MONSKYN LAUSE NELIÖN OSITTAMISESTA KOLMIOIKSI Teemu Heino Pro gradu -tutkielma Kesäkuu 2020 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Turun yliopiston laatujärjestelmän mukaisesti tämän julkaisun alkuperäisyys on tar- kastettu Turnitin OriginalityCheck-järjestelmällä TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HEINO, TEEMU: Monskyn lause neliön osittamisesta kolmioiksi Pro gradu -tutkielma, 31 s. Matematiikka Kesäkuu 2020 Monikulmion osittaminen tarkoittaa sen jakamista äärellisen moneksi monikulmiok- si, jotka eivät ole päällekkäin mutta peittävät koko monikulmion. Osituksia hyödyn- netään geometriassa ja niiden ominaisuuksia voidaan tutkia. Kaksi monikulmiota ovat yhteisositettavissa, jos toisen monikulmion osituksen osista voidaan koota toi- nen monikulmio. Tutkielmassa osoitetaan, että kaksi monikulmiota, joilla on sama pinta-ala, ovat aina yhteisositettavissa. Monskyn lause vuodelta 1970 toteaa, että neliö voidaan aina osittaa parilliseksi määräksi kolmioita, joilla on yhtäsuuri pinta-ala, mutta ei koskaan parittomaksi määräksi kolmioita, joilla on yhtäsuuri pinta-ala. Ensimmäinen väite on triviaali ja näytetään jakamalla neliö yhteneviksi suorakulmioksi, joille piirretään lävistäjät. Tutkielman päätarkoituksena on esitellä Monskyn lauseen jälkimmäisen väitteen alkuperäinen todistus, joka vaatii tuloksia kombinatoriikasta ja algebrasta. Spernerin lemman mukaan on olemassa sellainen tason R2 väritys kolmella värillä, että kun yksikköneliö [0; 1][0; 1] on väritetty tällä värityksellä ja ositettu kolmioiksi, ainakin yhdellä kolmiolla on kolme eriväristä kärkeä. Spernerin lemma todistetaan vahvistamalla, että eräs väritys toteuttaa ehdot. Arvotus antaa kunnan nolla-alkiolle arvon 0 ja kaikille muille kunnan alkioille jonkin suuremman arvon kuin 0. Jos arvotus on epäarkhimedinen, niin kahden alkion sum- man arvotus ei voi olla suurempi kuin suurin näiden alkioiden arvotuksista. 2-adinen arvotus antaa rationaaliluvulle arvon 2n, kun rationaaliluku kirjoitetaan supistettu- na muodossa 2n  m1 m2 . Todistetaan 2-adinen arvotus epäarkhimediseksi, vahvistetaan että se antaa luvulle 1 2 arvon 2 ja todetaan, että 2-adinen arvotus voidaan antaa kaikille reaaliluvuille. 2-adisen arvotuksen avulla konstruoidaan Spernerin lemman mukainen väritys. Tie- detään, että kolmioiksi ositetulla yksikköneliöllä on tällöin kolmio, jonka kaikki kär- jet ovat erivärisiä, ja oletetaan, että kolmion pinta-ala on 1 n , missä n on pariton. Kolmion pinta-ala kaksinkertaisena saa suoraan laskemalla 2-adisen arvotuksen 1 2 . Toisaalta huomataan, että tällaisen kolmion kaksinkertaisen pinta-alan 2-adinen ar- votus on suurempi kuin 1. Tämä ristiriita osoittaa Monskyn lauseen jälkimmäisen väitteen. Asiasanat: Monskyn lause, ositus, yhteisositettavuus, väritys, Spernerin lemma, ar- votus, epäarkhimedinen arvotus, dominointiperiaate, p-adinen arvotus. Sisällys 1 Johdanto 1 1.1 Geometrian peruskäsitteitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Isometriat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Monikulmion ositus 4 2.1 Monikulmioiden yhteisositettavuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Yhteisositettavuuden sovelluksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Tason R2 värittäminen 15 3.1 Spernerin lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Kunnan arvotus 18 4.1 Kunnat Q ja R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Arvotuksen määritelmä ja ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Arvotus järjestettyyn Abelin ryhmään . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4 Epäarkhimedinen arvotus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5 p-adinen arvotus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 Monskyn lause 26 1 Johdanto Erilaisten alueiden ja kuvioiden jakaminen osiksijoko äärellisen tai äärettömän moneksion osoittautunut hyödylliseksi menetelmäksi sekä geometriassa että sen ulkopuolella vuosituhansien ajan. Esimerkiksi suunnikkaan pinta-ala voidaan johtaa piirtämällä sen sivulta korkeus- jana kärjelle ja siirtämällä muodostunut kolmio sen toiseen päähän, jolloin saadaan suorakulmio. Jakamalla suunnikas taas kahdeksi yhteneväksi kolmioksi tai puoli- suunnikkaaksi saadaan johdettua niiden pinta-alat. Luvun  arvoa voidaan approksimoida jakamalla ympyrä mahdollisimman moneksi kolmioksi, kuten Arkhimedes teki [1]. Riemannin integraali taas perustuu mahdolli- simman monen suorakulmion piirtämiseen käyrän ja x-akselin välille. 1800-luvulla, eli vasta suhteellisen myöhään todistettiin, että mikä tahansa moni- kulmio voidaan koota minkä tahansa monikulmion äärellisen monesta osasta, jos monikulmioilla on yhtäsuuri pinta-ala. Farkas Bolyain esitettyä kyseisen ongelman sekä William Wallace että Paul Gerwien ratkaisivat sen itsenäisesti [6]. Toinen merkittävä kysymys nousi esille vuonna 1965. Fred Richman päätti selvittää, voidaanko jollain parittomalla luvun n arvolla neliötä jakaa n kappaleeksi kolmioita, joista kaikilla on yhtäsuuri pinta-ala, 1 n neliön pinta-alasta. Koska yritys osoittau- tui luultua vaikeammaksi, Richman ja John Thomas esittivät ongelman lehdessä American Mathematical Monthly vuonna 1967. Seuraavana vuonna Thomas onnistui osoittamaan, että vastaus on kielteinen, jos kolmioiden kärkien koordinaatit ovat rationaalilukuja. Vuonna 1970 Paul Monsky osoitti, että vastaus on kielteinen, olivatpa kolmioiden kärjet mitä tason R2 pisteitä tahansa. Tämä tulos nimettiin Monskyn lauseeksi. Monskyn todistuksesta voi nähdä, miksi lausetta ei todistettu vuosisatoja aiemmin. Todistuksessa käytetään Spernerin lemmaa vuodelta 1928, joka liittyy tason pistei- den jakamiseen kolmeen tilaan eli väriin. Lisäksi tarvitaan fyysisessä maailmassa epäintuitiivisten epäarkhimedisten arvotusten ominaisuuksia. Monskyn todistus on myös lauseen ainoa todistus ainakin vuoteen 2018 mennessä [4, s. 12] [10]. Tässä tutkielmassa esitellään monikulmioiden osittamisen teoriaa ja käydään läpi Monskyn todistuksen vaiheet. 1.1 Geometrian peruskäsitteitä Tutkielmassa oletetaan geometrian alkeellisimmat käsitteet tunnetuiksi. Käydään kuitenkin läpi varsinkin jatkossa käytettäviä käsitteitä ja merkintöjä. Monitulkin- taisia käsitteitä ja merkintöjä määritellään tutkielman kannalta käytännöllisellä ta- valla. 1 Tutkielmassa pisteet sekä muut tasogeometriset objektit ovat tasolla R2. Objektit si- jaitsevat mielivaltaisessa kohdassa, ellei toisin mainita. Lisäksi pisteiden A = (x1; y1) ja B = (x2; y2) välinen jana on AB = BA, jonka pituus eli pisteiden A ja B välinen etäisyys on jABj = jBAj = p (x1 x2)2 + (y1 y2)2: (1) Objekti A0A1 : : : An1 on monikulmio, erityisesti n-kulmio, jonka sivujanat ovat A0A1; A1A2; : : : ; An1A0. Sivujanat eivät leikkaa toisiaan muualla kuin janojen yh- teisessä päätepisteessä. Monikulmio on siis sama riippumatta siitä, mikä kärki va- litaan kärjeksi A0; toisin sanottuna, A1A2 : : : An = AmA1+m : : : An1+m kaikilla m 2 Z+, kun indeksin arvo lasketaan modulo n. Kolmioilla voidaan käyttää symbolia 4 symbolin  sijasta. Monikulmioon kuuluvat myös sen sisäpisteet. Merkintä \ABC tarkoittaa sekä monikulmion sisäkulmaa, joka on sen sivujano- jen AB ja BC välissä, että sen suuruutta. Jos on epäselvää, minkä monikulmion sisäkulmaa tarkoitetaan, mainitaan se erikseen. Monikulmiot  = A0A1 : : : An1 ja 0 = A00A01 : : : A0n1 ovat yhtenevät, merkitään  = 0, jos kaikilla i = 0; : : : ; n 1, jAiAi+1j = A0i+mA0i+1+m (2) ja \AiAi+1Ai+2 = \A0i+mA0i+1+mA0i+2+m (3) jollakin m 2 Z, kun indeksit lasketaan modulo n. Toisin sanottuna: Luetaan mo- nikulmion  sivujanojen pituudet ja sisäkulmien suuruudet myötäpäivään alkaen mielivaltaisesta kohdasta. Monikulmiot  ja 0 ovat yhtenevät, jos monikulmion 0 sivujanojen pituudet ja sisäkulmien suuruudet voidaan lukea siten myötä-tai vasta- päivään alkaen jostakin kohdasta, että saadaan samat arvot samassa järjestyksessä kuin saatiin luettaessa vastaavat arvot monikulmiosta . Kolmioiden tapauksessa voidaan johtaa erityisesti seuraavat riittävät ehdot kolmioi- den yhtenevyydelle: ˆ Sivu-kulma-sivu: kolmioilla on yhtä suuri kulma ja niiden viereisillä sivuilla on yhtäsuuret pituudet. ˆ Kaksi kulmaa ja sivu: kolmioilla on yhtä pitkä sivu ja kaksi pareittain yhtä- suurta kulmaa. ˆ Sivu-sivu-sivu: kolmioilla on kolme pareittain yhtä pitkää sivua [5, s. 1011]. Monikulmion pinta-alan määritelmä oletetaan tarpeeksi hyvin tunnetuksi. Kuvion S pinta-alasta käytetään tarvittaessa merkintää ala(S). 2 Kuva 1: Nelikulmiot ABCD ja P (ABCD). 1.2 Isometriat Peilaus, siirtopeilaus, translaatio ja rotaatio ovat mahdolliset isometriat, eli sellaiset funktiot : R2 ! R2, jotka pitävät kahden pisteen etäisyyden samana, siis j (A) (B)j = jABj (4) kaikilla A;B 2 R2. Tutkielmassa käytetään kahta jälkimmäistä isometriaa. Translaatio P siirtää annettua pistettä pisteen eli vektorin P = (a; b) 2 R2 verran. Jos siis A = (x; y), niin P (A) = A+ P = (x+ a; y + b): (5) Kuvassa 1 on esimerkki nelikulmion translaatiosta. Rotaatio eli kierto P;(A) = A 0 kiertää pistettä A kulman jj verran (vastapäivään jos  > 0 ja myötäpäivään jos  < 0) pisteen P suhteen siten, että jAP 0j = jAP j. Jos A = (x; y), ja P = (a; b), voidaan laskea pisteen A0 koordinaatit: A0 = P;(A) = (cos()(xa)sin()(yb)+a; cos()(yb)+sin()(xa)+b): (6) Jos P = (0; 0) ja   0 (mod 360), niin P = Q; =  on triviaali isometria eli identiteettikuvaus kaikilla pisteillä Q. Kuvassa 2 on esimerkki kolmion rotaatiosta [5, s. 3335] [7, s. 13]. 3 Kuva 2: Kolmiot 4ABC ja P;(4ABC). Kuva 3: Esimerkki viisikulmion ABCDE osituksesta. 2 Monikulmion ositus Jakamalla monikulmio  ei-päällekkäisiksi monikulmioiksi, joita on äärellinen mää- rä, tehdään monikulmiolle  ositus. Ositus voidaan siis toisin määritellä monikul- mion  lausumisena muodossa  = k[ i=1 i; (7) missä k 2 Z+, i on monikulmio kaikilla i ja i \ j = ; jos i 6= j, missä i tarkoittaa monikulmion i sisäpisteitä. Kuvassa 3 on esimerkki monikulmion osituksesta [5, s. 29]. Voidaan jo helposti todistaa, että myös käänteinen Monskyn lause on voimassa: Lause 1. Olkoon ABCD mielivaltainen neliö ja n mielivaltainen positiivinen ko- 4 Kuva 4: Esimerkki neliön ABCD osituksesta neljäksi yhteneväksi suorakulmioksi. konaisluku. Silloin on olemassa neliön ABCD ositus 2n kolmioksi siten, että jo- kaisen kolmion pinta-ala on yhtäsuuri. Todistus. Jos väitteen mukainen ositus on olemassa, jokaisen kolmion pinta-ala on 1 2n ala(ABCD). Olkoot P1; P2; : : : ; Pn1 sellaiset janan AB pisteet, että jAP1j = jP1P2j =    = jPn1Bj = 1 n jABj ; (8) eli pisteet jakavat jananAB n yhtä pitkään osaan. Vastaavasti, olkootQ1; Q2; : : : ; Qn1 sellaiset janan CD pisteet, että jDQ1j = jQ1Q2j =    = jQn1Cj = 1 n jCDj : (9) Piirretään neliölle ABCD janat PiQi, missä i = 1; 2; : : : ; n 1. Koska jAP1j = jDQ1j, janat AD ja P1Q1 ovat yhdensuuntaisia ja AP1Q1D on suorakulmio. Edel- leen päätellään, että kaikki janat PiQi ovat yhdensuuntaisia janan AD kanssa. Nyt neliö on ositettu n yhteneväksi suorakulmioksi, joista jokaisen pinta-ala on 1 n ala(ABCD). Kuvassa 4 on esimerkki tällaisesta osituksesta tapauksessa n = 4. Seuraavaksi piirretään neliölle janat AQ1; P1Q2; P2Q3 : : : ; Pn2Qn1; Pn1C. Nyt ne- liö on ositettu 2n yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Jokaisen kolmion pinta- ala on puolet suorakulmion pinta-alasta, siis 1 2n ala(ABCD). Kuvassa 5 on edellä kuvattu ositus, kun n = 4 [4, s. 7]. 5 Kuva 5: Esimerkki neliön ABCD osituksesta kahdeksaksi yhteneväksi suorakul- maiseksi kolmioksi. 2.1 Monikulmioiden yhteisositettavuus Jos monikulmioilla 1 ja 2 on olemassa ositukset pareittain yhteneviksi monikul- mioiksi, sanotaan, että 1 ja 2 ovat yhteisositettavissa. Tämä siis tarkoittaa, että leikkaamalla 1 kyseisen osituksensa määräämiksi monikulmioiksi, monikulmioista voidaan koota monikulmion 2 osituksen määräämät monikulmiot. Muodollisem- min, jos 1 = k[ i=1 1i ja 2 = k[ i=1 2i (10) ovat osituksia, missä 1i = 2i kaikilla i, niin kaikilla i on sellainen isometria i, että i(1i) = 2i. Siis k[ i=1 i(1i) = 2: (11) [5, s. 29] Kuvassa 6 näytetään osituksien avulla, miten kaksi monikulmiota ovat yhteisositet- tavissa. Jos kaksi monikulmiota ovat yhteisositettavissa, niiden pinta-alat on oltava samat, sillä yhtenevien monikulmioiden pinta-alat ovat samat. Myös käänteinen tulos on voimassa, minkä toteaa seuraava lause. Lause 2 (WallaceBolyainGerwien). Monikulmiot 1 ja 2 ovat yhteisositettavis- sa, jos niillä on yhtäsuuri pinta-ala. 6 Kuva 6: Suorakulmio ABCD on yhteisositettavissa tasakylkisen kolmion 4EFG kanssa, sillä 4ABD = 4BCD = 4EHG = 4HFG. Kuva 7: Kuusikulmion ABCDEF ositus kolmioiksi piirtämällä lävistäjät järjes- tyksessä AE;BE;BD. Todistus. Aluksi todetaan, että mikä tahansa n-kulmio, missä n  4, voidaan osit- taa pelkiksi kolmioiksi: n-kulmiolle voidaan piirtää sellainen sisäinen lävistäjä, että saadaan sen ositus kolmioksi ja (n1)-kulmioksi. Sama toistetaan (n1)-kulmiolle, kunnes lävistäjä piirretään nelikulmiolle. Esimerkki edellisestä toimenpiteestä näy- tetään kuvassa 7. Seuraavaksi ositetaan jokainen edellä saatu kolmio: Nimetään kolmion4ABC kärjet sellaisessa järjestyksessä, että voidaan piirtää kolmiolle sellainen korkeusjana CD, joka on kolmion sisällä. Olkoon EF se janan CD puolittava jana, että CD ? EF ja pisteet E sekä F ovat kolmion sivuilla. Janat CD ja EF osittavat kolmion kahdeksi kolmioksi ja kahdeksi nelikulmioksi. Kiertämällä 180 astetta toinen kolmio pisteen E ja toinen kolmio pisteen F suhteen saadaan suorakulmio, eli jokainen kolmio on yhteisositettavissa suorakulmion kanssa. Kuva 8 havainnollistaa toimenpidettä. Jokainen suorakulmio eli myös jokainen kolmio on taas yhteisositettavissa sellaisen suorakulmion kanssa, jonka kannan pituus on välillä [1; 2): Olkoon  mielivaltainen 7 Kuva 8: Kolmio 4ABC on yhteisositettavissa suorakulmion kanssa. Kuva 9: Suorakulmion ABCD kannan pituuden puolitus. suorakulmio. Jos suorakulmion  kannan pituus a on vähintään 2, leikataan  kan- nan keskinormaalin kohdalta ja siirretään toinen puolikas toisen päälle. Edellistä toistetaan kunnes muodostuneen suorakulmion kannan pituus on välillä [1; 2). Vas- taavasti, jos a < 1, toistetaan seuraavaa kunnes saadaan suorakulmio, jonka kannan pituus on välillä [1; 2): Leikataan  korkeuden keskinormaalin kohdalta ja siirretään toinen puolikas toisen viereen. Lopulta saadaan suorakulmio, jonka kannan pituus on välillä [1; 2), koska jos a 2 R+, on olemassa sellainen n 2 Z, että 2na 2 [1; 2]: Jos 2xa = 1, niin x = log2 a ja jos 2xa = 2, niin x = log2 a+1. Välillä [ log2 a; log2 a+1) on jokin kokonaisluku n ja 2xa on sekä jatkuva että aidosti kasvava muuttujan x suhteen. Menetelmät, joilla suorakulmio uudelleenkootaan suorakulmioksi, jonka kannan pituus on välillä [1; 2), on esitetty kuvissa 9 ja 10. Seuraavaksi näytetään, että suorakulmio 1 = ABCD, jonka kannan pituus jABj on välillä [1; 2), on yhteisositettavissa sellaisen suorakulmion 2 kanssa, jonka kan- 8 Kuva 10: Suorakulmion ABCD kannan pituuden muuttaminen kaksinkertaiseksi. nan pituus on 1: Jos jABj = 1, todetaan, että monikulmio on triviaalisti yhteiso- sitettavissa itsensä kanssa. Jos jABj > 1, tehdään kuvan 11 konstruktio: Olkoot P 2 AB, Q 2 CD ne pisteet, että jAP j = jCQj = 1. Olkoon l se suora, jolle P 2 l ja l ? AB. Koska 1 < jABj < 2, l leikkaa janan BQ pisteessä R. Olkoon A0 se piste, jossa janojen DA ja BQ määräämät suorat leikkaavat. Lopuksi, olkoon P 0 on se suoran l piste, että APP 0A0 on suorakulmio. Nyt suorakulmiolle 1 voidaan tehdä ositus 4PBR [4BCQ [ APRQD (12) ja suorakulmiolle APP 0A0 ositus 4DQA0 [4RP 0A0 [ APRQD: (13) Koska A0P 0 k CD k AB, \RBP = \A0QD = \BQC = \RA0P 0: (14) Koska lisäksi jPBj = jDQj = jABj 1 ja jCQj = jA0P 0j = 1, kulmasivukulma -säännön nojalla voidaan todeta, että 4PBR = 4DQA0 ja 4BCQ = 4RP 0A0. Koska vielä viisikulmio APRQD on suorakulmioiden yhteinen osa, APP 0A0 on kysytty 2, joka on yhteisositettavissa suorakulmion 1 kanssa. Nyt siis tiedetään, että mikä tahansa monikulmio  voidaan leikata ja koota kol- mioiksi, joista jokainen voidaan leikata ja koota suorakulmioksi, jonka kannan pi- tuus on 1. Jos suorakulmiot kootaan päällekkäin, saadaan suorakulmio, jonka kan- nan pituus on 1 ja joka on yhteisositettavissa monikulmion  kanssa. Erityisesti, jos monikulmioilla 1 ja 2 on yhtäsuuri pinta-ala, ne ovat yhteisositettavissa saman suorakulmion kanssa. 9 Kuva 11: Suorakulmio ABCD, jonka kannan pituus on välillä (1; 2), on yhteisosi- tettavissa suorakulmion APP 0A0 kanssa, jAP j = 1. Kuva 12: Seitsenkulmion ABCDEFG kaksi eri ositusta, jotka määräävät janat s1; s2; s3; s4 sekä janat r1; r3; r3. 10 Kuva 13: Seitsenkulmion ABCDEFG ositus, jonka määräävät janat s1; s2; s3; s4; r1; r3; r3. Kuva 14: Neliön ABCD ositus neljäksi yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi ja neliöksi, jonka sivun pituus on kateettien pituuksien erotus. Lopuksi pitää siis näyttää, että jos 1 ja 3 sekä 2 ja 3 ovat yhteisositettavissa, niin myös 1 ja 2 ovat yhteisositettavissa. Olkoot s1; : : : ; sn sellaiset monikulmion 3 sisäiset janat, jotka määräävät sellaisen osituksen, että 3 on yhteisositettavis- sa monikulmion 1 kanssa. Vastaavasti olkoot r1; : : : ; rm sellaiset monikulmion 3 sisäiset janat, jotka määräävät sellaisen osituksen, että 3 on yhteisositettavissa mo- nikulmion 2 kanssa. Tällöin janat s1; : : : ; sn; r1; : : : ; rm määräävät sellaisen monikulmion 3 osituksen, että 3 on yhteisositettavissa sekä monikulmion 1 että 2 kanssa. Monikulmio 3 voidaan siis leikata sellaisiksi osiksi, joista voidaan koota sekä 1 että 2, eli 1 voidaan suoraan leikata ja koota monikulmioksi 2. Kuvissa 12 ja 13 on esimerkki edellä kuvailluista osituksista [5, s. 2930] [6]. 11 Kuva 15: Ositetun neliön osat uudelleenkoottuna siten, että muodostuu kaksi neliötä, joiden sivujen pituudet ovat kateettien sivujen pituudet. 2.2 Yhteisositettavuuden sovelluksia Esimerkki 1. Todistetaan Pythagoraan lause ositusten avulla käyttäen tietoa, että yhteisositettavien monikulmioiden pinta-alat ovat samat. Olkoot suorakulmaisen kolmion4 kateettien pituudet a ja b, a  b, ja hypotenuusan pituus c. Piirretään neliö  = ABCD, jonka sivun pituus on c. Ositetaan neliö neljäksi kolmioksi, jotka ovat yhteneviä kolmion 4 kanssa: Olkoon P se neliön  sisäinen piste, että jDP j = a ja jCP j = b. Tällöin sivu-sivu-sivu -säännön nojalla 4CDP = 4. Olkoon sitten Q 2 CP se piste, että jBQj = b. Koska kateettien vastaisten kul- mien summa on 90, \CBQ = \DCP ja sivu-kulma-sivu -säännön nojalla myös 4BCQ = 4. Samoin piirretään janalle BQ se piste R, että jARj = b ja janalle AR se piste S, että jDSj = b. Nyt neliö  on ositettu neljäksi kolmioksi, jotka ovat yhteneviä kolmion 4 kanssa, ja jos b > a, niin keskelle jää neliö PQRS, jonka sivun pituus on b a. Ositus on esitetty kuvassa 14. Tehdään kolmiolle 4ASD translaatio BA ja kolmiolle 4CDP translaatio BC . Olkoon S 0 = BA(S) ja P 0 = BC(P ). Lopuksi, olkoon T pisteen S kohtisuora projektio janalle BP 0, jolloin saadaan ku- vassa 15 esitetty konstruktio. AP 0TS on neliö, jonka sivun pituus on a ja pinta-ala a2. CPTS 0 taas on neliö, jonka sivun pituus on b ja pinta-ala b2. Koska kuusikulmio AP 0S 0CPS = AP 0TS [ CPTS 0 (15) 12 Kuva 16: Neliö ositettuna Tangram-paloiksi. on yhteisositettavissa neliön  kanssa, ja neliön  pinta-ala on c2, saadaan a2 + b2 = c2: (16) Esimerkki 2. Tangram on vanha kiinalainen palapeli, jota käytetään nykyisin var- sinkin lasten geometrisen hahmottamiskyvyn harjaannuttamisessa ja tutkimisessa [2]. Tangram on neliö, joka on ositettu kuten kuvassa 16, eli seuraaviksi monikulmioiksi, jos neliön sivun pituus on 1: ˆ Kahdeksi suorakulmaiseksi tasakylkiseksi kolmioksi, joiden hypotenuusan pi- tuus on 1. ˆ Kahdeksi suorakulmaiseksi tasakylkiseksi kolmioksi, joiden hypotenuusan pi- tuus on 1 2 . ˆ Suorakulmaiseksi tasakylkiseksi kolmioksi, jonka hypotenuusan pituus on p 2 2 . ˆ Neliöksi, jonka sivun pituus on p 2 4 . ˆ Suunnikkaaksi, jonka viereisten sivujen pituudet ovat 1 2 ja p 2 4 , sekä peräkkäis- ten sisäkulmien suuruudet 45 ja 135. Tangramin ajatuksena on koota paloista neliö tai jokin muu monikulmio. Kuvissa 18 ja 17 on kaksi esimerkkiä Tangram-paloista kootuista konvekseista monikulmioista, jotka eivät ole yhteneviä. 13 Kuva 17: Tangram-paloista koottu suorakulmio, jonka viereisten sivujen pituuksien suhde on 2 : 1. Kuva 18: Tangram-paloista koottu symmetrinen viisikulmio, jolla on kolme suoraa kulmaa. 14 3 Tason R2 värittäminen Funktio f : R2 ! V , missä V on äärellinen, liittää jokaiseen pisteeseen (x; y) 2 R2 jonkin joukon V alkion. Kun joukon V alkiot ajatellaan väreiksi, voidaan sanoa, et- tä f on tason R2 väritys. Jos taso on jaettu alueisiin, joiden kaikki pisteet saavat saman värin, tason väritystä voidaan helposti visualisoida kuten kuvassa 19. Erään- lainen tapa värittää taso R2 ja erityisesti sen yksikköneliö, antaa olennaisen tuloksen Monskyn lauseen todistamiseen. 3.1 Spernerin lemma Yleinen Spernerin lemma koskee avaruuden Rn pisteiden värittämistä n+ 1 värillä, missä n 2 Z+. Lausutaan ja todistetaan vain Spernerin lemman erikoistapaus, jossa n = 2: Lause 3. Olkoon f : R2 ! V , missä jV j = 3, seuraavat ehdot toteuttava tason R2 väritys: ˆ Jokaisella suoralla esiintyy korkeintaan kaksi väriä. ˆ f(0; 0) 6= f(0; 1) 6= f(1; 0) 6= f(0; 0), eli pisteet (0; 0), (0; 1) ja (1; 0) ovat erivärisiä. ˆ Pisteet (0; 0) ja (1; 1) ovat erivärisiä. Jos yksikköneliö S = [0; 1]2 ositetaan kolmioiksi, sellaisia kolmioita, jonka jokainen kärki on erivärinen, on pariton määrä. Jatkossa sovitaan, että V = fs; v; pg, missä s tarkoittaa väriä sininen, v väriä vihreä ja p väriä punainen. Todistus. Olkoon R2 väritetty lauseen ehtojen mukaisesti. Koska värien valinta on mielivaltainen, voidaan olettaa, että piste (0; 0) on sininen, piste (1; 0) on vihreä ja piste (0; 1) on punainen. Voidaan siis todistaa lause tässä tapauksessa ja yleis- tää todistus mille tahansa ehdot toteutavalle väritykselle. Kuvassa 20 on esimerkki oletusten mukaisesta yksikköneliön värityksestä. Olkoon yksikköneliö S ositettu kolmioiksi mielivaltaisesti. Määritellään, että kolmion sivujana on sinivihreä jana, jos sen toinen päätepiste on sininen ja toinen päätepis- te on vihreä, ja määritellään vastaavasti sinipunainen jana sekä punavihreä jana. Määritellään myös vastaavasti sininen, vihreä ja punainen jana, joiden molemmat päätepisteet ovat samanväriset. Ensin näytetään, että yksikköneliön pohjasivulla on pariton määrä sinivihreitä ja- noja: Ehtojen mukaan pohjasivun jokainen piste on joko sininen tai vihreä, ja sen 15 Kuva 19: Väritys f(x; y) = k, jos xy < 1 ja f(x; y) = h, jos xy  1. Merkki k tarkoittaa keltaista ja h harmaata. päätepisteet ovat eriväriset. Pohjasivulla on ainakin yksi sinivihreä jana, sillä muu- ten pohjasivun vasen päätepiste määrää, että jokainen jana on sininen, ja pohjasivun oikea päätepiste taas määrää, että jokainen jana on vihreä. Kuvassa 21 demonstroi- daan edellistä ristiriitaa. Oletetaan sitten, että janat s1; : : : ; sn ovat pohjasivun sinivihreät janat. Janan s1 vasemmalla puolella voi olla vain sinisiä janoja, janojen s1 ja s2 välissä vain vihreitä janoja ja janojen s2 ja s3 välissä taas vain sinisiä janoja. Voidaan induktiivisesti päätellä, että jos i on pariton, janan si vasen päätepiste on sininen ja oikea päätepiste vihreä, ja jos i on parillinen, janan si vasen päätepiste on vihreä ja oikea päätepiste sininen. Koska lisäksi janan sn oikealla puolella voi olla vain vihreitä janoja, n on pariton. Esimerkki osituksesta, jossa havainto toteutuu, on kuvassa 22. Sellaisella osituksen kolmiolla, jonka kaikki kärjet ovat erivärisiä, on selvästi aina yksi sinivihreä jana. Millä tahansa muunlaisella kolmiolla, eli sellaisella jolla on ainakin kaksi samanväristä kärkeä, on kaksi tai ei yhtään sinivihreää janaa, siis aina parillinen määrä. Nyt voidaan laskea yhteen osituksen jokaisen kolmion sinivihreiden janojen luku- määrät kahdella tavalla. Ensin käydään läpi jokainen kolmio yksi kerrallaan ja käy- tetään edellä todettuja havaintoja. Jokainen sellainen kolmio, jonka kaikki kärjet ovat erivärisiä, kasvattaa summaa yhdellä, eli tällaiset kolmiot kasvattavat summaa yhdessä luvulla m1 2 N. Kaikki muut kolmiot kasvattavat summaa parillisella lu- vulla, eli yhteensä luvulla 2m2, m2 2 N. Summa on siis M = m1 + 2m2. Toisella tavalla lasketaan jokainen yksikköneliön S sisäinen sinivihreä jana kahteen kertaan ja saadaan siis parillinen luku 2m3, m3 2 N. Koska yksikköneliön sivuista vain pohjasivu sisältää sekä sinisiä että vihreitä pisteitä, lisätään edelliseen pohja- sivun sinivihreiden janojen lukumäärä, minkä todistettiin olevan jokin pariton luku 16 Kuva 20: Esimerkki Lauseen 3 ehdot täyttävästä värityksestä 1 10 yksikön välein. Kuva 21: Ei sinivihreitä janoja pohjasivulla: ristiriita. 17 Kuva 22: Pohjasivulla pariton määrä sinivihreitä janoja. 2m4 + 1, m4 2 N. Summaksi saadaan siis pariton luku M = 2m3 + 2m4 + 1 = 2(m3 +m4) + 1: (17) Lopuksi pitää näyttää, että m1 eli sellaisten kolmioiden lukumäärä, jonka jokainen kärki on erivärinen, on pariton. Saadaan yhtälö m1 + 2m2 = 2(m3 +m4) + 1; (18) josta m1 ratkaistaan: m1 = 2(m3 +m4) + 1 2m2 = 2(m3 +m4 m2) + 1; (19) siis m1 on pariton [4, s. 67]. 4 Kunnan arvotus 4.1 Kunnat Q ja R Edellisen värityksiin liittyvän tuloksen lisäksi Monskyn lauseen todistus vaatii pe- rusteet ylittävää tietoa arvotuksista. Kerrataan ensin kunnan määritelmä: Määritelmä 1. Olkoon K joukko, ja olkoot a; b; c 2 K mielivaltaisia. K varustet- tuna operaatioilla + ja  on kunta, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 18 (K1) a+ b 2 K ja ab 2 K; (K2) a+ b = b+ a ja ab = ba; (K3) (a+ b) + c = a+ (b+ c) ja (ab)c = a(bc); (K4) a(b+ c) = ab+ ac; (K5) joukossa K on nolla-alkio 0 ja ykkösalkio 1 6= 0, joille 0 + a = 1a = a; (K6) joukossa K on sellainen alkio a, jolle a+a = 0, ja jos d 2 Knf0g, joukossa K on sellainen alkio d1, jolle d1d = 1 [9, s. 1]. Vahvistetaan, että rationaalilukujen joukko Q varustettuna tavallisella yhteen-ja kertolaskulla on kunta. Olkoot a b ; c d ; e f 2 Q mielivaltaisia, siis a; c; e 2 Z ja b; d; f 2 Znf0g. (K1) a b + c d = ad+bc bd ja a b  c d = ac bd ; ad+ bc; ac 2 Z ja bd 2 Znf0g. (K2) a b + c d = ad+bc bd = bc+ad bd = c d + a b ja a b  c d = ac bd = ca db = c d  a b . (K3) (a b + c d ) + e f = ad+bc bd + e f = adf+bcf+bde bdf = a b + cf+de df = a b + ( c d + e f ) ja (a b  c d )  e f = ac bd  e f = ace bdf = a b  ce df = a b  ( c d  e f ). (K4) a b  ( c d + e f ) = a b  cf+de df = acf+ade bdf = acf bdf + ade bdf = a b  c d + a b  e f . (K5) Luonnollinen luku 0 on nolla-alkio ja luonnollinen luku 1 on ykkösalkio. (K6) a b + a b = a+a b = 0 b = 0 ja jos g h 6= 0, niin h g  g h = gh gh = 1. On hyvin tunnettua, että reaalilukujen joukko R toteuttaa kaikki ehdot yhteen-ja kertolaskun suhteen. 4.2 Arvotuksen määritelmä ja ominaisuuksia Määritellään arvotus eli valuaatio seuraavasti: Määritelmä 2. Funktio v : K ! R, missä (K;+; ) on kunta, on arvotus jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (V1) v(0) = 0 ja v(a) > 0 jos a 6= 0; (V2) v(ab) = v(a)v(b); (V3) v(a+ b)  v(a) + v(b). 19 Esimerkki 3. Reaalilukujen itseisarvo jxj =  x; jos x  0 x; jos x < 0; on arvotus: (V1) j0j = 0 ja jxj > 0 jos x 6= 0, sillä negatiivisen luvun vastaluku on positiivinen. (V2) Jos x = 0 tai y = 0, saadaan jxyj = 0 = jxj jyj. Jos a; b > 0, saadaan jxyj = xy = jxj jyj. Muutoin saadaan jxyj = xy = x(y) = jxj jyj. (V3) Jos y = 0, saadaan jx+ yj = jxj = jxj + jyj, ja jos x = 0, saadaan jx+ yj = jyj = jxj+ jyj. Jos x; y > 0, saadaan jx+ yj = x+ y = jxj+ jyj, ja jos x; y < 0, saadaan jx+ yj = xy = jxj+ jyj. Jos x ja y ovat erimerkkiset ja x+y = 0, saadaan jx+ yj = 0 < jxj + jyj. Jos x > 0, y < 0 ja x + y > 0, saadaan jx+ yj = x+ y = jxj jyj < jxj+ jyj. Jos x > 0, y < 0 ja x+ y < 0, saadaan jx+ yj = x y = jxj + jyj < jxj + jyj. Tapaukset, joissa x < 0, y > 0 ja x+ y 6= 0 osoitetaan kuten kahdessa edellisessä vaiheessa. Esimerkki 4. Myös funktio v : K ! R, v(x) =  0; jos x = 0 1; jos x 6= 0; on arvotus, jota kutsutaan triviaaliksi arvotukseksi: (V1) v(0) = 0 ja v(a) = 1 > 0 jos a 6= 0. (V2) Jos a = 0 tai b = 0, v(ab) = 0 = v(a)v(b). Jos a; b 6= 0, v(ab) = 1 = v(a)v(b). (V3) Jos a = b = 0, v(a+ b) = 0 = v(a)+ v(b). Muutoin v(a+ b)  1  v(a)+ v(b). Kaikilla arvotuksilla v : K ! R on seuraavia ominaisuuksia: (i) v(1) = 1, sillä v(1) = v(1  1) = v(1)2 ja v(1) > 0. (ii) v(x) = v(x) kaikilla x 2 K: Ensin saadaan v(x) = v(1  x) = v(1)v(x) ja ratkaistaan v(1). v(1)v(1) = v(1  (1)) = v(1) joten v(1) = 1, mutta v ei saa negatiivisia arvoja. (iii) v(x1) = v(x)1 kaikilla x 6= 0: Ensin saadaan v(x1)v(x) = v(x1x) = 1. Jakamalla puolittain saadaan v(x1) = 1 v(x) = v(x)1. (iv) Jos v(x) > 1, niin v(x1) < 1: Kohdan (iii) nojalla v(x1) = v(x)1. Jos v(x) > 1, niin v(x)1 < 1 [4, s. 23] [9, s. 1516]. 20 4.3 Arvotus järjestettyyn Abelin ryhmään Edellä määritelty perinteinen arvotus ei ole riittävä Monskyn lauseen todistamista varten. Tarvittavan arvotuksen määrittelemiseksi tutkitaan ryhmäteoriaa. Joukko G on Abelin eli kommutatiivinen ryhmä binäärioperaation  suhteen, jos kaikilla a; b; c 2 G: (A1) ab 2 G; (A2) (ab)c = a(bc); (A3) ab = ba; (A4) joukossa G on ykkösalkio 1, eli 1a = a; (A5) alkiolla a on käänteisalkio a1 2 G, eli a1a = 1 [11, s. 40]. Selvästi kunnat ovat Abelin ryhmiä operaation + suhteen. Sekä reaaliluvut että rationaaliluvut varustettuna yhteenlaskulla ovat siis Abelin ryhmiä. Positiivisten reaalilukujen joukko R+ taas on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen, koska luvun 0 puuttumisen johdosta kaikilla alkioilla on käänteis- eli vasta-alkio. Abelin ryhmä (R+; ) on erityisesti eräs järjestetty Abelin ryhmä, jotka määritellään seuraavasti: Määritelmä 3. Abelin ryhmä (G; ) on järjestetty Abelin ryhmä totaalisen järjes- tysrelaation < suhteen, jos kaikilla a; b; c 2 G a < b =) ca < cb: (20) Totaalinen eli lineaarinen järjestys < on relaatio, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (i) jos a < b ja b < c, niin a < c; (ii) tarkalleen yksi seuraavista on totta: a < b, b < a tai a = b [3, s. 62]. Merkintä a  b tunnetusti tarkoittaa, että joko a = b tai a < b. Abelin ryhmät (R;+), (Q;+) ja (R+; ) ovat kaikki järjestettyjä tavanoimaisen pie- nempi kuin -relaation < suhteen. Järjestettyihin Abelin ryhmiin G voidaan unionilla liittää sellainen alkio 0 =2 G, että 0a = 0 kaikilla a 2 G[ f0g ja 0 < a kaikilla a 2 G. Edellä mainituista järjestetyistä Abelin ryhmistä reaaliluku 0 voidaan liittää tällä tavoin vain ryhmään (R+; ), sillä 0 sisältyy jo ryhmiin (R;+) ja (Q;+) [4, s. 3]. 21 4.4 Epäarkhimedinen arvotus Nyt voidaan määritellä epäarkhimedinen eli ultrametrinen arvotus : Määritelmä 4. Olkoot (K;+; ) kunta ja (G; ; <) järjestetty Abelin ryhmä. Funk- tio v : K ! G [ f0g on kunnan K epäarkhimedinen arvotus ryhmään G jos se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla a; b 2 K: (V1') v(0) = 0 ja 0 < v(a) jos a 6= 0; (V2') v(a  b) = v(a)v(b); (V3') v(a+ b)  max(v(a); v(b)). Esimerkki 5. Itseisarvo ei ole epäarkhimedinen, sillä esimerkiksi j1 + 1j = 2 > 1 = j1j : (21) Toisin sanottuna itseisarvo on arkhimedinen arvotus [4, s. 23] [9, s. 15]. Epäarkhimedisilla arvotuksilla on seuraava ominaisuus, jota kutsutaan dominointi- periaatteeksi tai tasakylkisen kolmion periaatteeksi : Lause 4. Olkoon v epäarkhimedinen kunnan K arvotus. Jos a1; : : : ; an ovat sellaiset kunnan K alkiot, että v(a1) > v(ai) kaikilla i = 2; : : : ; n, niin v  nX i=1 ai  = v(a1): (22) Todistus. Oletetaan, että v(a1) > v(ai) kaikilla i = 2; : : : ; n. Käyttämällä ehtoa (V3') saadaan ketju v(a2 +   + an)  max(v(a2); v(a3 +   + an))  max(v(a2); v(a3); v(a4 +   + an)) ...  max i=2;:::;n v(ai) < v(a1): (23) Näytetään sitten, että jos v(a) < v(b), niin v(a+ b) = v(b): Ensinnäkin v(b) = v(a+ a+ b)  max(v(a+ b); v(a)): (24) Siis jos v(a) < v(b), niin v(b)  v(a+ b). Toisaalta tällöin myös v(a+ b)  max(v(a); v(b)) = v(b): (25) 22 Koska v(b)  v(a+ b) ja v(a+ b)  v(b), niin v(a+ b) = v(b). Jos valitaan a = a2 +   + an ja b = a1, niin epäyhtälöstä (23) saadaan v(a) < v(b) ja siis v  nX i=1 ai  = v(a+ b) = v(b) = v(a1): (26) Nimitys tasakylkisen kolmion periaate tulee ajatuksesta, että dominointiperiaatteen mukaan kaikki kunnan K kolmiot ovat tasakylkisiä epäarkhimedisen arvotuksen v suhteen. Erityisesti, jokaisella kolmiolla on aina vähintään kaksi pisintä sivua: Tehdään vastaoletus, että kolmiolla on tarkalleen yksi pisin sivu eli v(ab) > v(bc) ja v(a b) > v(c a), missä a; b; c 2 K ovat kolmion eri kärkipisteet. Tällöin v(a b) = v(a b+ b c+ c a) = v(0) = 0 > v(b c); (27) mikä on ristiriidassa ehdon 8x 2 G : 0 < x kanssa. Kolmiolla on siis ainakin kaksi pisintä sivua [4, s. 34] [9, s. 1920]. 4.5 p-adinen arvotus Tulevassa määritelmässä tarvitaan seuraavaa aputulosta: Lemma 1. Olkoot q 2 Qnf0g mielivaltainen rationaaliluku ja p 2 P mielivaltainen alkuluku. Jos q = pn  m1 m2 ; (28) missä n 2 Z, m1;m2 2 Znf0g ja p - m1m2, niin n on yksikäsitteinen. Todistus. Olkoon q > 0 rationaaliluku. Luku q voidaan siis kirjoittaa muodossa q = k1 k2 , missä k1; k2 2 Z+ ja syt(k1; k2) = 1. Aritmetiikan peruslauseen nojalla kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k on yksikä- sitteinen kanoninen esitys k = jY i=1 pi ni ; (29) missä p1; p2; : : : ; pj ovat ne alkuluvut, joille pi j k, ja ni 2 Z+ kaikilla i = 1; 2; : : : ; j [12, s. 82]. Kirjoitetaan q nyt käyttäen lukujen k1 ja k2 kanonisia esityksiä: q = k1 k2 = p1 n1p2 n2 : : : pj nj p01 n01p02 n02 : : : p0j0 n0 j0 : (30) 23 Jos p - k1k2, voidaan kirjoittaa q = p0 k1 k2 ; (31) eli n = 0 on yksikäsitteinen luvun n arvo (muilla luvun p potensseilla osoittaja tai nimittäjä on jaollinen luvulla p). Jos p j k1k2, joko p j k1 tai p j k2, sillä valittiin, että syt(k1; k2) = 1. Jos p j k1, niin p = pi jollakin i = 1; 2; : : : ; j. Siirtämällä pni osamäärän eteen saadaan q = pni k1=p ni k2 ; (32) missä ni 2 Z+ ja p - k1k2=pni . Jos p j k2, niin p = p0i jollakin i = 1; 2; : : : ; j0. Siirtämällä pni osamäärän eteen saadaan q = pni k1 k2=pni ; (33) missä ni 2 Z ja p - k1k2=pni . Jos eksponentti n on yksikäsitteinen rationaaliluvulla q > 0, niin se on myös yksi- käsitteinen rationaaliluvulla q, sillä esityksessä q = pn  m1 m2 (34) m1 2 Znf0g ja p - m1. Koska kaikki negatiiviset rationaaliluvut ovat muotoa q, yksikäsitteisyys on osoitettu kaikille nollasta eroaville rationaaliluvuille. Nyt määritellään seuraava epäarkhimedinen arvotus: Määritelmä 5. Kiinnitetään alkuluku p. Rationaalilukujen p-adinen arvotus on funktio j  jp : Q! R+ [ f0g, jolle jqjp =  0; jos q = 0 pn; jos q 6= 0; missä n 2 Z on se yksikäsitteinen kokonaisluku, että q = pn  m1 m2 ; (35) missä m1;m2 2 Znf0g ovat sellaisia kokonaislukuja, että p - m1m2 [4, s. 2] [9, s. 17]. Tässä p-adisen arvotuksen j  jp nimi tulee siitä, että se on luonnollinen tapa antaa arvotus p-adisille luvuille Qp. p-adinen luku q 2 Qp on muotoa q = 1X i=k aip i; (36) 24 missä k 2 Z ja ai 2 f0; 1; : : : ; p 1g kaikilla i. Tässä p-adisten lukujen arvotuksen arvo voidaan antaa seuraavasti: jqjp =  0; jos q = 0 pn; jos q 6= 0; missä n = minfi  k j ai 6= 0g. Jos siis q kirjoitetaan muodossa q = : : : a1a0; a1 : : : ak; (37) niin n on oikeanpuoleisimman nollasta eroavan numeron indeksi [9, s. 35]. Todetaan uudestaan ja osoitetaan seuraava väite: Lemma 2. j  jp : Q! R+ [ f0g on epäarkhimedinen arvotus. Todistus. (V1') Suoraan määritelmästä saadaan j0jp = 0. Jos q 6= 0, niin jqjp = pn, missä p 2 Z+ ja n 2 Z. Siis pn 2 R+. (V2') Jos q = 0 tai r = 0, niin jqrjp = j0jp = jqjp jrjp. Jos q; r 6= 0, niin luvulla q on esitys q = pn  m1 m2 (38) ja luvulla r esitys r = pn 0  m 0 1 m02 ; (39) joissa n; n0 2 Z ovat yksikäsitteiset, m1;m2;m01;m02 2 Znf0g, ja p - m1m2, p - m01m02. Tällöin jqrjp = pn+n0  m1m01m2m02 p = pnn 0 (40) ja jqjp jrjp = pn  m1m2 p pn0  m01m02 p = pnpn 0 = pnn 0 = jqrjp : (41) (V3') Jos q = 0, saadaan max(jqjp ; jrjp) = max(0; jrjp) = jrjp = jq + rjp. Sym- metrisesti saadaan max(jqjp ; jrjp) = max(jqjp ; 0) = jqjp = jq + rjp, kun r = 0. Jos q; r 6= 0, olkoon luvulla q esitys (38) ja luvulla r esitys (39). Koska q + r = r + q, riittää osoittaa ehdon toteutuminen tapauksessa n > n0: jq + rjp = pnm1m2 + p n0m01 m02 p = pn0 p pnn0m1m02 m01m2m2m02 p = pn 0  1 = pn0  max(pn; pn0) = max(jqjp ; jrjp); (42) sillä osoittaja pnn 0 m1m 0 2 m01m2 on nollasta eroava kokonaisluku, joka ei ole jaol- linen luvulla p [4, s. 2] [9, s. 1718]. Viimeistä tulosta varten tarvitaan seuraavaa lausetta, jota ei todisteta: 25 Lause 5 (Chevalley). Olkoon v kunnan F epäarkhimedinen arvotus järjestettyyn renkaaseen (R;+; ), jonka ryhmä (R; ) on jaollinen. Tällöin v voidaan laajentaa kunnan K laajennuskuntaan L [4, s. 45]. Rengas on kunta ilman kommutatiivisuus-ja käänteisalkioehtoja [11, s. 108]. Ei-negatiivisten reaalilukujen joukko R+ [ f0g on siis rengas. Lisäksi (R+ [ f0g; ) on jaollinen ryhmä eli kaikilla x 2 R+ [ f0g x = yn jollakin y 2 R+ [ f0g ja n 2 Z+ [8, s. 48]. Koska R on kunnan Q laajennuskunta, p-adinen arvotus voidaan siis laajentaa re- aaliluvuille. Nyt seuraavan lauseen todistus on suoraviivainen: Lause 6. On olemassa sellainen kunnan R epäarkhimedinen arvotus v johonkin järjestettyyn Abelin ryhmään, että v 1 2  > 1: (43) Todistus. Jos v on reaaliluvuille laajennettu 2-adinen arvotus j  j2 : R! R+ [ f0g, niin 12 2 = 21  11 2 = 2(1) = 2 > 1: (44) [4, s. 4] 5 Monskyn lause Nyt voidaan todistaa Monskyn lause: Lause 7 (Monsky). Ei ole olemassa sellaista neliön ositusta parittomaksi määräksi kolmioita, että jokaisella kolmiolla on sama pinta-ala. Todistus. Voidaan selvästi ensin todistaa lause yksikköneliölle S = [0; 1]2 ja yleistää sitten tulos kaikille tason R2 neliöille koosta ja orientaatiosta riippumatta. Olkoon F : R2 ! fs; v; pg seuraava 2-adisen arvotuksen avulla määritetty väritys: F (x; y) = 8<: s; jos jxj2 < 1 ja jyj2 < 1 v; jos jxj2  jyj2 ja jxj2  1 p; jos jxj2 < jyj2 ja jyj2  1 Väritys F on hyvinmääritelty eli se määrää jokaiselle pisteelle (x; y) 2 R2 yksikä- sitteisen värin: jos jxj2 < 1 ja jyj2 < 1, niin nähdään suoraan, että F (x; y) = s. Muutoin oletetaan, että jxj2  1 tai jyj2  1. Jos jxj2  jyj2, niin F (x; y) = v. Jos taas jxj2 < jyj2, niin F (x; y) = s. Lopuksi osoitetaan kaksi lemmaa väritykseen F liittyen: 26 Kuva 23: Esimerkki kolmiosta ja suorakulmiosta, joiden väliin jää kolme suorakul- maista kolmiota. Lemma 3. Jos tason R2 kolmion 4 = 4ABC kaikki kärkipisteet ovat erivärisiä värityksen F suhteen, niin kolmion 4 pinta-ala ei ole 1 k , missä k on pariton koko- naisluku. Todistus. Johdetaan kaava kolmion4 pinta-alalle, kun kolmion kärkipisteiden koor- dinaatit ovat (a; b), (c; d) ja (e; f). Piirretään pienin sellainen suorakulmio, että sen sivut ovat akselien suuntaiset ja 4 on sen sisällä. Useimmissa tapauksissa suorakulmion sisäinen ja kolmion ulkopuolinen alue jakau- tuu korkeintaan kolmeksi suorakulmaiseksi kolmioksi kuten kuvassa 23. Suorakul- maisten kolmioiden kateetit ovat akselien suuntaiset, joten niiden pituudet ja si- ten kolmioiden pinta-alat voidaan helposti laskea. Kolmion 4 pinta-ala saadaan vähentämällä suorakulmion pinta-alasta suorakulmaisten kolmioiden pinta-alat (jos suorakulmaisia kolmioita on vähemmän kuin kolme, voidaan ajatella, että saadaan suorakulmaisia kolmioita, joiden pinta-ala on 0): ala(4) = (e c)(b f) 1 2 [(a c)(b d) + (e c)(d f) + (e a)(b f)] = eb ef cb+ cf 1 2 (ad cb+ ed ef + cf + eb ef + af) = 1 2 (ad af + cf cb+ eb ed): (45) Kolmion 4 ala voidaan siis kirjoittaa myös muodossa ala(4) = 1 2 a b 1 c d 1 e f 1 (46) 27 Kuva 24: Esimerkki kolmion ja suorakulmion välisen alueen jakamisesta kolmioiksi. Oletetaan nyt, että4 on sellainen tylppäkulmainen kolmio, jonka tylppä kärki (e; f) on keskimmäinen kärki molemmilla akseleilla eli e 6= min(a; c; e), e 6= max(a; c; e), f 6= min(b; d; f) ja f 6= max(b; d; f). Nyt suorakulmion sisäiset ja kolmion 4 ul- kopuoliset alueet eivät kaikki ole kolmioita. Voidaan kuitenkin jakaa suorakulmion sisäinen ja kolmion 4 ulkopuolinen alue kolmeksi kolmioksi kuten kuvassa 24. Kol- mioiden korkeus ja kanta ovat taas akselien suuntaisia, joten saadaan laskettua kol- mion 4 pinta-alaksi ala(4) = (a c)(b d) 1 2 [(a c)(b d) + (a c)(f d) + (a e)(b d)] = 1 2 (ad af + cf cb+ eb ed); (47) mikä on sama kuin edellisessä tapauksessa. Koska determinantin (46) kahden rivin paikkojen vaihtaminen voi korkeintaan muut- taa determinantin etumerkkiä, kolmion 4 pinta-ala on aina muotoa ala(4) = 1 2 a b 1 c d 1 e f 1 (48) riippumatta siitä, missä järjestyksessä kolmion kärkipisteet valitaan. Olkoot (xv; yv), (xp; yp), ja (xs; ys) kolmion 4 eriväriset kärkipisteet, joiden indeksit kertovat pisteen värin. Tutkitaan determinantin tulojen 2-adisia arvotuksia kolmion 28 pinta-alan kaavassa ala(4) = 1 2 xv yv 1 xp yp 1 xs ys 1 : (49) Suurin arvotus on tulolla xvyp; tämä voidaan todeta vertaamalla sen arvotusta mui- den tulojen arvotuksiin käyttämällä värityksen F sääntöjä ja arvotuksen ominai- suuksia: ˆ jxvj2 jypj2 > jxvj2 jysj2, sillä jypj2  1 > jysj2. ˆ jxvj2 jypj2 > jxpj2 jyvj2, sillä jxvj2  jyvj2 ja jypj2 > jxpj2. ˆ jxvj2 jypj2 > jxsj2 jyvj2, sillä jxvj2  jyvj2 ja jypj2  1 > jxsj2. ˆ jxvj2 jypj2 > jxpj2 jysj2, sillä jxvj2  1 > jysj2 ja jypj2 > jxpj2. ˆ jxvj2 jypj2 > jxsj2 jypj2, sillä jxvj2  1 > jxsj2. Nyt dominointiperiaatetta käyttäen saadaan j2  ala(4)j2 = jxv  ypj2 = jxvj2 jypj2  1: (50) Tehdään vastaoletus; ala(4) = 1 n , missä n on pariton. Tällöin 1  j2  ala(4)j2 = 2n 2 = j2j2 1n 2 = 1 2  1 = 1 2 ; (51) mikä on ristiriita. Lopuksi pitää osoittaa, että Spernerin lemmaa voidaan käyttää: Lemma 4. Väritys F toteuttaa lauseen 3 ehdot. Todistus. Käydään läpi lemman kolme ehtoa: ˆ Tehdään vastaoletus, että jollakin tason R2 suoralla on eriväriset pisteet Ps, Pv ja Pp. Voidaan ajatella, että pisteet muodostavat kolmion 4, jonka pinta-ala on 0. Lemman 3 nojalla 1  j2  ala(4)j2 = j2  0j2 = 0; (52) mikä on ristiriita. ˆ Koska j0j2 = 0 ja j1j2 = 1, saadaan pisteille (0; 0), (0; 1) ja (1; 0) eri värit F (0; 0) = s, F (0; 1) = p ja F (1; 0) = v. ˆ F (1; 1) = v, joten F (0; 0) 6= F (1; 1). 29 Oletetaan nyt, että värityksen F mukaan väritetty yksikköneliö [0; 1]2 on ositettu k kolmioksi, joilla on yhtäsuuri pinta-ala ja k  3 on pariton. Koska yksikköneliön pinta-ala on 1, jokaisen kolmion pinta-ala on 1 k . Spernerin lemman 3 nojalla ainakin yhdellä osituksen kolmioista on eriväriset kär- kipisteet. Lemman 3 nojalla tällaisen kolmion pinta-ala ei voi olla 1 k . Tämä on risti- riidassa sen kanssa, että jokaisen osituksen kolmion pinta-ala on 1 k [4, s. 8] [10]. Todistuksesta huomataan, että ilman lausetta 5 väite tulee todistettua tapauksille, joissa kolmioiden kärkipisteillä on rationaaliset koordinaatit. Olisi epäintuitiivista mutta mahdollista, että väite ei olisi voimassa irrationaalisilla koordinaateilla. Monsky itse asiassa todisti samalla seuraavan vahvemman tuloksen: Jos yksikköne- liö ositetaan m kolmioksi, joiden pinta-alat ovat A1; A2; : : : ; Am, niin on olemassa sellainen kokonaislukukertoiminen polynomi f(x) 2 Z[x], että f(Ai) = 12 kaikilla i = 1; 2; : : : ;m [10]. Monskyn lause seuraa edellisestä tuloksesta: Jos m on pariton ja Ai = 1 m kaikilla i, niin kaikilla p(x) 2 Z[x] p( 1 m ) = n mk , missä n 2 Z ja k 2 N. Koska m on pariton, lukua n mk ei voida supistaa muotoon 1 2 . Viitteet [1] J. Bidwell: Archimedes and PiRevisited, School Science and Mathematics 94 (3), ProQuest, 1994, s. 127128. [2] I. Diaz, A. Supianto, H. Tolle: Log Data Analysis of Player Behavior in Tangram Puzzle Learning Game, International Journal of Interactive Mobile Technologies 12 (8), 2018, s. 123129. [3] H. Enderton: Elements of Set Theory, Elsevier Science & Technology, San Diego, 1977. [4] O. Flynn-Connolly: One square and an odd number of triangles, Proofs from the BOOK seminar, Trinity College Dublin, 2018. https://www.maths.tcd.ie/vdots/teaching/files/MA341C-1819/341CR6-2.pdf [5] T. Harju: Geometria, Turun yliopisto, 2015. [6] W. Jackson: Wallace's Theorem Concerning Plane Polygons of the Same Area, American Journal of Mathematics 34 (4), The John Hopkins University Press, 1912, s. 383390. [7] J. Kari: Tilings and Patterns, Turun yliopisto, 2019. 30 [8] P. Krylov, A. Tuganbaev: Modules over Discrete Valuation Rings, De Gruyter, Berliini, 2018. [9] T. Metsänkylä: p-adiset luvut, Turun yliopisto, 2004. [10] P. Monsky: On Dividing a Square Into Triangles, The American Mathematical Monthly 77 (2), Mathematical Association of America, 1970, s. 161164. [11] D. Robinson: An Introduction to Abstract Algebra, Walter de Gruyter, New York, 2003. [12] J. Tattersall: Elementary Number Theory in Nine Chapters, Cambridge Uni- versity Press, Cambridge, 1999. 31