ritelty on viimeisenä vaiheena optioiden ja muiden johdannaisten hinnoittelu. [10] Esitellään esimerkki stressitestin toiminnasta. Esimerkki 2. [10] Olkoon skenaariona raakaöljyn hinnan nousu 20% ja S & P 500 indeksin lasku 10% . Portfoliossa on pelkästään 100 dollarin edestä öljy-yhtiön X osakkeita. Muodostetaan regressio, jotta voidaan nähdä vaikutus portfolion arvoon RX = 1 + 2 Rl j y + 3 RS P X + : Käytetään muodostamiseen päivittäisiä tuottoja viimeisen vuoden ajalta. Oletetaan, että Rl j y ja RS P X ovat korreloimattomia, jolloin multikollineaarisuus ei ole ongelma. Kun lasketaan betojen arvot pienimmän neliösumman menetelmällä, saadaan öljy- yhtiön tuotoksi RX = 0 : 000 + 0 : 0899 Rl j y + 0 : 7727 RS P X + : Näin ollen odotettu tuotto öljy-yhtiölle annetussa stressiskenaariossa on E [ RX j sk enaar io ] = 0 : 000 + 0 : 0899  0 : 20 + 0 : 7727  ( 0 : 10) = 0 : 0593 : Alkuperäisen portfolion arvon ollessa 100 dollaria, skenaarion odotettu tappio on 5 : 93 dollaria. Esimerkissäkin käytetty pienimmän neliösumman menetelmä olettaa lineaarisen riippuvuuden selitettävän ja selittävän muuttujan välillä. [10] 23 5.3.1 Value-at-Risk-riskimitan toteumatestaus Vuonna 1996 muutettu Basel I vaati ensimmäisen kerran pääomaa markkinaris- kien varalle. Tällöin pääomavaatimus määriteltiin 10 päivän 99% Value-at-Risk- arvolla.[2] Ongelmien seurauksena Baselin komitea esitteli stressatun Value-at-Riskin (stres- sed Value-at-Risk, sVaR) [2]. Baselin vaatima stressattu Value-at-Risk lasketaan da- talla, joka sisältää 12 kuukauden taloudellisesti poikkeuksellisen jakson. Sen tarkoi- tuksena on kuvata, kuinka paljon stressattu data kasvattaa riskiä. [33] Basel II.5 vaatii pankkeja laskemaan normaalin Value-at-Risk-arvon ja stressatun Value-at-Risk-arvon. Näiden avulla lasketaan pääomavaatimus max (VaR t 1 ; mc  VaR ) + max (sVaR t 1 ; ms  sVaR ) ; jossa VaR t 1 ja sVaR t 1 ovat Value-at-Risk ja stressattu Value-at-Risk edellisenä päivänä laskettuna. VaR ja sVaR ovat viimeisen 60 päivän keskimääräiset Value- at-Risk ja stressattu Value-at-Risk. Viimeisenä mc ja ms ovat pankkivalvojien mää- rittelemiä kertoimia. Koska stressattu Value-at-Risk on aina vähintään yhtä suuri kuin Value-at-Risk, voidaan pääomavaatimus kutistaa muotoon max (VaR t 1 ; mc  VaR ) : Uudistetun sääntelyn mukaan lasketut pääomavaatimukset olivat yli kaksinker- taiset aiempaan verrattuna.[2] 24 6 Markkinariskien pääomavaatimukset Pankeilla on globaalissa taloudessa keskeinen rooli lyhytaikaisten tallettajien varojen välittäjänä pitkäaikaisille lainaajille. Pankkitoiminnan luontaisten riskien seurauk- sena, sille on asetettu jatkuvaa ja tehokasta valvontaa. Pankkisääntelyn tehtävä on varmistaa muun muassa pankkien pääoman riittä- vän kattamaan niiden ottamat riskit.[2] Mitä enemmän pankki ottaa riskiä, sitä enemmän sillä tulisi olla pääomaa toiminnan turvaamiseksi. Markkinariskin pää- omavaatimukset varmistavat pankeilla olevan tarpeeksi pääomaa kattamaan portfo- lioiden markkinariskit. [6] Tiukkojen pääomavaatimusten on havaittu lisäävän pank- kien välistä kilpailua. Pääomavaateiden vaikutus kilpailuun on heikompi silloin, kun kriisitilanne on käynnissä. [34] Vaikka markkinariskit koskettavat kaikkea rahoitusvarallisuutta, markkinaris- kien pääomavaateet lasketaan ainoastaan pankin kaupankäyntivarastoon (trading book) kuuluville instrumenteille. [5] Kaupankäyntivarastoon kuuluvat instrumentit ovat sellaisia, joilla pankki käy kauppaa eikä pidä hallussaan sopimuksen koko matu- riteettia. Pankin rahoitustase (banking book) sisältää omaisuuseriä, joita oletetaan omistavan niiden koko maturiteetin. Tällaisia eriä ovat esimerkiksi pankin asiakkai- den talletukset, sekä asiakkaille myönnetyt lainat. Rahoitustaseen korkoriskille ja luottomarginaaliriskille Baselin komitea on määritellyt oman sääntelykokonaisuu- den. [35] Baselin komitean sääntelykehikko asettaa maailmanlaajuisen perustan pankkien sääntelylle. [3] Pankkeja Baselin suositukset ja standardit velvoittavat vasta kan- sallisen tai ylikansallisen lainsäädännön kautta. Esimerkiksi suomalaisia pankkeja velvoittaa suomalainen lainsäädäntö, sekä EU-lainsäädäntö.[34] Euroopan pankki- viranomainen (European banking authority, EBA) osallistuu Baselin komitean toi- mintaan valvojana.[36] Suomessa pankkivalvonnasta vastaa Finanssivalvonta yhteis- työssä Euroopan keskuspankin kanssa.[37] EU on sitoutunut noudattamaan Basel III -sääntelyä. [36] Markkinariskien osalta uusi pääomavaateita koskeva sääntely astuu voimaan 1 : 1 : 2026 [38] Nykyisessä markkinariskien pääomavaateiden sääntelykehikossa pankit voivat valita kahden lähestymistavan välillä. Nämä ovat standardimenetelmä (standardi- sed approach) ja sisäisten mallien menetelmä (internal models approach). Standar- dimenetelmästä on kehitetty myös yksinkertaistettu standardimenetelmä. Standardimenetelmä on kehitetty pankeille, joiden liiketoiminta ei vaadi moni- mutkaisia malleja markkinariskien mittaamiseen. Se toimii myös varajärjestelmänä pankeille, joiden sisäiset mallit eivät täytä valvojan vaatimuksia sekä lisävaateena ja sisäisillä menetelmillä mitatun pääomavaateen alarajana. Standardimenetelmälle tärkeitä ominaisuuksia ovat läpinäkyvyys, yhdenmukaisuus ja raportoinnin vertail- tavuus. Tässä tutkielmassa keskitytään sisäisten mallien mukaiseen pääomavaateiden mittaamiseen. Sitä käyttäville pankeille on asetettu minimivaatimuksia, jotka esi- tellään myöhemmin. 25 6.1 Historia Ensimmäinen Baselin pääomaohjeistus julkaistiin pankeille vuonna 1988. Tällöin ohjeistettiin, että minimipääomavaatimus riskilliseen omaisuuteen nähden tulisi olla kahdeksan prosenttia vuoden 1992 loppuun mennessä.[39] Basel II julkaistiin vuonna 2004 korvaamaan alkuperäinen pääomaohjeistus. Se koostui kolmesta osasta 1. minimipääomavaatimuksista 2. valvonnan näkemyksestä pankin pääoman riittävyydestä ja sisäisestä valvon- taprosessista 3. läpinäkyvyyden hyödyntämisestä markkinakurin ja turvallisen pankkitoimin- nan kasvattamiseksi. Uuden sääntelykehikon tavoitteena oli lisätä säänneltyjen pääomavaatimusten vai- kutusta riskeihin, sekä huomioida uudistuneet rahoitusmarkkinat.[39] Vuosien 2007 2009 luottokriisin jälkeen Baselin komitean oli tarkastettava Ba- sel II täysin. Basel II.5 julkaistiin vuonna 2009 ja se kasvatti pääomavaatimuk- sia markkinariskin suhteen. Baselin komitea tahtoi pääomavaatimusten huomioi- van myös likviditeettiriskit.[2] Basel III kehikko esitteli pääomansääntelyn tueksi lisäpääomavaatimuksen (capital conservation buffer), muuttuvan lisäpääomavaati- muksen (countercyclical capital buffer) ja velkaantumisasteen. Tämän lisäksi Basel III-kehikossa on kaksi likviditeettivaatimusta, maksuvalmiusvaade (Liquidity Cove- rage Ratio, LCR) ja pysyvän varainhankinnan vaatimus (Net Stable Funding Ratio, NSFR). Myös pääomavaatimusten sisältö muuttui, vaikka oman pääoman minimi- vaade pysyi kahdeksassa prosentissa. 6.2 Fundamental review of trading book ja uudistunut mark- kinariskisääntely Basel II.5 oli nopea reagointi finanssikriisiin. Baselin komitea kuitenkin koki, ettei se riittänyt korjaaman kaikkia heikkouksia, joita markkinariskien sääntelyssä tuohon aikaan oli. Vuonna 2012 Baselin komitea julkaisi ensimmäisen arvion voimassa ol- leesta sääntelykehikosta. Lopullisessa muodossa "Fundamental review of the trading book: A revised market risk framework"julkaistiin vuonna 2013. [4] Tässä luvussa tiivistetään arvion [4] esiin tuomat heikkoudet keskittyen riskimittoja koskeviin ha- vaintoihin. 6.2.1 Sisäiset menetelmät Sääntelyn vaatiman pääoman määrän on oltava tarpeeksi kattava myös markkinoi- den ollessa merkittävässä stressitilanteessa. On tavoiteltavaa, ettei pääomavaateen suuruus vaihtele syklisesti. Kalibroimalla riskien mittaamiseen käytettävät mallit markkinoiden stressin sisältävällä datalla, varaudutaan kriiseihin sekä tasoitetaan pääomavaatimuksien vaihtelua. Stressiä hyödynnetään sekä sisäisiä menetelmiä, et- tä standardimenetelmiä käytettäessä. 26 Tutkielmassa on jo esitelty Value-at-Risk riskimitan heikkouksia. Havaittujen heikkouksien vuoksi Baselin komitea korvaa sisäisissä menetelmissä pääomavaateen laskemiseen käytetyn 99% luottamustasolla lasketun kymmenen päivän Value-at- Risk estimaatin 97 : 5% luottamustasolla lasketulla kymmenen päivän odotetun va- jeen estimaatilla. Value-at-Risk-mittaa käytetään yhä mallin hyväksymisprosessissa sekä toteumatestauksessa. Pankin on pyydettävä valvojalta hyväksyntä sisäisten menetelmien käyttöön. Hy- väksymiskäsittelyä on pilkottu uuteen sääntelyyn useampaan osaan ja hyväksyntä on nyt haettava jokaiselle kaupankäyntiyksikölle erikseen. Valvoja testaa pankin mallia muun muassa kvantitatiivisten työkalujen avulla ennen hyväksyntää. Mallin luotet- tavuuden arvioon vaikuttavat, kuinka hyvin malli kuvaa tuotto tappio -jakauman riskifaktoreita sekä päivittäin tehtävän toteumatestauksen tulokset. Tulosten on ol- tava riittävän korkealla tasolla, jotta yksikön pääomavaateen laskemiseen voidaan käyttää sisäistä menetelmää. Lisäksi uudistettu sääntely on luonut määritelmän sille, onko riskifaktori mallinnettava. Riskifaktori voi olla soveltumaton mallinnettavaksi esimerkiksi silloin, jos sen datan laadussa on puutteita. Baselin komitea on tunnistanut markkinoiden suhteellisen likviditeetin aiheut- tavan riskiä, joka on tärkeää huomioida myös pääomavaateissa. Ennen Basel II.5 sääntelyä, markkinariskisääntely oletti koko kaupankäyntivaraston olevan likvidi. Oletuksen virheellisyys paljastui finanssikriisin myötä. Kriisin aikana markkinoiden likvidiys heikkeni ja pankit kokivat suuria tappioita joutuessaan pitämään riskillisiä positioita hallussaan odotettua kauemmin. Likvidiyden puutteesta johtuviin riskeihin varaudutaan sisällyttämällä pääoma- vaateisiin likviditeettihorisontti, joka esiteltiin jo Basel II.5 sääntelyssä. Likviditeet- tihorisontti on aika, joka oletetusti vaaditaan stressaantuneissa markkinaolosuhteissa riskiposition poistamiseksi tai hajauttamiseksi vaikuttamatta oleellisesti markkina- hintoihin. Likviditeettihorisontteja on viisi ja niiden pituus vaihtelee kymmenestä päivästä yhteen vuoteen. Likviditeettihorisontti on otettu huomioon myös standar- dimenetelmän kehittämisessä. Baselin komitea arvioi aikaisemmassa sääntelykehikossa sisäisten menetelmien olleen liian riippuvaisia pankkien omasta näkemyksestä. Tämä on aiheuttanut suuria eroja sisäisillä menetelmillä ja standardimenetelmillä laskettujen pääomavaateiden välille. Menetelmien yhteyttä toisiinsa halutaan vahvistaa. Tämän vuoksi kaikkien pankkien on esimerkiksi laskettava pääomavaade myös standardimenetelmällä. 6.2.2 Muita muutoksia Kaupankäyntivarastoa ja rahoitustoiminnan varastoa koskevat erilaiset pääomavaa- timukset, vaikka riskit saattaisivat olla samankaltaiset. FRTB tuo esiin aiemman kaupankäyntivaraston ja rahoitustoiminnan välisen määrittelyn heikkouden, sillä se on perustunut ainoastaan pankin itse määrittämään aikomukseen käydä kauppaa. Käsityksen kaupankäyntiaikeista on huomattu olevan monitulkintainen. Nämä kak- si tekijää yhdistettynä ovat mahdollistaneet arbitraasin ja uuden sääntelyn myötä määritelmiä on tarkennettu. Arvopaperistaminen on tapa, jolla lainanantaja voi myydä myöntämiään luottoja arvopaperin muodossa sijoittajille. Luottoihin liittyvillä tuotteilla oli suuri merkitys finanssikriisissä, joka puolestaan osoittaa niitä koskevan sääntelyn olleen epäonnistu- 27 nutta. Korjatakseen aiempia puutteita uudessa sääntelykehikossa arvopaperistettuja ja ei arvopaperistettuja omaisuuseriä käsitellään eri tavoin. Baselin komitea arvioi, etteivät pankit kykene sisäisillä menetelmillään kuvaa- maan arvopaperistettujen tuotteiden riskiä. Tämän vuoksi arvopaperistettujen tuot- teiden pääomavaateet perustuvat markkinariskisääntelyssä kuvattavaan standardi- menetelmään. Sisäisiä menetelmiä voidaan käyttää sellaisten omaisuuserien riskin mittaami- seen, jotka eivät ole arvopaperistettuja. Kaupankäyntivaraston ei-arvopaperistetuille omaisuuserille on kuitenkin laskettava erillinen maksukyvyttömyysriskin lisäpää- omavaade. Sijoitusten hajauttaminen ja suojaus on tyypillistä kaupankäyntivaraston hal- linnassa ja niiden tavoitteena on pienentää sijoitusten riskejä. Suojaus altistaa si- joituskohteen kuitenkin korkoperusteriskille sekä vastapuoliriskille. Hajauttamisen hyödyt puolestaan saattavat kadota markkinoiden ollessa kriisissä. Aiemmin suo- jaamisen ja hajauttamisen riskiä pienentävät vaikutukset on voitu huomioida laa- jasti sisäisiä menetelmiä käyttäessä, mutta standardimenetelmässä vastaava hyöty on ollut rajoitetumpaa. Uudistetussa sääntelyssä käsittely on yhdenmukaisempaa. Basel III sääntely vaatii minimipääomavaatimuksen laskemiseen käytettävältä datalta suuria otoksia. Näiden on sisällettävä jokaisen riskitekijän ja likviditeetti- ikkunan yhdistelmiä, joille pankki voi altistua. Otoksien avulla tuotetaan sisäisten mallien mukaisia estimaatteja riskimitoille, kuten stressattu odotetun vajeen esti- maatti. [40] 6.3 Sisäiset mallit Standardimenetelmän sijaan oman pääoman vaatimus voidaan määrittää myös si- säisten mallien avulla (Internal rating base approach, IRB). Tämä luku perustuu Baseli III markkinariskien pääomavaatimusten sääntelyyn [5]. Sisäisten mallien on oltava pankin valvontaviranomaisen hyväksymiä. Baselin komitea on antanut viisi vaatimusta, jotka pankin tulee vähintään täyttää käyttääk- seen sisäistä mallia. 1. Valvontaviranomainen katsoo, että pankin riskienhallinta on käsitteellisesti yh- denmukaista ja se toteutetaan rehellisesti. 2. Valvontaviranomaisen näkökulmasta pankilla on tarpeeksi riittävän kokenutta henkilökuntaa käyttämään monimutkaisia malleja. 3. Pankki on pystynyt todistamaan valvontaviranomaiselle riskienhallintansa tark- kuuden. 4. Pankki suorittaa säännöllisesti stressitestejä. 5. Minimipääomavaatimuksen määrittämiseen käytettävä menetelmät ovat vali- doitu mallin kehityksestä riippumattoman yksikön puolesta. Mallin validointi on toimintapa, jolla arvioidaan mallin soveltuvuutta.[6] Ba- sel III -sääntelyn mukaan validointiin on sisällyttävä muun muassa hypoteettinen 28 tuotto-tappiolaskenta ja toteumatestaus. Validointi suoritetaan aina, jos malli on uusi tai siihen on tehty merkittäviä muutoksia. Validoinnin lisäksi malli on arvioi- tava vähintään vuosittain sellaisen yksikön toimesta, joka on erillinen mallin kehit- täneeseen yksikköön. Pääomavaateen laskentaan käytettävän mallin tulee kattaa riskitekijöiden arvon- muutokset, joita ovat osakkeiden tai hyödykkeiden hintojen muutokset sekä koron, luottomarginaalin tai valuuttakurssin muutokset. Riskitekijät jaetaan mallinnetta- viin ja ei-mallinnettaviin riskitekijöihin. Mallinnettava riskitekijä läpäisevät riski- tekijän soveltuvuustestin (the risk factor eligibility test RFET). Testi vaatii, että mallinnettavasta riskitekijästä on saatavilla riittävä määrä aitoja hintahavaintoja tietyn aikavälin sisällä. 6.3.1 Mallinnettavat riskitekijät Pankeilla on vapaus määrittää odotetun vajeen mallinsa tarkka luonne, kunhan se on minimivaatimusten mukainen. Yksittäisellä pankilla tai niiden valvontaviranomaisel- la on mahdollisuus vaatia tiukempia kriteerejä mallille. Odotettu vaje on laskettava päivittäin pankkitasoisesti ja jokaiselle kaupankäyn- tiyksikölle, jonka minimipääomavaade laskentaan käytetään sisäistä mallia. Lasken- nassa huomioidaan riskitekijät, jotka ovat aiemmin hyväksytty mallinnettaviksi ris- kitekijöiksi. Kuten edellä on mainittu, lasketaan odotettu vaje 97 : 5 luottamustasolla. Likviditeettiriski huomioidaan suhteuttamalla kymmenen päivän odotetun va- jeen estimaatti omaisuuserien likviditeettiin. Omaisuuserät kohdennetaan johonkin viidestä bj päivän likviditeetti-ikkunasta. Likviditeetti-ikkunoita ovat b1 = 10 ; b2 = 20 ; b3 = 40 ; b4 = 60 ja b5 = 120 . Olkoon LH bj portfolio omaisuuseriä, joiden likviditeetti-ikkuna on bj päivää tai enemmän. Esimerkiksi LH 10 on kaikki port- folion omaisuuserät ja LH 40 on portfolio omaisuuseristä, joiden likviditeetti on 40 päivää tai enemmän. Määritellään seuraavaksi likviditeettiin suhteutettu odotettu vaje. Määritelmä 7. Olkoon LH bj portfolio omaisuuseriä, joiden likviditeetti-ikkuna on bj päivää tai enemmän ja E S ( j ) portfolion odotetun vajeen estimaatti. Likviditeet- tiin suhteutettu odotettu vaje E S on ES = vuutES(LH10)2 + 5X j =2 r bj bj 1 10 ES(LH bj) !2 ; jossa q bj bj 1 10 on tuottojen normaalisuusoletukseen perustuva likviditeettivakio. Suhteuttaminen perustuu likviditeettiin, jonka seurauksena pidemmän likvidi- teetti-ikkunan odotetulla vajeella on korkeampi kerroin, sillä niiden likviditeettiris- kikin on korkeampi. Odotettu vaje on laskettava myös niin, että portfolion kannalta merkittävät riskitekijät ovat määriteltyjä haastavan ajanjakson mukaisesti. Lopullista pääomavaadetta varten mallinnettaville riskitekijöille lasketaan pää- omavaateet pankkitasoisesti yhdessä ilman riskiluokkien välisten korrelaatioiden val- vojan asettamia rajoitteita sekä erikseen jokaiselle riskitekijälle. Riskifaktorit hyöty- vät hajautuksesta, mutta finanssikriisit ja järjestelmäriski aiheuttavat korrelaatioi- den kasvua. Se puolestaan heikentää hajautuksen hyötyä. Hallitakseen tätä riskiä 29 Basel III vaatii pankkien laskevan osittaispääomavaatimukset korkoriskille, osakeris- kille, valuuttariskille, hyödykeriskille ja luottomarginaaliriskille. Määritellään pää- omavaade riskifaktoreille. Määritelmä 8. Olkoon i korko-, osake-, valuutta-, hyödyke- tai luottomarginaa- liriski ja C0 kaikki riskitekijät. Sisäisten mallien pääomavaatimus mallinnettaville riskifaktoreille on IMCC( Ci) = ESR ;Si  ESF ;Ci ESR ;Ci ; jossa ESR ;S on likviditeetillä suhteutettu odotetun vajeen estimaatti stressatuista riskitekijöistä, ESF ;C on likviditeetillä suhteutettu odotetun vajeen estimaatti ny- kyisen markkinatilanteen riskitekijöistä ja ESR ;C on likviditeetillä suhteutettu odo- tetun vajeen estimaatti nykyisen markkinatilanteen riskifaktoreista, jotka ovat myös estimaatissa ESR ;S. Suhde ESF ;C ESR ;C  1 . Kahden edellä esitellyn IMCC( Ci) -arvojen avulla määritellään pankin yhdistetty pääomavaade sisäisten mallien menetelmällä. Määritelmä 9. Sisäisten mallien yhdistetty pääomavaatimus I M C C on IMCC =  (IMCC( C0)) + (1  ) 5X i =1 IMCC( Ci) ! ; jossa  = 0 : 5 . 6.3.2 Ei-mallinnettavat riskitekijät Riskifaktoreille, joita ei voida mallintaa määritellään pääomavaade sellaisen stres- siskenaarion kautta, joka on vähintään yhtä varovainen kuin odotetun vajeen mal- linnukseen käytetty. Stressijaksoksi pankin on määriteltävä yleinen 12 kuukauden stressijakso kaikille mallintamattomille riskifaktoreille samassa riskiluokassa. Myös ei-mallinnettavien riskitekijöiden pääomavaade lasketaan jokaiselle kaupankäyntiyk- sikölle erikseen. Määritellään ei-mallinnettavien riskitekijöiden pääomavaade. Määritelmä 10. Olkoon I joukko mallintamattomia idiosynkraattisia luottomargi- naaliriskifaktoreita, joiden välinen korrelaatio on 0 . Stressattua pääomavaatimusta riskifaktorille i joukosta I on merkitään ISESN M ;i. Olkoon J joukko mallintamat- tomia idiosynkraattisia osakeriskifaktoreita, joiden välinen korrelaatio on 0 . Stres- sattua pääomavaatimusta riskifaktorille j joukosta J merkitään ISESN M ;j. Jäljelle jäävien mallintamattomien riskifaktoreiden joukko mallinnettavasta trading deskis- tä on K . Riskin k stressattu pääomavaatimus on SESN M ;k. Vakio  = 0 ; 6 . Näiden yhdistetty sääntelynmukainen pääomavaatimus SES on SES = vuut IX i =1 ISES2 N M ;i + vuut JX j =1 ISES2 N M ;j + vuut   KX k =1 SES2 N M ;k !2 + (1 2)  KX k =1 SES2 N M ;k : 30 6.3.3 Maksukyvyttömyysriski Kaupankäyntivaraston positioiden maksukyvyttömyysriskin pääomavaateen lasken- taan pankeilla on oltava erillinen sisäinen malli. Sitä ei lasketa jokaiselle kaupan- käyntiyksikölle erikseen. Maksukyvyttömyysriski aiheutuu tappion mahdollisuudes- ta liikkeeseenlaskijan maksukyvyttömyydestä tai maksukyvyttömyyden aiheutta- mista epäsuorista tappioista. Maksukyvyttömyysriskin mittaamiseen käytetään Value- at-Risk-mallia yhden vuoden mittaisella aikaikkunalla, yksihäntäisenä ja luottamus- tasolla 99 : 9 . Pääomavaateen laskennassa huomioidaan kaikki maksukyvyttömyysriskilliset po- sitiot, lukuun ottamatta standardimallin positioita. Tähän joukkoon kuuluvat val- tioiden maksukyvyttömyysriskit, osakepositiot ja joukkovelkakirjapositiot. Osakkei- den liikkeeseenlaskijoiden maksukyvyttömyysriski on mallinnettava niin, että sen seurauksena osakkeen hinta putoaa nollaan. Pääomavaade on se, joka saa suuremman arvon: 1. Edellisen kahdentoista viikon aikana mitattujen maksukyvyttömyysriskin pää- omavaatimuksien keskiarvo tai 2. viimeisimmän laskennan tuloksena saatu pääomavaatimus. Maksukyvyttömyysriski lasketaan jokaiselle liikkeellelaskijalle. Maksukyvyttö- myyden todennäköisyyttä ei voida arvioida markkinahinnoista, ellei niitä ole kor- jattu kuvastamaan objektiivista todennäköisyyttä maksukyvyttömyyteen. Toden- näköisyyden tulee olla aina vähintään 0 : 03% . Käytettävän mallin on kuvattava samalta liikkeeseenlaskijalta olevien pitkien ja lyhyiden positioiden netotus. Näiden väliin jäävä korkoperusteriski on mallinnet- tava selvästi. Myös eri liikkeeseenlaskijoiden lyhyiden ja pitkien positioiden tuoma mahdollinen hyöty on sisällytettävä mallinnukseen. Netottamista ei saa kuitenkaan suorittaa ennen mallinnusta. Mallin on tunnistettava eri liikkeeseenlaskijoiden maksukyvyttömyyden välinen korrelaatio. Korrelaatioiden on perustuttava objektiiviseen dataan eikä sitä saa vää- ristää tavalla, jolla pitkää ja lyhyttä positiota sisältävät portfoliot saisivat korkeam- man korrelaatiokertoimen kuin pelkistä pitkistä positioista koostuvat. Malli on vali- doitava ja dokumentoida. Mallidokumentaation on sisällytettävä myös, kuinka usein malli kalibroidaan. Korrelaatiot ovat mitattava vuoden mittaiselta likviditeettiho- risontilta ja kalibroitava 10 vuoden ajalta. Kaikki merkittävät perusteriskit, kuten maturiteettien eroavaisuudet ja sisäiset sekä ulkoiset ratingit, on huomioitava kor- relaatioiden määrittelyssä. Mallin on kuvattava jokainen positio ja hajautus, jotka eivät sovi yhteen. Tämän lisäksi mallin on tunnistettava markkinoiden ja niiden stressitilanteiden aiheuttamia keskittymiä liikkeeseenlaskijoissa sekä niiden tarjoamissa tuotteissa. Osana mallia on laskettava jokaisen position tappio tilanteessa, jossa liikkeeseenlaskija on maksuky- vytön. Korkeasta luottamustasosta ja pitkästä aikahorisontista johtuen maksukyvyttö- myysriskin pääomavaateen laskentaan käytettävän mallin validointiin ei voida hyö- dyntää perinteistä toteumatestausta. Tämän sijaan on käytettävä epäsuoria mene- telmiä, kuten stressitestausta, herkkyysanalyysiä ja skenaarioanalyysiä. 31 Pankkien, jotka käyttävät maksukyvyttömyystodennäköisyyksiä osana sisäistä rating -menetelmää, on käytettävä samoja todennäköisyyksiä myös pääomavaati- musten laskentaan. Muussa tapauksessa todennäköisyyksien on laskettava täyttäen seuraavat ehdot. Todennäköisyydet eivät saa olla riskineutraaleja, niiden on perus- tuttava dataan, joka sisältää maksukyvyttömyyden toteutumisia sekä vastaavia ar- vonmenetyksiä, datan on oltava vähintään vuoden mittaiselta ajalta. Historiaan pe- rustuvien todennäköisyyksien lisäksi ne on laskettava myös teoreettisesti. Pankkien ei ole välttämätöntä laskea todennäköisyyksiä itse, vaan ne voivat käyttää myös ulkoisen tarjoajan tuottamia lukuja. Tällöin on kuitenkin perusteltava niiden yh- teensopivuus pankin portfolion kanssa. Jos sisäisessä ratingissa käytetään arvioituja maksukyvyttömyydestä aiheutu- via tappioita, on samoja lukuja käytettävä myös pääomavaatimuksen laskemisessa. Muuten luvut on laskettava erikseen täyttäen seuraavat ehdot. Tappiot on määri- teltävä markkinoiden näkökulmasta perusten position markkina-arvoon suhteessa odotettuun markkina-arvoon, kun liikkeeseenlaskijan maksukyvyttömyysriski reali- soituu. Arvioiden on perustuttava historialliseen dataan. Kuten todennäköisyyksien kohdalla, myös tappioiden arviot voidaan hankkia ulkoiselta osapuolelta, jos se on perusteltua. 6.3.4 Lopulliset pääomavaatimukset Lopullinen markkinariskien aiheuttama pääomavaade sisäisillä menetelmillä lasket- tuna koostuu mallinnettavista, ei-mallinnettavista riskitekijöistä sekä maksukyvyt- tömyysriskin lisäyksestä. Määritellään yhdistetty pääomavaade. Määritelmä 11. Olkoon IMCCt 1 edellisen päivän yhdistetty pääomavaatimus, IMCCavg keskimääräinen yhdistetty pääomavaatimus, SESt 1 edellisen päivän mal- lintamattomien riskifaktorien pääomavaatimus, SESavg keskimääräinen mallintamat- tomien riskifaktorien pääomavaatimus, mc on valvojan asettama kerroin ja D R C maksukyvyttömyysriskin pääomavaatimus. Kaupankäyntiyksiköiden yhdistetty pää- omavaade markkinariskille on IMAG;A = max (IMCCt 1+SESt 1; mc  IMCCav g +SESav g ; ) + DRC : Oletuksena mc = 1 : 5 , mutta valvoja voi vaatia korkeampaa kertoimen käyt- töä kuvastamaan kvalitatiivista lisäystä tai toteumatestauksen lisäystä. Toteuma- testauksen lisäys voi olla välillä [0 ; 0 : 5] . Sen suuruus riippuu pankin päivittäisen luottamustasolla 0 : 99 lasketun V aR :in toteumatestauksen tuloksesta. Tuotto-tappiojakauma-testauksen heikosta tuloksesta seuraa lisävaateen lisäämi- nen pääomavaateeseen. Määritellään pääomavaatimuksen lisävaade. Määritelmä 12. Olkoon SAi standardimenetelmän mukaan laskettu pääomavaade kaupankäyntiyksikölle i ja IMAG;A on kaupankäyntiyksiköiden yhdistetty pääoma- vaade sisäisten menetelmien mukaan laskettuna. Markkinariskien sisäisten mallien mukaiseen pääomavaateeseen lisättävä lisävaade on Lisävaade = 0 : 5  P i 2 A SAiP i 2 G;A SAi  max (0 ; SAG;A IMAG;A : ) : 32 Määritellään viimeiseksi lopullinen yhdistetty pääomavaade. Määritelmä 13. Olkoon SA0 koko varastolle standardimenetelmän mukaan lasket- tu pääomavaade, SAG;A sisäisiä menetelmiä hyödyntävien kaupankäyntiyksiköiden pääomavaade standardimenetelmän mukaan laskettuna , CU standardimenetelmällä laskettu pääomavaade kaupankäyntiyksiköille, jotka eivät sisälly sisäisen menetel- män laskentaan ja IMAG;A kaupankäyntiyksiköiden yhdistetty pääomavaade sisäis- ten menetelmien mukaan laskettuna. Lopullinen yhdistetty pääomavaade on ACR = min (IMAG;A+ Lisävaade + CU ; SA0) + max (0; IMAG;A SAG;A) : 33 7 Uudistuneiden pääomavaatimusten vaikutus Uudet pääomavaateet eivät ole vielä laajasti käytössä, sillä kuten edellä mainittiin esimerkiksi Euroopan Unionin alueella ne astuvat voimaan vuoden 2026 alusta läh- tien. Uudistuneen sääntelyn todellisia vaikutuksia ei siis vielä tiedetä. Sääntelymuu- tosten seurauksia on arvioitu esimerkiksi pankeille teetettyjen kyselyiden pohjalta. Vuonna 2019 Baselin komitea arvioi pankkien markkinariskien pääomavaateiden siirtymästä Basel II.5 sääntelystä Basel III sääntelyyn aiheutuvan kasvun mediaanin olevan 16 % ja kasvun painotetun keskiarvon olevan 22%. Pankeille, jotka käyttä- vät pääomavaateiden laskentaan ainoastaan standardimenetelmää, kasvun odote- taan olevan suhteellisesti suurempaa kuin sisäisiä menetelmiä käyttävillä pankeilla. [41] Elokuussa 2022 Finanssivalvonta julkaisi arvion, jonka mukaan suomalaisten pankkien markkinariskien pääomavaatimukset kasvaisivat Basel III sääntelyn käyt- töönoton myötä yhteensä 5 : 8% .[42] Vuoden 2024 syyskuussa Finanssivalvonta arvioi markkinariskien pääomavaatimusten kasvavan ainoastaan yhden prosentin suoma- laisten pankkien osalta.[43] Vuonna 2024 Baselin pankkivalvontakomitean julkaisemassa monitorointirapor- tissa pankit ovat jaettu kolmeen ryhmään näiden omien varojen koon ja kansainväli- sen merkittävyyden perusteella. Raportin mukaan kasvun mediaani näissä kolmessa eri pankkiryhmässä vaihtelee välillä 12 : 6% 37 : 6% ja kasvun painotettu keskiarvo vaihtelee välillä 34 : 7% 58 : 5% .[44] Uuden minimipääomavaateen myötä kaupankäyntitaseen ja rahoitustaseen mää- ritelmät muuttuvat entistä tarkemmiksi. Tällä pyritään estämään arbitraasia eri taseiden välillä ja yhdenmukaistaa sääntelyn toteutumista pankkien väleillä. [45] Sisäisten menetelmien mukainen pääomavaateen lasku on hyväksyttävä kaupan- käyntiyksiköiden tasolla. Sen lisäksi, että jokaisen yksikön kohdalla tulee harkita standardimenetelmän ja sisäisen mallin välillä, on mahdollista, että jotkin kaupan- käyntiyksiköt osoittautuvat kannattamattomiksi uuden pääomavaateen myötä. [45] Vaatimus pääomavaateen alarajan laskentaan standardimenetelmällä saattaa hyö- dyttää historiallisesti standardimenetelmää käyttäneitä pienempiä pankkeja, sillä näiden pääomavaade on ollut sisäisiä menetelmiä käyttäneiden pankkien pääoma- vaateita suurempi. Lisäksi uusien sisäisten menetelmien käyttöönoton uskotaan ole- van kallista ja työlästä, sen vaatiessa todennäköisesti useamman kuin yhden hyväk- syntäkierroksen valvojalta. [46] Pankit ovat uuden sääntelyn myötä mielenkiintoisen valinnan edessä. Oman pää- oman ollessa usein kallista ylläpitää, pyrkivät pankit tästä syystä minimoimaan pää- omavaateitaan. Näin ollen pankille on houkuttelevaa käyttää malleja, jotka tuotta- vat matalia odotetun vajeen arvoja. [40] Tämän lisäksi eri pankkien itse määritte- lemät mallit, voivat luonnollisesti antaa erilaisia tuloksia samanlaisille portfolioille. [13] Odotetun vajeen tuottamien riskilukujen ollessa alttiimpi mallin määrittelyn vaikutuksille, saattaa mallin muokkaaminen matalien pääomavaateiden toivossa li- sääntyä. Samaan aikaan sääntely kuitenkin rankaisee pankkeja pääomavaateen korotuk- sella, jos pankin mallit generoivat liian monta Value-at-Risk luottamustason ylittä- vää arvoa. Tämä kannustaa pankkeja valitsemaan konservatiivisempia malleja, jotta 34 Value-at-Risk-arvot ovat korkeampia ja näiden ylittäminen olisi epätodennäköisem- pää. [40] Itse malliin kohdistuvan taktikoinnin lisäksi pankkien on arvioitu suosivan sisäi- sen ja standardimenetelmän välillä sitä menetelmää, joka tuottaa pankille miellyttä- vämmän lopputuloksen. Pankit voivat pyrkiä alhaisempiin pääomavaatimuksiin vali- koimalla kaupankäyntiyksikön pääomavaatimuksen laskuun menetelmän, joka tuot- taa alhaisemman pääomavaatimuksen. [46] Pankkien on oletettu ottavan käyttöön ensin standardimenetelmä, jolloin ne voi- vat kehittää sisäisiä menetelmiään rauhassa. Etenkin pienempien pankkien katso- taan odottavan isompien pankkien ottavan sisäiset menetelmät käyttöön, oppiak- seen niiden kokemuksista. [46] Euroopan keskuspankki teetti pankeille vuonna 2019 kyselyn uusien pääomavaatimusten vaikutuksesta pankkien sisäisten menetelmien käyttöön liittyen. Arviolta noin 40% pankeista, jotka käyttivät kyselyn toteutta- misen aikaan sisäisiä menetelmiä, aikoivat hakea hyväksynnän uusien vaatimusten mukaisille sisäisille malleille. Noin 40% aikoi siirtyä käyttämään uudistettua standar- dimenetelmää ja noin 20% pankeista ei ollut vielä kyselyn aikaan tehnyt päätöstä. [47] Sääntely asettaa pankkien datalle korkeat vaatimukset. Dataa on oltava pitkältä aikaväliltä ja usein tällaisessa datassa on aukkoja. Aukkoja voidaan täyttää esimer- kiksi markkinadatan tilastollisella analyysillä. Aukottomuuden lisäksi datan tulee olla tarpeeksi laadukasta. [46] Uusi sääntely voi vaatia pankeilta huomattavaa pa- nostusta täyttääkseen nämä vaatimukset. 35 8 Yhteenveto Tutkielmassa on tarkasteltu markkinariskejä, riskimittoja, markkinariskien pääoma- vaateiden mittausta sekä siinä tapahtuneita muutoksia ja muutoksiin johtaneita syi- tä. Lopussa on koottu sääntelymuutoksen arvioituja vaikutuksia muun muassa pank- kien pääomavaateiden toteumiin sekä pankkien käyttäytymiseen. Riskimittoja on käsitelty yleisesti keskittyen sääntelyn näkökulmasta tärkeisiin ominaisuuksiin. Nämä ovat subadditiivisuus sekä konsistentti pisteytyvyys. Subad- ditiivisuuden mukaan omaisuuserien yhdistäminen ei lisää niistä aiheutuvaa riskiä. Tätä pidetään tärkeänä ominaisuutena riskimitalle, sillä se kuvastaa riskin hajautta- misen hyötyä. Subadditiivisuudelle on kuitenkin esitetty helpommin saavutettavissa oleva korvaava ominaisuus, jota kutsutaan komonotoniseksi subadditiivisuudeksi. Lisäksi tutkielmassa on havaittu, että riskien yhdistäminen ei aina pienennä riskiä pankin omistajan näkökulmasta. Tästä huolimatta subadditiivisuutta voidaan pi- tää sääntelijän näkökulmasta toivottavana ominaisuutena, sillä pankin rahoittajien voidaan katsoa tarvitsevan enemmän suojelua kuin sen omistajien. Konsistentisti pisteytyvällä riskimitalla on pisteytysfunktio, joka on riskimitan suhteen aidosti konsistentti. Konsistentisti pisteytyvän riskimitan etu on, että sen toteumatestejä voidaan verrata siten, että vähenevä tulos kertoo laadukkaammasta mallista. Tämä tekee mallin toteumatestauksesta yksinkertaista. Pankkeja koskevaa sääntelyä on viime vuosian uudistettu huomattavasti. Eräs merkittävimmistä muutoksia uudistuneissa markkinariskien pääomavaatimuksissa on siirtyminen Value-at-Risk-riskimitasta odotetun vajeen riskimittaan. Tutkiel- massa on käsitelty näiden riskimittojen laskentaperiaatteita, heikkouksia sekä vah- vuuksia. Value-at-Risk-arvon laskentaan on esitelty kolme menetelmää. Nämä ovat Varianssi-kovarianssi tapa, Historiallinen tapa sekä Monte Carlo simulointi. Odo- tettu vaje lasketaan useimmiten hyödyntäen jo laskettuja Value-at-Risk arvoja. Jo- kainen laskentamenetelmä vaatii historiallisen datan hyödyntämistä, sekä tuottojen jakauman arviointia. Arvioinnin epäonnistuessa laskettu Value-at-Risk-arvo saattaa olla virheellinen. Menetelmillä on havaittu myös menetelmäkohtaisia heikkouksia. Value-at-Risk-riskimitan suurin heikkous on, ettei se ole subadditiivinen. Odo- tettu vaje kertoo myös tarkempaa tietoa jakauman hännästä kuin Value-at-Risk. Nämä ovat eräitä syitä siihen, miksi Value-at-Risk on haluttu korvata odotetun vajeen riskimitalla. Odotetun vajeen heikkous kuitenkin on, että se ei ole konsis- tentisti pisteytyvä. Odotettu vajeen tuottamat tulokset ovat myös herkempiä mallin määrittelylle. Määrittelyn aiheuttamia eroavaisuuksia voi syntyä tahattomasti, mut- ta myös tarkoituksellisesti. Näiden puutteiden vuoksi odotetun vajeenkaan rooliin sääntelyssä ei olla täysin tyytyväisiä. Sääntely vaatii markkinariskien pääomavaateiden laskentaan käytettävien mal- lien toteumatestausta, sekä stressitestausta. Näiden prosessien periaatteita sekä ris- kimittakohtaisia menetelmiä on käsitelty tutkielmassa lyhyesti. Odotetun vajeen to- teumatestaus on haastavampaa kuin Value-at-Risk-riskimitan, koska odotettu va- je ei ole konsistentisti pisteytyvä. Odotetun vajeen toteumatestaukseen on esitel- ty kuitenkin useampi toteumatestausmenetelmä. Useassa odotetun vajeen toteu- matestausmenetelmässä hyödynnetään Value-at-Risk-riskimitan toteumatestauksen tuloksia. 36 Pankki voi vaadittavat ehdot täyttäessään valita, käyttääkö se pääomavaateiden mittaamiseen standardimenetelmää vai sisäisiä menetelmiä. Markkinariskien pää- omavaateen laskenta sisäisillä menetelmillä koostuu kolmesta tekijästä. Nämä ovat mallinnettavien riskitekijöiden pääomavaade, ei-mallinnettavien riskitekijöiden pää- omavaade sekä maksukyvyttömyysriskin pääomavaade. Jos pankki suoriutuu hei- kosti tuotto-tappiojakauma-testauksesta lisätään lopulliseen pääomavaateeseen vie- lä lisävaade. Vaikka pankki käyttäisi sisäisiä menetelmiä, on pääomavaade laskettava silti myös standardimenetelmää käyttäen. Standardimenetelmällä laskettu pääoma- vaade toimii pääomavaateen alarajana. Uuden sääntelyn vaikutuksia on vasta voitu arvioida, sillä pankkeja suoraan vel- voittava sääntely ei ole vielä astunut laajasti voimaan. Esimerkiksi Euroopan Unio- nin alueella Basel III sääntelyn mukaiset markkinariskien pääomavaatimukset astu- vat voimaan 1 : 1 : 2026 . Arviot sääntelymuutoksien vaikutuksista pankkien pääoma- vaateisiin vaihtelevat pankin koosta sekä aiemmasta mittausmenetelmästä riippuen. Finanssivalvonta on arvioinut vaikutusten suomalaisten pankkien pääomavaateisiin pysyvän maltillisina. Huomattavan osuuden pankeista on arvioitu ottavan käyttöön ainakin alkuun standardimenetelmä. Sääntelyn muuttuessa pankkeja velvoittavaksi onkin mielenkiintoinen mahdolli- suus tutkia, millaisia vaikutukset ovat olleet niin yksittäisten pankkien kohdalla kuin laajemminkin finanssisektorilla. Lisäksi sisäisiä menetelmien laskentaan soveltuvien mallien ja näiden avulla laskettavien pääomavaatimusten eroavaisuudet olisivat erit- täin mielenkiintoinen tutkimusaihe. Aineisto, kerääminen tähän olisi todennäköisesti haastavaa sillä pankkien käyttämät mallit eivät luonnollisesti ole julkista tietoa. 37 Viitteet [1] Dill, Alexander. Bank Regulation, Risk Management, and Compliance: Theo- ry, Practice, and Key Problem Areas. Bank Regulation, Risk Management, and Compliance: Theory, Practice, and Key Problem Areas, Informa Law from Routledge, 2020. [2] Hull, John. Risk Management and Financial Institutions. Fifth edition., Wiley, 2018. [3] Baselin pankkivalvontakomitea. The Basel Framework. https://www.bis.org/basel_framework/index.htm?m=97 luettu 27.3.2025 [4] Baselin pankkivalvontakomitea. Fundamental review of the trading book: A revised market risk framework, https://www.bis.org/publ/bcbs265.pdf [5] Baselin pankkivalvontakomitea. Minimum capital requirements for market risk. Basel, Switzerland, 2019. [6] Szylar, Christian. Handbook of Market Risk. 1st edition, John Wiley & Sons, Inc., 2013. [7] Alexander, Carol. Market Risk Analysis. Volume IV, Value-at-Risk-Models. 1st edition, Wiley, 2008. [8] Triana, Pablo. THE NUMBER THAT KILLED US: How the Mathematical Model Value at Risk Helped Cause the Credit Crisis. Yale Economic Review 7, no. 1 (2011): 30-. [9] Artzner, Philippe, et al. Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance, vol. 9, no. 3, 1999, pp. 203–28, https://doi.org/10.1111/1467-9965.00068. [10] Miller, Michael B. Quantitative Financial Risk Management. Wiley, 2019. [11] Fama, EF. Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work. The Journal of Finance (New York), vol. 25, no. 2, 1970, pp. 383–423, https://doi.org/10.2307/2325486. [12] Finanssivalvonta Määräykset ja ohjeet https://finanssivalvonta.fi/globalassets/ fi/saantely/maarayskokoelma/2018/04_2018/2018_04.m3.pdf 4/2018 [13] Kellner, Ralf, and Daniel Rösch. Quantifying Market Risk with Value-at-Risk or Expected Shortfall? – Consequences for Capital Requirements and Model Risk. Journal of Economic Dynamics & Control, vol. 68, 2016, pp. 45–63, https://doi.org/10.1016/j.jedc.2016.05.002. [14] Allen, Steve L. Financial Risk Management: A Practitioner’s Guide to Mana- ging Market and Credit Risk. 2. Aufl., vol. 721, Wiley, 2012. [15] Kou, Steven, et al. External Risk Measures and Basel Accords. Mat- hematics of Operations Research, vol. 38, no. 3, 2013, pp. 393–417, https://doi.org/10.1287/moor.1120.0577. 38 [16] Rau-Bredow, Hans. Bigger Is Not Always Safer: A Critical Analysis of the Subadditivity Assumption for Coherent Risk Measures. Risks (Basel), vol. 7, no. 3, 2019, pp. 1–18, https://doi.org/10.3390/risks7030091. [17] Rahoitusvakausvirasto, https://rvv.fi/talletussuoja, Luettu 2.11.2024 [18] Nolde, Natalia, and Johanna F Ziegel. Elicitability and backtesting: Perspecti- ves for banking regulation. The Annals of Applied Statistics 11, no. 4 (2017): 1833–74. https://doi.org/10.1214/17-aoas1041. [19] Gneiting, Tilmann. Making and Evaluating Point Forecasts. Journal of the American Statistical Association, vol. 106, no. 494, 2011, pp. 746–62, https://doi.org/10.1198/jasa.2011.r10138. [20] J.P. Morgan. RiskMetricsT M Technical Document. 1996. [21] Saita, Francesco. Value at Risk and Bank Capital Management. 1st edition, Elsevier Academic Press, 2007. [22] Basak, Suleyman, and Alexander Shapiro. Value-at-Risk-Based Risk Manage- ment: Optimal Policies and Asset Prices. The Review of Financial Studies, vol. 14, no. 2, 2001, pp. 371–405, https://doi.org/10.1093/rfs/14.2.371. [23] Acerbi, Carlo, and Dirk Tasche. On the Coherence of Expected Short- fall. Journal of Banking & Finance, vol. 26, no. 7, 2002, pp. 1487–503, https://doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00283-2. [24] Fissler, T., & Ziegel, J. F. HIGHER ORDER ELICITABILITY AND OS- BAND’S PRINCIPLE. The Annals of Statistics, 44(4), (2016): 1680–1707. https://doi.org/10.1214/16-AOS1439 [25] Koch-Medina, Pablo, and Cosimo Munari. Unexpected Shortfalls of Expected Shortfall: Extreme Default Profiles and Regulato- ry Arbitrage. Journal of Banking & Finance 62 (2016): 141–51. https://doi.org/10.1016/j.jbankfin.2015.11.006. [26] Christoffersen, Peter. Elements of Financial Risk Management. 1st ed. Oxford: Academic, 2003. [27] C. Acerbi and B. Szekely. Backtesting expected shortfall. Risk, December, 2014. [28] Fissler, T., et al. Expected Shortfall Is Jointly Elicitable with Value at Risk - Implications for Backtesting. 2015. [29] Diebold, Francis X, and Robert S Mariano. Comparing Predictive Accu- racy. Journal of Business & Economic Statistics 20, no. 1 (2002): 134–44. https://doi.org/10.1198/073500102753410444. [30] Kratz, M., Lok, Y. H., & McNeil, A. J. Multinomial VaR backtests: A simple implicit approach to backtesting expected shortfall. Journal of Banking & Fi- nance, 88, (2018): 393–407. https://doi.org/10.1016/j.jbankfin.2018.01.002 39 [31] Du, Zaichao, and Juan Carlos Escanciano. Backtesting Expected Shortfall: Accounting for Tail Risk. Management Science 63, no. 4 (2017): 940–58. https://doi.org/10.1287/mnsc.2015.2342. [32] Macro-financial scenario for the 2023 EU-wide banking sector stress test , https://www.esrb.europa.eu/mppa/stress/shared/pdf /esrb.stress_test230131 c4980ac646.en.pdf?3bd031b9f9f6c3e8c8c58f655e721294 [33] Kohei Marumo. A Non-parametric Method for Calculating Conditional Stressed Value at Risk. no. 5, 2017, pp. 42–48, https://doi.org/10.21686/2500-3925-2017- 5-42-48. [34] Li, Shaofang. The Impact of Bank Regulation and Supervision on Competition: Evidence from Emerging Economies. Emerging Markets Finance & Trade, vol. 55, no. 10, 2019, pp. 2334–64, https://doi.org/10.1080/1540496X.2018.1547191. [35] Baselin pankkivalvontakomitea. Standards, Interest rate risk in the banking book. Bank for International Settlements 2016. https://bis.org/bcbs/publ/d368.pdf [36] Euroopan pankkiviranomainen. The Basel framework: the global regulatory standards for banks. https://www.eba.europa.eu/activities/basel-framework- global-regulatory-standards-banks [37] Finanssivalvonta. https://www.finanssivalvonta.fi/finanssisektorin- toimijalle/pankki/ [38] Euroopan komissio. Banking package: Moving forward with the implementation of the Basel standards, while preserving the international level playing field. 24.07.2024 https://finance.ec.europa.eu/news/banking-package-questions-and- answers-2024-07-24_en Luettu 22.1.2024 [39] Baselin pankkivalvontakomitea. https://www.bis.org/bcbs/history.htm [40] Liu, Fred, and Lars Stentoft. Regulatory Capital and Incentives for Risk Model Choice under Basel 3. Journal of Financial Econometrics, vol. 19, no. 1, 2021, pp. 53–96, https://doi.org/10.1093/jjfinec/nbaa029. [41] Baselin pankkivalvontakomitea. Explanatory note on the minimum capital requirements for market risk. https://www.bis.org/bcbs/publ/d457_note.pdf 2019 [42] Kiviniemi, Arttu. Basel III -uudistusten ei arvioida kasvattavan suomalais- pankkien pääomavaatimuksia merkittävästi. Finanssivalvonta, 16.8.2022 , https://publications.bof.fi/bitstream/handle/10024/47142/Basel-III- uudistukset-paaomavaatimukset.pdf?sequence=2&isAllowed=y [43] Heino, J., Mattinen O. EU:ssa sovellettava Basel III -vakavaraisuusuudistus vai- kuttaa maltillisesti suomalaispankkien pääomavaatimuksiin. Finanssivalvonta, 12.9.2024, https://publications.bof.fi/bitstream/handle/10024/53801/Basel- III-vakavavaraisuusuudistus.pdf 40 [44] Baselin pankkivalvontakomitea. Basel III Monitoring Report. https://www.bis.org/bcbs/publ/d581.pdf 2024 [45] Hortin, Nicola. The FRTB: Do Not Underestimate the Standardised Approach. Journal of Securities Operations & Custody, vol. 8, no. 3, 2016, pp. 197–200. [46] Banks Take Tactical Approach to FRTB. International Financial Law Review, 2024. [47] Euroopan keskuspankki. Market risk: implementing new rules for inter- nal models. https://www.bankingsupervision.europa.eu/press /supervisory- newsletters/newsletter/2020/html/ssm.nl200212_2.en.html luettu 21.1.2025 41