ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA
Eeva Kuparinen
Pro gradu -tutkielma
Tammikuu 2008
MATEMATIIKAN LAITOS
TURUN YLIOPISTO
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Koordinaatisto 3
2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Tehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Jana 7
3.1 Janan pituus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Janan keskipiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Tehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Suora 13
4.1 Suoran suuntakulma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Suoran kulmakerroin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Suoran yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Kahden suoran leikkauspiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Kahden suoran välinen kulma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6 Pisteen etäisyys suorasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7 Tehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Ympyrä 41
5.1 Ympyrän yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Suoran ja ympyrän leikkauspisteet . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Ympyrän tangentti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Tehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Kartioleikkaukset 49
6.1 Paraabeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Ellipsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Hyperbeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4 Tehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7 Tehtävien ratkaisut 62
7.1 Koordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Jana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3 Suora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4 Ympyrä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5 Kartioleikkaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 Lähdeluettelo 85
1 Johdanto
Tämän opettajalinjan Pro Gradu -tutkielman tarkoituksena on luoda katsaus
analyyttiseen geometriaan. Analyyttinen geometria on lukion opetussuunni-
telman perusteiden mukaan yksi pitkän matematiikan pakollisista kursseis-
ta, joten aiheesta on jo olemassa oppikirjoja. Tämän tutkielman päälähtee-
nä olen käyttänyt kahta teosta: Schaum´s Outline of Theory and Problems
of Plain and Solid Analytic Geometry, jonka on kirjoittanut matematiikan
professori Joseph H. Kindle (Schaum Publishing Co, New York, 1950) sekä
Usko Lahden ja Yrjö Laineen kirjoittamaa Alfa, Lukion laajanmatematii-
kan kurssit 1-4 (Otava, Helsinki, 1987). Tutkielma on koottu yhdistelemällä
edellä mainittuja lähteitä käyttäen apuna myös muita teoksia, jotka löyty-
vät lähdeluettelosta. Tutkielmassa olevat kuvat on piirretty Xfig-ohjelmalla.
Esimerkkien ja harjoitustehtävien laatimisessa on apuna käytetty soveltaen
kaikkia lähdeluettelosta löytyviä oppikirjoja.
Tutkielmassa kerrataan myös muihin kursseihin liittyviä asioita, kuten geo-
metriaa, jotta varsinaisten analyyttisen geometrian käsitteiden ja ongelmien
ymmärrys olisi syvempää. Aluksi kerrataan koordinaatistoon liittyviä käsit-
teitä sekä liitetään piste ja jana koordinaatistoon. Seuraavaksi tutkielmassa
käsitellään suoraa, sen ominaisuuksia sekä useampien suorien suhdetta toi-
siinsa nähden. Viimeisenä aiheena tutkielmassa on kartioleikkaukset, joista
ympyrää käsitellään erikseen omana kappaleenaan. Jokaisen tutkielman ai-
heen yhteydessä on tarkoitus vahvistaa sekä yhtälöjen ja yhtälöryhmien rat-
kaisemisen taitoja että pistejoukon yhtälön käsitteen ymmärtämistä.
Tutkielmaa voisi käyttää apuna analyyttisen geometrian opetuksessa, mut-
ta aineiston avulla on myös mahdollista itsenäisesti tutustua analyyttiseen
geometriaan. Viimeisenä kappaleena tutkielmassa on tehtävien ratkaisut, jo-
ka toimii jonkinlaisena opettajan oppaana tai apuna itsenäisesti analyyttistä
geometriaa opiskelevalle. Tehtävillä on usein monia eri ratkaisuvaihtoehto-
ja, mutta tässä viimeisessä kappaleessa on annettu yksi, välillä hyvinkin yk-
sityiskohtainen, ratkaisuvaihtoehto jokaiselle harjoitustehtävälle. Tehtävien
1
ratkaisut ovat kirjoittajan omaa tuotosta. Tutkielman päätavoitteena on, et-
tä lukija ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometris-
ten ja algebrallisten käsitteiden välille.
Geometria on hyvin vanha matematiikan ala, joka kehittyi käytännön tar-
peiden seurauksena. Esimerkiksi muinaisessa Babyloniassa geometria hallitsi
matemaattista ajattelua niin pitkälle, että laskennollisia tehtäviä pyrittiin
ratkomaan geometrian keinoin. Varsinaiseksi tieteeksi geometria kehittyi an-
tiikin Kreikassa muutamia vuosisatoja ennen ajanlaskumme alkua.
Erittäin merkittävä uudistus koettiin 1600-luvulla, kun ranskalainen René
Descartes (1596-1650) otti käyttöön koordinaatiston. Tällöin tasoon piirre-
tyn geometrisen kuvion pisteet voitiin korvata lukupareilla. Näin geometriset
ongelmat voitiin muuttaa osaksi laskennalliseen muotoon. Tätä menetelmää
kutsutaan analyyttiseksi geometriaksi. Analyyttisessa geometriassa pyritään
siis päinvastoin kuin vanhan ajan matematiikassa ratkaisemaan geometrisia
tehtäviä laskennallisin menetelmin.
René Descartes (1596-1650)
2
2 Koordinaatisto
Koordinaatistossa jokaisen yksittäisen pisteen sijainti voidaan määrätä yk-
sikäsitteisesti yhden tai useamman luvun avulla. Jos pisteen tarkka sijainti
voidaan ilmaista yhden luvun eli koordinaatin avulla, kyseessä on yksiulot-
teinen avaruus. Esimerkiksi lukusuora on yksiulotteinen koordinaatisto.
Kuva 1: Lukusuora
Origo
Jos pisteen paikan ilmaisemiseen tarvitaan kaksi koordinaattia, kyseessä on
kaksiulotteinen avaruus. Kartta ja tason suorakulmainen xy-koordinaatisto
ovat esimerkiksi kaksiulotteisia.
Kuva 2: Tason xy-koordinaatisto
x
y
Origo
Vastaavasti kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen paikan ilmaisemiseen tarvi-
taan kolme koordinaattia, esimerkkinä avaruuden kolmiulotteinen xyz-koordi-
naatisto.
3
Kuva 3: Avaruuden xyz-koordinaatisto
Origo
x
y
z
Tarvittaessa koordinaatisto voi olla myös vinokulmainen, jolloin akselit eivät
ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. On myös koordinaatistoja, joiden akselit
ovat käyräviivaisia. Esimerkiksi maapallon pituus- ja leveyspiirien muodosta-
ma koordinaatisto on tällainen. Nyt tarkastelumme rajoittuu lähinnä tason
analyyttiseen geometriaan ja suorakulmaiseen xy-koordinaatistoon, jota kut-
sutaan René Descartesin mukaan myös karteesiseksi koordinaatistoksi.
2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto
Suorakulmaisessa xy-koordinaatistossa taso on jaettu neljään yhtä suureen
osaan kahden toisiaan vasten kohtisuorassa olevan lukusuoran avulla. Näiden
lukusuorien leikkauspiste on kummankin lukusuoran nollapiste ja nimeltään
origo. Vaakatasossa olevaa lukusuoraa kutsutaan x-akseliksi ja pystysuoraa
lukusuoraa y-akseliksi. Etäisyyttä y-akselista kutsutaan x-koordinaatiksi tai
abskissaksi ja etäisyyttä x-akselista kutsutaan y-koordinaatiksi eli ordinaa-
taksi. Yhdessä nämä etäisyydet muodostavat pisteen koordinaatit. Tason jo-
kaista pistettä vastaa siis tarkalleen yksi lukupari (x,y) ja vastaavasti jokaista
lukuparia vastaa yksi tason piste.
Esimerkiksi pisteen (2,-3) x-koordinaatti (eli abskissa) on 2 ja y-koordinaatti
(eli ordinaatta) on -3.
4
Kuva 4: Piste koordinaatistossa
1
1
(2,-3)
x
y
Esimerkki 1 Missä xy-tasossa sijaitsevat ne pisteet, joiden koordinaatit to-
teuttavat ehdon x ≤ 0?
Ratkaisu:
Tason y-koordinaatti voi saada mitä tahansa arvoja, mutta x-koordinaatti
voi saada vain arvoja x ≤ 0. x < 0 y-akselin vasemmalla puolella ja x = 0
vain y-akselilla sijaitsevilla pisteillä. Koska molempien ehtojen on oltava yh-
täaikaisesti voimassa, ratkaisualueena on y-akseli ja sen vasen puoli.
5
2.2 Tehtäviä
Tehtävä 1 Missä xy-tasossa sijaitsevat ne pisteet, joiden koordinaatit to-
teuttavat ehdon
a) y 6= 0 b) x ≥ 1 c) x = 0 ja y = 0?
Tehtävä 2 Veneestä on loppunut polttoaine ja kapteeni on ankkuroinut sen
paikoilleen. Vene sijaitsee majakasta katsottuna 350 metriä suoraan luotee-
seen. Ilmoita veneen sijainti xy-koordinaatteina, kun koordinaatiston origo-
na on majakka ja koordinaatiston akselit ovat sen kautta itään ja pohjoiseen
kulkevat suorat. Koordinaatiston ruutuvälinä on 100 metriä.
6
3 Jana
3.1 Janan pituus
Jana on suoran pätkä, jonka päätepisteinä on suoran kaksi eri pistettä. Usein
jana nimetään sen päätepisteiden mukaan, esim. jos janan päätepisteet ovat
piste A ja piste B, kyseessä on jana AB. Janan pituutta merkitään |AB| ja
tämä pituus on aina positiivinen.
Esimerkki 2 Janan päätepisteet ovat A(3,1), B(-2,1). Laske janan AB pi-
tuus.
Kuva 5:
A(3,1)B(-2,1)
y
x
1
1
Ratkaisu:
Koska molempien päätepisteiden y-koordinaatti on sama, jana AB on x-
akselin suuntainen. Tällöin janan AB pituus on x-koordinaattien erotuksen
itseisarvo eli |AB| = |−2− 3| = |−5| = 5.
Lause 3.1. x-akselin suuntaisen janan AB pituus on x-koordinaattien ero-
tuksen itseisarvo: |AB| = |x2 − x1|.
Vastaavasti y-akselin suuntaisen janan CD pituus on y-koordinaattien ero-
tuksen itseisarvo: |CD| = |y2 − y1|.
7
Pisteiden P ja Q välisellä etäisyydellä tarkoitetaan samaa kuin janan PQ pi-
tuudella.
Esimerkki 3 Laske pisteiden A(-5,-2) ja B(-2,2) välinen etäisyys |AB|.
Kuva 6:
1
1
A(-5,-2)
B(-2,2)
C(-2,-2)
x
y
Ratkaisu:
Pisteiden A ja B etäisyys on janan AB pituus. Jana AB on hypotenuusa suo-
rakulmaisessa kolmiossa, jonka kateetit ovat x-akselin ja y-akselin suuntaiset.
x-akselin suuntaisen kateetin pituus on |−5− (−2)| = |−3| = 3 ja y-akselin
suuntaisen kateetin pituus on vastaavasti |−2− 2| = |−4| = 4. Janan AB
pituus saadaan Pythagoraan lauseen avulla:
|AB|2 =32 + 42
|AB|2 =25 ‖√
|AB| =5.
Vastaus: Janan AB pituus on 5.
Huom! Otetaan huomioon vain neliöjuuren positiivinen arvo, sillä janan pi-
tuus ei voi olla negatiivinen.
8
Lause 3.2. Pisteiden P (x1, y1) ja Q(x2, y2) välinen etäisyys on
|PQ| =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Todistus. Olkoon janan AB päätepisteet A(x1, y1) ja B(x2, y2). Pisteet A
ja B muodostavat pisteen C(x1, y2) kanssa koordinaatistoon suorakulmaisen
kolmion, jonka hypotenuusa jana AB on.
Kuva 7:
1
A(x1, y1)
B(x2, y2)C(x1, y2)
x
y
1
Tällöin x- ja y-akselien suuntaisten kateettien AC ja BC pituudet ovat pää-
tepisteiden koordinaattien erotusten itseisarvoja:
AC = |y2 − y1| ja BC = |x2 − x1|.
Merkitään lyhyemmin janan AB pituutta |AB| = d. Pythagoraan lauseen
avulla saadaan pituus d:
d2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2
d2 =(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ‖√ , d > 0
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Huom! Itseisarvojen poistaminen on sallittua, koska molemmat itseisarvo-
lausekkeet on korotettu toiseen potenssiin.
9
3.2 Janan keskipiste
Kun jana jaetaan kahteen yhtä suureen osaan, janan jakavaa pistettä kutsu-
taan janan keskipisteeksi.
Lause 3.3. Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) välisen janan keskipisteen koordi-
naatit ovat
xk =
x1 + x2
2
ja yk =
y1 + y2
2
.
Todistus. Olkoon P (x1, y1) ja Q(x2, y2) janan PQ päätepisteet ja olkoon
K(xk, yk) janan PQ keskipiste. Kun otetaan avuksi piste R(x1, y2), saadaan
muodostettua suorakulmainen kolmio PQR, jonka kateetit ovat koordinaat-
tiakselien suuntaiset. Kun kolmioon PQR piirretään pisteen K kautta sivun
PR suuntainen suora, saadaan yhdenmuotoiset kolmiot KQS ja PQR.
Kuva 8:
P (x1, y1)
K(xk, yk)
Q(x2, y2)S(xk, y2)R(x1, y2)
Koska yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinjanojen pituuksien suhde on sama,
on
QK
QP
=
QS
QR
=
1
2
, jolloin QS =
1
2
QR.
Kuvion merkintöjä hyväksi käyttäen voidaan kirjoittaa
xk − x2 = 12(x1 − x2), josta
10
xk = x2 +
1
2
(x1 − x2) = 1
2
x1 +
1
2
x2 =
x1 + x2
2
.
Vastaavasti voidaan osoittaa, että
yk = y2 +
1
2
(y1 − y2) = 1
2
y1 +
1
2
y2 =
y1 + y2
2
.
Esimerkki 4 Kolmion kärkipisteet ovat A(−2, 2), B(3,−2) ja C(4, 4).
Määritä kärjestä B piirretyn keskijanan BD pituus.
Kuva 9:
1
1
A
B
C
D
x
y
Ratkaisu:
Kolmion keskijana yhdistää kulman B ja sen vastaisen sivun AC keskipisteen
D. Lasketaan ensin keskipisteen D koordinaatit:
xk =
4− 2
2
=
2
2
= 1 ja yk =
4 + 2
2
=
6
2
= 3.
Keskipisteen D koordinaatit ovat siis (1, 3). Nyt voidaan määrittää keskija-
nan BD pituus:
|BD| =√(1− 3)2 + (3 + 2)2 =√(−2)2 + 52 = √29 ≈ 5, 4.
Vastaus: noin 5,4
11
3.3 Tehtäviä
Tehtävä 3 Määritä pisteen a) (−3,−4), b) (x, y) etäisyys origosta.
Tehtävä 4 Kolmion kärjet ovat pisteissä A(−3,−4), B(4, 0) ja C(1, 3).
Osoita, että kolmio ABC on tasakylkinen.
Tehtävä 5 Janan päätepisteet ovat P (−4, 5) ja Q(6,−1). Laske janan kes-
kipisteen K etäisyys pisteestä R(−5,−2).
Tehtävä 6 Piste (−1, 4; 0, 9) on janan AB keskipiste. Määritä pisteen B
koordinaatit, kun pisteen A koordinaatit ovat (−5, 4).
12
4 Suora
Suoraa viivaa, joka jatkuu molempiin suuntiin rajattomasti, kutsutaan suo-
raksi. Suoralla ei ole alkua, loppua eikä leveyttä. Suoralla ei siis ole pääte-
pisteitä, toisin kuin esimerkiksi janalla. Kaksiulotteisessa karteesisessa koor-
dinaatistossa eli xy-tasossa suoria ovat vakiofunktioiden sekä ensimmäisen
asteen polynomifunktioiden kuvaajat.
4.1 Suoran suuntakulma
Annetun pisteen kautta kulkee aina äärettömän monta suoraa. Samoin an-
netun suoran s suuntaisia suoria on äärettömän monta. Sen sijaan annetun
pisteen P kautta kulkee vain yksi suoran s suuntainen suora. Suoran suuntaa
voidaan tutkia esimerkiksi suoran suuntakulman avulla.
Suoran suuntakulma on suoran ja positiivisen x-akselin välinen terävä tai
suora kulma. x-akselin yläpuolella suuntakulma on positiivinen ja alapuolel-
la negatiivinen. x-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on 0 ◦ ja y-akselin
suuntaisen suoran suuntakulma on 90 ◦. Näin ollen suuntakulman α määrit-
telyväli on −90 ◦ < α ≤ 90 ◦.
13
Esimerkki 5 Tutkitaan kuvan 10 suoria.
Kuva 10:
y
x
m k
l
n
Suoran k suuntakulma α1 > 0 ◦, jolloin suora k on nouseva. Suoran l suunta-
kulma α2 < 0 ◦, jolloin suora l on laskeva. Koska suora n on x-akselin suuntai-
nen, sen suuntakulma α3 = 0 ◦. y-akselin suuntaisen suoran m suuntakulma
α4 = 90
◦.
4.2 Suoran kulmakerroin
Piirretään koordinaatistoon suora, joka kulkee pisteiden A(−2,−2), B(1, 4)
ja C(2, 6) kautta ja tutkitaan suhdetta
y-koordinaatin muutos
x-koordinaatin muutos
siirryttäessä pisteestä A pisteeseen B ja edelleen pisteeseen C.
14
Kuva 11:
1
1
A
B
C
x
y
Siirryttäessä pisteestä A pisteeseen B y-koordinaatin muutos x-koordinaatin
muutoksen suhteen on 6
3
= 2.
Siirryttäessä pisteestä B pisteeseen C tämä suhde on 2
1
= 2.
Molemmat suhteet ovat siis samat.
Kun siirrytään suoraan pisteestä toiseen, niin suhde
y-koordinaatin muutos
x-koordinaatin muutos
=
∆y
∆x
on aina sama. Tätä koordinaattien muutoksen suhdetta sanotaan suoran kul-
makertoimeksi. Merkitään jatkossa kulmakerrointa kirjaimella k.
Suora on nouseva, kun kulmakerroin on positiivinen. Vastaavasti suora on
laskeva, kun kulmakerroin on negatiivinen.
Suoran suuntakulman α ja sen kulmakertoimen k välillä on yhteys, joka sel-
vinnee kuvasta 12.
15
Kuva 12:
x
y
1
k
α
Tämä yhteys tarkentuu seuraavassa lauseessa.
Lause 4.1. Suuntakulman avulla ilmaistuna kulmakerroin
k = tanα, kun α 6= 90 ◦.
Olkoon s1 ja s2 suoria (kuva 13). Määritetään seuraavaksi suorien s1 ja s2
kulmakertoimet.
Kuva 13:
s2
s1
y
x
16
Siirryttäessä pisteestä toiseen x-akselin suuntaisella suoralla s1 y-koordinaatti
ei muutu, jolloin suhde y-koordinaatin muutosx-koordinaatin muutos on siis 0. Suoran s1 kulmakerroin
on 0.
Siirryttäessä pisteestä toiseen y-akselin suuntaisella suoralla s2 x-koordinaatti
ei muutu eli x-koordinaatin muutos on 0. Koska nollalla ei voi jakaa, suhdet-
ta y-koordinaatin muutosx-koordinaatin muutos ei ole määritelty. Suoralla s2 ei siis ole kulmakerrointa.
Myös määritettäessä y-akselin suuntaisen suoran kulmakerrointa suuntakul-
man avulla (lause 4.1) päädytään samaan tulokseen, sillä y-akselin suuntai-
sen suoran suuntakulma α = 90 ◦, jolloin tanα ei ole määritelty. Seuraava
lause tiivistä edellä saadut tulokset.
Lause 4.2. X-akselin suuntaisen suoran kulmakerroin on 0, mutta y-akselin
suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa.
Tutkitaan seuraavaksi, miten määritetään pisteiden A(x1, y1) ja B(x2, y2)
kautta kulkevan suoran kulmakerroin, kun kyseinen suora ei ole kummankaan
koordinaattiakselin suuntainen.
Kuva 14:
α
B(x2, y2)
C(x2, y1)
x
y
A(x1, y1) α
Kuviossa suora on nouseva ja tällöin suuntakulma α > 0 ◦. Kuvion kolmion
sivu AC on x-akselin suuntainen. Nyt pisteiden A ja B kautta kulkeva suo-
ra leikkaa yhdensuuntaiset suorat, jolloin samankohtaiset kulmat ovat yhtä
17
suuret. Kuvioon piirretyssä kolmiossa siis myös kulma BAC = α. Koska kol-
mio ABC on suorakulmainen ja |BC| = y2 − y1 ja |AC| = x2 − x1, saadaan
trigonometrian mukaan
tanα =
|BC|
|AC| =
y2 − y1
x2 − x1 .
Lauseen 4.1 nojalla k = tanα, joten yhtälö saadaan muotoon
k =
y2 − y1
x2 − x1 .
Lause 4.3. Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) kautta kulkevan suoran kulmakerroin
k =
y2 − y1
x2 − x1 ,
kun x1 6= x2 eli suora ei ole y-akselin suuntainen.
Esimerkki 6 Onko piste C(−50, 1025) pisteiden A(50, 1325) ja B(75, 1400)
kautta kulkevalla suoralla?
Ratkaisu:
Piste C on suoralla AB, jos ja vain jos suoralla AC on sama kulmakerroin
kuin suoralla AB. Lasketaan suorien AB ja AC kulmakertoimet.
Suoran AB kulmakerroin:
1400− 1327
75− 50 =
75
25
= 3.
Suoran AC kulmakerroin:
1025− 1325
−50− 50 =
−300
−100 = 3.
Koska suorien AB ja AC kulmakertoimet ovat samat, piste C sijaitsee pistei-
den A ja B kautta kulkevalla suoralla.
Vastaus: On.
18
Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset, niiden kulmakertoimet ovat samat
tai molemmat suorat ovat y-akselin suuntaisia. Jos kulmakertoimet ovat eri-
suuret, suorat eivät ole yhdensuuntaiset ja leikkaavat toisensa yhdessä pis-
teessä. Tämän leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat molempien suorien
yhtälöt.
Esimerkki 7 Suora l1 kulkee pisteiden (−3,−1) ja (1, 1) kautta ja suora
l2 kulkee pisteiden (−4, 3) ja (−2, 4) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa?
Ratkaisu:
Lasketaan suorien l1 ja l2 kulmakertoimet.
Suora l1: k =
1− (−1)
1− (−3) =
2
4
=
1
2
Suora l2: k =
4− 3
−2− (−4) =
1
2
.
Kuva 15:
x
y
1
1
l1
l2
Koska suorat l1 ja l2 eivät ole sama suora ja niiden kulmakertoimet ovat yhtä
suuret, suorat ovat yhdensuuntaiset. Ne eivät siis leikkaa missään pisteessä.
Vastaus: Suorat eivät leikkaa.
19
4.3 Suoran yhtälöt
Suoran yhtälö voidaan määrittää, jos suoralta tunnetaan yksi piste sekä suo-
ran suunta eli kulmakerroin on tunnettu.
Johdetaan seuraavaksi suoran yhtälö. Olkoon piste (x, y) suoran l mielival-
tainen piste ja olkoon piste (xo, yo) suoran l kiinteä piste.
Kuva 16:
(x, y)
l
x
(x0, y0)
y
Suoran l kulmakerroin on siis
k =
y − y0
x− x0 (, x 6= xo).
Yhtälö voidaan saattaa muotoon y − y0 = k(x− x0).
Tämä yhtälö on tosi minkä tahansa suoran l pisteen (x, y) koordinaattiar-
voilla. Toisaalta jokainen piste, jonka koordinaatit toteuttavat yhtälön, on
suoran piste. Yhtälöä kutsutaankin suoran l yhtälöksi.
Lause 4.4. Jos suoran kulmakerroin on k ja se kulkee pisteen (x0, y0) kautta,
suoran yhtälö on y − y0 = k(x− xo).
Jos suoran kiinteä piste on (0, b) eli piste sijaitsee y-akselilla ja piste (x, y)
on edelleen mielivaltainen, suoran kulmakerroin on
k =
y − b
x− 0 , kun x 6= 0.
20
Tästä saadaan kx = y − b ja edelleen y = kx+ b.
Suora y = kx + b leikkaa y-akselin pisteessä (0, b), joten origon (0, 0) kaut-
ta kulkevan suoran yhtälö on y = kx. Kun kulmakerroin k = 0, on suora
x-akselin suuntainen ja sen yhtälö on y = b. x-akselin yhtälö on siis y = 0.
Kuten edellä esitetty, y-akselin suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa.
Jos tällainen y-akselin suuntainen suora kulkee pisteen (a, b) kautta, sen jo-
kaisella pisteellä on sama x-koordinaatti eli y-akselin suuntaisen suoran yh-
tälö on siis x = a. y-akselin yhtälö on vastaavasti x = 0.
Lause 4.5. Suoran yhtälö ratkaistussa muodossa on y = kx+ b tai x = a.
Siirtämällä yhtälön kaikki termit samalle puolelle jokaisen suoran yhtälö voi-
daan saattaa muotoon ax + by + c = 0, jossa kertoimet a, b ja c ovat reaa-
lilukuja. Minkä tahansa muotoa ax + by + c = 0 olevan yhtälön kuvaaja on
suora, kun a 6= 0 tai b 6= 0.
Jos a = 0 ja b 6= 0, saadaan yhtälö muotoon y = −c
b
, joka on x-akselin suun-
taisen suoran yhtälö.
Jos taas b = 0, mutta a 6= 0 saadaan yhtälöstä ax + by + c = 0 y-akselin
suuntaisen suoran yhtälö x = − c
a
.
Yhtälöä ax + by + c = 0 kutsutaankin suoran yhtälön yleiseksi muodoksi,
koska erikoistapauksina tästä yhtälöstä saadaan myös koordinaattiakselien
suuntaiset suorat.
Lause 4.6. Ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0 kuvaaja on aina
suora, kun a 6= 0 tai b 6= 0.
Tästä suoran yhtälön yleisestä muodosta saadaan myös koordinaattiakselien
suuntaiset suorat.
21
Esimerkki 8 Suora kulkee pisteen (−1,−1) kautta ja sen kulmakerroin on
1
3
. Muodosta suoran yhtälö. Muuta muodostamasi yhtälö sekä ratkaistuun
että yleiseen muotoon.
Ratkaisu:
Sijoitetaan suoran yhtälöön y− y0 = k(x−xo) pisteen (−1,−1) koordinaatit
x0 = −1 ja y0 = −1 sekä kulmakerroin k = 1
3
:
y − (−1) =1
3
(x− (−1))
y + 1 =
1
3
(x+ 1).
Seuraavaksi saatetaan muodostettu suoran yhtälö ratkaistuun muotoon:
y + 1 =
1
3
(x+ 1)
y + 1 =
1
3
x+
1
3
y =
1
3
x+
1
3
− 1
y =
1
3
x− 2
3
Tehtävänä on vielä saattaa suoran yhtälö yleiseen muotoon. Yleensä yhtälös-
tä poistetaan samalla nimittäjät.
y + 1 =
1
3
(x+ 1) ‖ · 3
3(y + 1) =(x+ 1)
3y + 3− x− 1 =0
−x+ 3y + 2 =0
Vastaus: suoran yhtälö on y+1 = 1
3
(x+1), ratkaistussa muodossa y = 1
3
x+ 1
3
ja yleisessä muodossa x− 3y − 2 = 0.
22
Esimerkki 9 Suora kulkee pisteen (4,−2) kautta ja on suoran
5y + 9x− 2 = 0 suuntainen.
Kuva 17:
1
(4,−2)
5y + 9x− 2 = 0
x
y
1
a) Määritä suoran yhtälö.
b) Missä pisteissä suora leikkaa koordinaattiakselit?
Ratkaisu:
a) Yhdensuuntaisten suorien kulmakertoimet ovat samat. Saatetaan suora
5y + 9x− 2 = 0 ratkaistuun muotoon:
5y + 9x− 2 =0
5y =− 9x+ 2
y =− 9
5
x+
2
5
,
jolloin saadaan kulmakerroin k = −9
5
. Nyt pystytään määrittämään suoran
23
yhtälö sijoittamalla pisteen (4,−2) koordinaatit ja kulmakerroin k = −9
5
suoran yhtälöön y − y0 = k(x− xo):
y − (−2) =− 9
5
(x− 4)
y + 2 =− 9
5
x+
36
5
y =− 9
5
x+ 5
1
5
b)Yhtälön ratkaistusta muodosta y = −9
5
x+ 51
5
nähdään, että suora leikkaa
y-akselin pisteessä (0, 51
5
).
Suoran ja x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Sijoitetaan arvo
y = 0 edellä olevaan yhtälöön ja ratkaistaan yhtälö:
0 =− 9
5
x+
26
5
9
5
x =
26
5
‖ · 5
9x =26 ‖ : 9
x =2
8
9
.
Vastaus: Kysytyn suoran yhtälö ratkaistussa muodossa on y = −9
5
x + 51
5
.
Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 51
5
) ja x-akselin pisteessä (28
9
, 0).
4.4 Kahden suoran leikkauspiste
Suoran ax+by+c = 0 jokaisen pisteen koordinaatit toteuttavat suoran yhtä-
lön. Vastaavasti pisteiden, jotka eivät sijaitse kyseisellä suoralla, koordinaatit
eivät toteuta suoran yhtälöä.
24
Kaksi tason suoraa voivat
• leikata toisensa
• olla yhdensuuntaisia olematta kuitenkaan samoja tai
• olla sama suora.
Suorien ax + by + c = 0 ja dx + ey + f = 0 mahdolliset yhteiset pisteet
saadaan selville ratkaisemalla yhtälöpari ax+ by + c = 0dx+ ey + f = 0.
Kuva 18:
x x x
y y y
1 2 3
Kuvan 18 kohdassa
1. yhtälöparilla on yksi ratkaisu.
2. yhtälöparilla ei ole ratkaisuja.
3. yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja.
25
Esimerkki 10 Määritä suorien 2x− y+3 = 0 ja x+ y+2 = 0 leikkauspiste.
Kuinka suuri on näiden suorien ja y-akselin rajaaman kolmion ala?
Ratkaisu:
Leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat molemmat yhtälöt, eli ne toteutta-
vat yhtälöparin 2x− y + 3 = 0x+ y + 2 = 0
Ratkaistaan yhtälöpari eliminoimalla toinen muuttujista. Lasketaan yhtälöt
yhteen. Koska muuttujan y kertoimet ovat vastalukuja, saadaan yksi yhden
muuttujan yhtälö:
{
2x −y +3 = 0
x +y +2 = 0
3x +5 = 0
Tästä yhtälöstä saadaan ratkaistua x = −5
3
.
y:n arvo saadaan sijoittamalla saatu x:n arvo kumpaan tahansa alkuperäi-
seen yhtälöön:
−5
3
+ y + 2 =0
y =
5
3
− 2
y =− 1
3
.
Suorien 2x− y + 3 = 0 ja x+ y + 2 = 0 leikkauspiste on siis piste (−5
3
,−1
3
).
26
Kuva 19:
1
1
x
y
Suorien ja y-akselin rajaaman kolmion kannaksi valitaan suorien y-akselista
rajaama jana. Suorien yhtälöiden ratkaistuista muodoista y = 2x + 3 ja
y = −x−2 nähdään, että suorat leikkaavat y-akselin pisteissä (0, 3) ja (0,−2).
Kolmion kannan pituus on
|3− (−2)| = |3 + 2| = 5.
Kolmion korkeus on sama kuin suorien leikkauspisteen etäisyys y-akselista,
eli leikkauspisteen x-koordinaatin itseisarvo:∣∣∣∣−53
∣∣∣∣ = 53 .
Nyt voidaan laskea annettujen suorien ja y-akselin rajoittaman kolmion ala:
A =
1
2
· 5 · 5
3
=
25
6
= 4
1
6
.
Vastaus: Leikkauspiste on piste (−5
3
,−1
3
) ja kolmion ala on 4
1
6
.
27
Esimerkki 11 Osoita, että suorat −ax + y − 8 − 3a = 0 kulkevat saman
pisteen kautta riippumatta vakion a arvosta.
Ratkaisu:
Kutakin vakion a arvoa vastaa tietty suora. Antamalla vakiolle a eri arvoja
saadaan ääretön määrä suoria. Annetaan vakiolle a nyt arvot 0 ja 1:
a = 0:
−0x+ y − 8− 3 · 0 =0
y − 8 =0
a = 1:
−1x+ y − 8− 3 · 1 =0
−x+ y − 11 =0
Lasketaan näin saatujen suorien y − 8 = 0 ja −x+ y − 11 = 0 leikkauspiste: y − 8 = 0−x+ y − 11 = 0
Saatetaan ensimmäinen yhtälö muotoon y = 8 ja sijoitetaan se toiseen yhtä-
löön:
−x+ 8− 11 =0
−x =3 ‖ · (−1)
x =− 3
Näiden suorien leikkauspiste on siis (−3, 8). Sijoitetaan leikkauspisteen koor-
dinaatit alkuperäiseen yhtälöön:
28
−a · (−3) + 8− 8− 3a =0
3a− 3a =0
0 =0
Pisteen (−3, 8) koordinaatit siis toteuttavat yhtälön riippumatta vakion a
arvosta, joten kaikki suorat −ax + y − 8 − 3a = 0 kulkevat pisteen (−3, 8)
kautta.
4.5 Kahden suoran välinen kulma
Kahden suoran välisellä kulmalla α tarkoitetaan yleensä kahden suoran vä-
listä terävää tai suoraa kulmaa, jolloin suorien välinen kulma α ≤ 90 ◦. Jos
suorat ovat yhdensuuntaiset tai sama suora, kulman suuruudeksi on sovittu
0 ◦. Suorien välinen kulma α toteuttaa siis ehdon 0 ◦ ≤ α ≤ 90 ◦.
Kuva 20:
α
Lause 4.7. Jos suorien kulmakertoimet ovat k1 ja k2, suorien välinen kulma
α voidaan laskea kaavasta
tanα =
∣∣∣∣ k1 − k21 + k1k2
∣∣∣∣ .
29
Todistus.
Kuva 21:
x
y
θ1
L1
L2
θ2
α
Olkoon suoran L1 kulmakerroin k1 ja suoran L2 kulmakerroin k2. Koska kol-
mion kulmien summa on 180 ◦ ja vieruskulmien summa on 180 ◦, on θ2 =
α+ θ1 ja edelleen α = θ2 − θ1. Tämän ja lauseen 4.1 nojalla voidaan kirjoit-
taa
tanα = tan (θ2 − θ1) = tan θ2 − tan θ1
1 + tan θ2 tan θ1
=
k2 − k1
1 + k2k1
¤
Esimerkki 12 Laske suorien y = 2 ja −2x + 3y − 4 = 0 välinen kulma 0,1
asteen tarkkuudella.
Ratkaisu:
Ratkaistaan ensin suorien kulmakertoimet.
Suora y = 2 on x-akselin suuntainen, jolloin sen kulmakerroin k1 = 0.
Saatetaan suora −2x+ 3y − 4 = 0 ratkaistuun muotoon:
−2x+ 3y − 4 =0
3y =2x+ 4 ‖ : 3
y =
2
3
x+
4
3
.
30
Tästä nähdään, että kulmakerroin k2 =
2
3
.
Sijoitetaan nyt kulmakertoimet k1 = 0 ja k2 =
2
3
edellä esitettyyn kaavaan
tanα =
∣∣∣∣ k1 − k21 + k1k2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 0− 231 + 0 · 2
3
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−23
∣∣∣∣ = 23 ,
josta voidaan ratkaista suorien välisen kulman α suuruus:
tanα =
2
3
α ≈33, 7 ◦.
Vastaus: Annettujen suorien välinen kulma on noin 33, 7 ◦.
Kun suorien välinen kulma α = 90 ◦, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vas-
taan. Tällöin tanα ei ole määritelty, jolloin suorien välisen kulman yhtälössä
nimittäjän 1 + k1k2 on oltava nolla. Tällöin siis k1k2 = −1. Vastaavasti, jos
1 + k1k2 on nolla, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan myös silloin, kun suorat
ovat koordinaattiakselien suuntaisia, vaikka edellä esitetty ehto ei tällöin ole-
kaan voimassa.
Lause 4.8. Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa toisiaan vasten täsmälleen sil-
loin, kun niiden kulmakertoimet k1 ja k2 toteuttavat ehdon
k1k2 = −1
tai toinen suora on x-akselin ja toinen y-akselin suuntainen.
Suora, joka on kohtisuorassa toista suoraa vastaan, on tämän normaali.
Olkoon suoran l kulmakerroin
a
b
. Tällöin siis y-koordinaatin muutos on a ja
x-koordinaatin muutos on b. Kuvassa 22 on esitetty suora l ja koordinaattien
muutokset apukolmion avulla.
31
Kuva 22:
a
y
x
l
n
a
b
b
Kun suoraa l kierretään 90 ◦, saadaan suoran l normaali n ja samalla suoran
l apukolmio kiertyy normaalin n apukolmioksi. Kuviosta nähdään, että nor-
maali n on laskeva suora ja että sen kulmakerroin on − b
a
.
Lause 4.9. Jos suoran kulmakerroin on
a
b
, sen normaalin kulmakerroin on
suoran kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku − b
a
.
Esimerkki 13 Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3, 5) kautta
ja on kohtisuorassa suoraa 8x+ 2y − 2 = 0 vastaan.
Ratkaisu:
Saatetaan yhtälö 8x + 2y − 2 = 0 ratkaistuun muotoon y = −4x + 1. Tästä
nähdään, että kyseisen suoran kulmakerroin on −4. Tämän suoran normaa-
lin, eli suoraa vasten kohtisuorassa olevan suoran, kulmakerroin on tällöin
1
4
(suoran 8x+ 2y − 2 = 0 kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku).
32
Kuva 23:
1
(3, 5)
8x + 2y − 2 = 0
x
y
1
Koska suora kulkee pisteen (3, 5) kautta, pystytään nyt muodostamaan nor-
maalin yhtälö:
y − 5 =1
4
(x− 3)
y =
1
4
x+
17
4
Vastaus: y =
1
4
x+ 4
1
4
.
4.6 Pisteen etäisyys suorasta
Pisteen etäisyydellä suorasta tarkoitetaan yleensä pisteen lyhintä eli kohti-
suoraa etäisyyttä suorasta.
Lause 4.10. Pisteen P (x0, y0) etäisyys d suorasta ax+ by + c = 0 on
d =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
.
Osoittajassa on siis pisteen P (xo, y0) koordinaatit sijoitettuna lausekkeeseen
ax+by+c = 0 ja nimittäjässä on yhtälön kertoimien a ja b neliöiden summan
neliöjuuri.
Todistus. Oletetaan, että suoran yhtälössä a 6= 0 ja b 6= 0 eli kyseinen suora
ei ole kummankaan koordinaattiakselin suuntainen.
33
Kuva 24:
ax + by + c = 0
d
P (x0, y0)
Q(x, y)
Pisteen P (x0, y0) etäisyys d suorasta ax+ by+ c = 0 on kohtisuora välimatka
PQ.
Suoran PQ yhtälö on y − y0 = kPQ(x− x0).
Suoran ax+ by+ c = 0 yhtälö ratkaistussa muodossa on y = −a
b
x− c
b
, josta
saadaan kulmakerroin ks = −a
b
.
Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos kulmakertoimien tulo on −1.
Tätä hyödyntämällä voidaan ratkaista kulmakerroin kPQ:
kPQ · ks =− 1
kPQ · (−a
b
) =− 1 ‖ : (−a
b
)
kPQ =
b
a
suoran PQ yhtälö on siis y − y0 = b
a
(x− x0).
34
Etäisyys d on sama kuin janan PQ pituus eli
d = |PQ| =√(x− x0)2 + (y − y0)2 =√(x− x0)2 + ( ba(x− x0))2
=
√
(1 + b
2
a2
)(x− x0)2.
Yhtälöparista
y − y0 = ba(x− x0)y = −a
b
x− c
b
eli
y = ba(x− x0) + y0y = −a
b
x− c
b
saadaan käyttämällä sijoitusmenetelmää
b
a
(x− x0) + y0 =− a
b
x− c
b
a
b
(x− x0) + a
b
x+
c
b
+ y0 =0
b
a
x+
a
b
x =
b
a
x0 − c
b
− y0 ‖ · b
ax+
b2
a
x =
b2
a
x0 − by0 − c
(a+
b2
a
)x =
b2
a
x0 − by0 − c ‖ : (a+ b
2
a
)
x =
b2
a
x0 − by0 − c
a+ b
2
a
.
Tästä ratkaistaan erotus x− x0:
Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta termi x0
x− x0 =
b2
a
x0 − by0 − c
a+ b
2
a
− x0
x− x0 =
b2
a
x0 − (a+ b2a )x0 − by0 − c
a+ b
2
a
x− x0 =−(ax0 − by0 − c)
a+ b
2
a
.
35
Sijoitetaan ratkaistu lauseke erotuksen x − x0 paikalle etäisyyden d lausek-
keeseen:
d = |PQ| =
√
(1 +
b2
a2
)(
−(ax0 − by0 − c)
a+ b
2
a
)2 =
√
(1 +
b2
a2
)
(−(ax0 − by0 − c))2
(a+ b
2
a
)2
=
√
(1 +
b2
a2
)
(ax0 + by0 + c)2
a2(1 + b
2
a2
)2
=
√
(ax0 + by0 + c)2
a2(1 + b
2
a2
)
=
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
siis pisteen (x0, y0) etäisyys d suorasta ax+ by + c = 0 on
d =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
.
Todistuksessa oletettiin, että suora ei ole kummankaan koordinaattiakse-
lin suuntainen. Kaava kuitenkin voidaan osoittaa oikeaksi myös tapauksissa
a = 0 tai b = 0. Tällä kertaa tämä todistus kuitenkin sivuutetaan.
Esimerkki 14 Määritä pisteen (4,−2) etäisyys suorasta y = 3x+ 6.
Ratkaisu:
Saatetaan suoran yhtälö ensin yleiseen muotoon ax+ by + c = 0:
y =3x+ 6
−3x+ y − 6 =0
Sijoitetaan annetun pisteen koordinaatit x0 = 4 ja y0 = −2 sekä suoran yh-
tälön kertoimet a = −3, b = 1 ja c = −6 lauseen 4.10 pisteen etäisyyden
kaavaan:
d =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
=
|−3 · 4 + 1 · (−2)− 6|√
(−3)2 + 12 =
|−24|√
10
=
24√
10
≈ 7, 6.
Vastaus:
24√
10
≈ 7, 6.
36
Kulman puolittajaksi kutsutaan kulman kärjestä alkavaa puolisuoraa, joka
jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi.
Kuva 25:
α
α
Kulman puolittajan muodostavat ne pisteet, jotka ovat yhtä etäällä kulman
kyljistä.
Esimerkki 15 Määritä suorien 3x − 4y + 8 = 0 (L1) ja 5x + 12y − 15 = 0
(L2) välisten kulmien puolittajien yhtälöt.
Kuva 26:
S2
L2
L1
S1
d2
d1 P (x, y)
37
Ratkaisu:
Olkoon piste P (x, y) mikä tahansa piste kulmanpuolittajalla S1. Lasketaan
pisteen P (x, y) etäisyys d1 suorasta L1, jonka yhtälö on 3x− 4y + 8 = 0:
d1 =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
=
|3x− 4y + 8|√
32 + (−4)2 =
|3x− 4y + 8|
5
Lasketaan saman pisteen P (x, y) etäisyys d2 suorasta L2, jonka yhtälö on
5x+ 12y − 15 = 0:
d2 =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
=
|5x+ 12y − 15|√
52 + 122
=
|5x+ 12y − 15|
13
.
Koska kulmanpuolittajan mielivaltainen piste P on yhtä kaukana kulman
kyljistä L1 ja L2, voidaan muodostaa yhtälö
|3x− 4y + 8|
5
=
|5x+ 12y − 15|
13
13 |3x− 4y + 8| =5 |5x+ 12y − 15|
Poistetaan itseisarvomerkit päättelyllä |a| = |b|, kun a = ±b, jolloin saadaan:
13(3x− 4y + 8) =± 5(5x+ 12y − 15)
Sieventämällä lausekkeet saadaan kulmanpuolittajien yhtälöiksi
14x− 112y + 179 = 0 ja 64x+ 8y + 29 = 0.
Vastaus: 14x− 112y + 179 = 0 ja 64x+ 8y + 29 = 0.
38
4.7 Tehtäviä
Tehtävä 7 Suora kulkee pisteiden a) (7, 1) ja (5, 0) b) (2, 4) ja (2,−1)
c) (0,−1) ja (−3,−1) d) (−2, 4) ja (1,−5) kautta.
Laske suoran kulmakerroin ja ilmoita, onko suora laskeva, nouseva vai ehkä
koordinaattiakselien suuntainen.
Tehtävä 8 Osoita, että pisteet A(−3, 4), B(3, 2) ja C(6, 1) sijaitsevat sa-
malla suoralla.
Tehtävä 9 Kolmion kärjet ovat pisteissä A(5, 7), B(1,−3) ja C(−5, 1).
Osoita, että sivujen AB ja BC keskipisteitä yhdistävä jana on yhdensuuntai-
nen sivun AC kanssa.
Tehtävä 10 a) Mikä on suoran 3x+ 2y = 7 kulmakerroin?
b) Missä pisteessä tämä suora leikkaa y-akselin?
Tehtävä 11 Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (2,−3) kaut-
ta ja jonka suuntakulma on 60 ◦?
Tehtävä 12 Millä vakion a arvolla suorat 2ax+ 2y + 10 = 0 ja
(a+ 3)x− 2y − 1 = 0 ovat yhdensuuntaiset?
Tehtävä 13 Laske sen kolmion pinta-ala, jonka sivuina ovat suorat
x+ y − 3 = 0, −3x+ y − 8 = 0 sekä x-akseli.
Tehtävä 14 Määritä niiden suorien yhtälöt, joiden kulmakerroin on −3
4
ja jotka muodostavat koordinaattiakselien kanssa pinta-alaltaan 24 pinta-
alayksikköä olevan kolmion.
Tehtävä 15 Määritä vakio a siten, että suorat 2x+ 3y − 1 = 0,
y = −x+ a ja ax− y + 7a+ 5 = 0 leikkaavat samassa pisteessä.
Mikä tämä piste on?
39
Tehtävä 16 Kolmion kärjet ovat pisteissä A(−5, 4), B(−2,−5) ja C(6,−2).
Laske kolmion kulmat ja anna vastauksesi asteen tarkkuudella.
Tehtävä 17 Osoita, että suorat
a) y = −8 ja x− 6 = 0
b) x− 2y − 6 = 0 ja x+ y
2
− 1 = 0
ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tehtävä 18 Millä vakion p arvolla suorat 2px−4y+8 = 0 ja x+2y+py = 0
ovat toisiaan vasten kohtisuorassa?
Tehtävä 19 Laske pisteen (−2,−3) etäisyys d suorasta 8x+ 15y − 24 = 0.
Tehtävä 20 Määritä niiden suorien yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia suo-
ran 12x− 5y − 15 = 0 kanssa ja joiden kohtisuora etäisyys suorasta
12x− 5y − 15 = 0 on 4.
40
5 Ympyrä
Ympyrä on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta pis-
teestä. Ympyrä on täydellisesti määritelty, kun sen keskipiste ja säde tunne-
taan. Joskus ympyräksi kutsutaan myös ympyrän kehän sisäpuolella olevaa
tason osaa, mutta analyyttisessä geometriassa on kuitenkin vakiintunut käy-
täntö, että ympyrällä tarkoitetaan ympyräviivaa. Kun siis jatkossa puhutaan
ympyrästä, tarkoitetaan nimenomaan ympyrän kehää.
5.1 Ympyrän yhtälö
Ympyrää kuvaa toisen asteen kahden muuttujan yhtälö. Olkoon piste P0(x0, y0)
ympyrän keskipiste, r säde ja piste P (x, y) ympyrän kehän mielivaltainen pis-
te. Pisteiden P0 ja P etäisyys on√
(x− x0)2 + (y − y0)2.
Koska jokaisen ympyrän kehän piste on säteen etäisyydellä ympyrän keski-
pisteestä, on pisteiden P0 ja P etäisyys toisaalta r.
Kuva 27:
x
y
r
P0(x0, y0)
P (x, y)
41
Voidaan siis kirjoittaa yhtälö√
(x− x0)2 + (y − y0)2 =r ‖ ( )2
Neliöön korottaminen on sallittua, koska molemmat yhtälön puolet ovat epä-
negatiivisia
(x− x0)2 + (y − y0)2 =r2.
Lause 5.1. Yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on piste P0(x0, y0) ja säde r,
on
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Tämä on ympyrän yhtälön keskipistemuoto.
Esimerkki 16 Ympyrän yhtälö on (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 16. Määritä ympy-
rän keskipiste ja säde.
Ratkaisu:
Koska x0 = −2 ja y0 = 3, ympyrän keskipiste on piste (−2, 3). Annetun
ympyrän yhtälössä
r2 =16 ‖√
r =4.
Vastaus: Ympyrän keskipiste on piste (−2, 3) ja säde on 4.
Jos ympyrän keskipiste on origossa, ympyrän yhtälö on muotoa x2+y2 = r2.
Jokainen ympyrän yhtälö voidaan saattaa muotoon x2+y2+Dx+Ey+F = 0.
Kääntäen voidaan todeta, että yhtälön x2 + y2 +Dx+Ey + F = 0 kuvaaja
on ympyrä, jos yhtälö voidaan saattaa muotoon (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Lause 5.2. Ympyrän yhtälön yleinen muoto on
x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0,
missä D, E ja F ovat reaalisia vakioita.
42
Kirjoitetaan ympyrän yleinen yhtälö muotoon
x2 +Dx+ y2 + Ey + F =0
ja saatetaan tämä yhtälö neliöön täydentämällä muotoon
x2 +Dx+
D2
4
+ y2 + Ey +
E2
4
=
D2
4
+
E2
4
− F
(x+
D
2
)2 + (y +
E
2
)2 =
D2 + E2 − 4F
4
.
Tästä ympyrän yhtälöstä nähdään, että ympyrän keskipiste on piste (−D
2
,−E
2
)
ja säde r = 1
2
√
D2 + E2 − 4F .
Jos
• D2 + E2 − 4F > 0, ympyrä on reaalinen.
• D2 + E2 − 4F < 0, ympyrä on imaginaarinen.
• D2+E2−4F = 0, säde on nolla, jolloin yhtälö esittää pistettä (−D
2
,−E
2
).
Esimerkki 17 Määritä sen ympyrän yhtälö, joka kulkee pisteiden (5, 3),
(6, 2) ja (3,−1) kautta.
Ratkaisu:
Koska ympyrän yhtälössä x2+y2+Dx+Ey+F = 0 on kolme määrittämätön-
tä kerrointa, tarvitaan kolme ehtoa näiden kerrointen selvittämiseen.Ympyrä
kulkee kolmen annetun pisteen kautta, jolloin kertoimet voidaan selvittää si-
joittamalla pisteiden koordinaatit yhtälöön ja ratkaisemalla kolmen lineaari-
sen yhtälön yhtälöryhmä
52 + 33 + 5D + 3E + F =0
62 + 22 + 6D + 2E + F =0
32 + (−1)2 + 3D − E + F =0.
Ratkaisuiksi saadaan D = −8, E = −2 ja F = 12. Sijoitetaan nyt saadut
vakioiden arvot ympyrän yhtälön yleiseen muotoon, jolloin saadaan
x2 + y2 − 8x− 2y + 12 = 0.
Vastaus: Ympyrän yhtälö on x2 + y2 − 8x− 2y + 12 = 0.
43
5.2 Suoran ja ympyrän leikkauspisteet
Seuraavaksi tarkastellaan ympyrän x2+y2+Dx+Ey+F = 0 ja suoran ax+
by+c = 0 asemaa toisiinsa nähden. Jos piste P0(x0, y0) on sekä ympyrällä että
suoralla, sen koordinaatit x0 ja y0 toteuttavat molempien yhtälöt. Toisaalta,
jos tällainen piste (x0, y0) on olemassa, se löydetään ratkaisemalla yhtälöparix2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0ax+ by + c = 0.
Yhtälöparin ratkaisujen lukumäärän ja toisaalta suoran ja ympyrän keski-
näisen aseman välillä voidaan erottaa kolme tapausta:
Kuva 28:
Tapaus 1 Tapaus 2 Tapaus 3
1. Suora leikkaa ympyrän eli suora on ympyrän sekantti. Tällöin leikkaus-
pisteitä on kaksi ja yhtälöparilla on siis kaksi ratkaisua.
2. Suora sivuaa ympyrää, jolloin leikkauspisteitä on vain yksi. Tällöin siis
yhtälöparilla on yksi ja vain yksi ratkaisu. Suora on ympyrän tangentti.
3. Suora ei leikkaa ympyrää, jolloin myöskään yhtälöparilla ei ole ratkai-
suja.
44
Esimerkki 18 Laske ympyrän x2 + y2 = 4 suorasta y = 2x + 2 erottaman
jänteen pituus.
Ratkaisu:
Selvitetään suoran ja ympyrän leikkauspisteet sijoittamalla suoran yhtälö
y = 2x+ 2 ympyrän yhtälöön x2 + y2 = 4
x2 + (2x+ 2)2 =4
5x2 + 8x =0
x(5x+ 8) =0,
josta saadaan kaksi ratkaisua, x = 0 tai x = −8
5
.
Sijoittamalla saatujen x-koordinaattien arvot suoran yhtälöön y = 2x + 2
saadaan ympyrän ja suoran leikkauspisteet, jotka ovat siis pisteet (0, 2) ja
(−8
5
,−6
5
). Jotta saataisiin tietää jänteen pituus, pitää vain selvittää, kuinka
kaukana nämä leikkauspisteet sijaitsevat toisistaan
d =
√
(−8
5
− 0)2 + (−6
5
− 2)2 =
√
64
25
+
256
25
=
√
64
5
=
8√
5
≈ 3, 6.
Vastaus: Jänteen pituus on
8√
5
≈ 3, 6.
5.3 Ympyrän tangentti
Edellä nähtiin, että suoralla ja ympyrällä voi olla yksi, kaksi tai ei yhtään
leikkauspistettä. Jos leikkauspisteitä on kaksi, leikkaava suora on ympyrä se-
kantti. Jos suora sivuaa ympyrän kehää, kyseessä on ympyrän tangentti. Tan-
gentilla ja ympyrällä on siis yksi ja vain yksi yhteinen piste. Muita tangentin
merkittäviä ominaisuuksia:
• tangentti ja sivuamispisteeseen piirretty säde ovat toisiaan vasten koh-
tisuorassa
• tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä
• ympyrän ulkopuolisen pisteen kautta voidaan ympyrälle piirtää aina
kaksi tangenttia.
45
Kuva 29:
r
Tangentti
Esimerkki 19 Määritä ympyrälle pisteestä (5, 2) piirretyn tangentin yhtälö,
kun ympyrän keskipiste on origossa ja säde on 2.
Ratkaisu:
Muodostetaan ensin ympyrän yhtälö. Sijoitetaan tunnetut keskipisteeen koor-
dinaatit (0, 0) ja säde r = 2 kaavaan
(x− x0)2 + (y − y0)2 =r2,
jolloin saadaan
(x− 0)2 + (y − 0)2 =22
x2 + y2 =4.
Lasketaan seuraavaksi pisteen (5, 2) etäisyys ympyrän keskipisteestä.
d =
√
(0− 5)2 + (0− 2)2 = √25 + 4 = √29
Koska etäisyys d =
√
29 on suurempi kuin säde r = 2, piste (5, 2) sijait-
see ympyrän ulkopuolella. Tämän pisteen kautta voidaan piirtää kyseiselle
ympyrälle kaksi tangenttia.
46
Kuva 30:
(0, 0)
(5, 2)
x
y
r
Koska tangentti on suora, sen yhtälö on muotoa
y − yo =k(x− xo)
ja koska tangentti kulkee pisteen (5, 2) kautta, saadaan yhtälö muotoon
y − 2 =k(x− 5)
kx− y − 5k + 2 =0.
Ympyrän keskipiste (0, 0) on säteen r = 2 etäisyydellä tangentista.
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
=r
|k · 0− 1 · 0− 5k + 2|√
k2 + (−1)2 =2
|−5k + 2|√
k2 + 1
=2 ‖ ( )2
25k2 − 20k + 4
k2 + 1
=4
25k2 − 20k + 4 =4k2 + 4
21k2 − 20k =0
k(21k − 20) =0,
josta saadaan kaksi ratkaisua, k = 0 tai k =
20
21
.
47
Tangentin yhtälö, kun k = 0:
y − 2 =0(x− 5)
y =2
Tangentin yhtälö, kun k =
20
21
:
y − 2 =20
21
(x− 5)
y =
20
21
x− 58
21
.
Vastaus: Tangenttien yhtälöt ovat y = 2 ja y =
20
21
x− 58
21
.
5.4 Tehtäviä
Tehtävä 21 Määritä sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on piste (5,−2)
ja joka kulkee pisteen (−1, 5) kautta.
Tehtävä 22 Laske ympyröiden x2 + y2 = 5 ja x2 + y2 + 2x + 2y − 11 = 0
leikkauspisteet.
Tehtävä 23 Ympyrän keskipiste sijaitsee suorilla y = −2x ja 2x− 3y = −4
ja lisäksi ympyrä sivuaa x-akselia. Mikä on ympyrän yhtälö?
Tehtävä 24 Todista, että suora 4x − 3y + 5 = 0 on ympyrän x2 + y2 = 1
tangentti.
Tehtävä 25 Laske ympyrän x2 + y2 − 6x− 2y − 6 = 0 ala.
48
6 Kartioleikkaukset
Olkoon piste P kiinteä piste ja olkoon l suora. Niiden pisteidenK uraa, joiden
etäisyyksien suhde pisteestä P ja annetusta suorasta l on vakio, kutsutaan
kartioleikkaukseksi. Kiinteää pistettä P kutsutaan polttopisteeksi ja annettua
suoraa l johtosuoraksi. Kartioleikkaukset jakaantuvat kolmeen osaan, jotka
eroavat toisistaan sekä muodoltaan että ominaisuuksiltaan.
Geometrisen määritelmän mukaan kartioleikkaus on ympyräpohjaisen kak-
soiskartion ja tason leikkauspinta. Kääntelemällä tasoa sopivasti saadaan
leikkauskuvioksi ellipsi, paraabeli, hyperbeli tai näiden rajatapaus. Ympy-
rä on erikoistapauksena myös kartioleikkaus, joka saadaan, kun leikkaus ta-
pahtuu kartion pohjan suuntaisesti ja leikattava kartio on suora. Kreikkalai-
nen matemaatikko Apollonius Pergeläinen tutki näitä toisen asteen käyriä jo
n.200 eKr. Häneltä ovat peräisin nimitykset ellipsi, paraabeli ja hyperbeli.
Kartioleikkausten yhtälöt ovat muuttujien x ja y toisen asteen yhtälöitä.
Yleinen tällainen yhtälö on muotoa
Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0,
missä kertoimet A, B ja C eivät ole yhtä aikaa nollia. Ellipsiä, hyperbeliä ja
paraabelia kutsutaankin toisen asteen käyriksi.
49
6.1 Paraabeli
Paraabeli määritellään niiden pisteiden uraksi, jotka ovat yhtä etäällä polt-
topisteestä ja johtosuorasta.
Kuva 31:
x
Polttopiste
Johtosuora
y
Paraabeli voidaan muodostaa ympyräkartiosta leikkaamalla tasolla kartion
sivujanan suuntaisesti. Paraabeli on akselinsa suhteen symmetrinen, kau-
niisti kaareutuva käyrä. Paraabelin akselilla sijaitsevaa pistettä sanotaan pa-
raabelin huipuksi.
Kuva 32:
Huippu
Akseli
50
Lause 6.1. Yhtälön y = ax2 + bx+ c, jossa a 6= 0, kuvaaja on paraabeli.
Määritetään seuraavaksi paraabelin huipun x-koordinaatti.
Paraabelin yhtälö on y = ax2 + bx + c, jossa a 6= 0. Samalla korkeudella
y = c olevien paraabelin pisteiden x-koordinaatit saadaan sijoittamalla y-
koordinaatti paraabelin yhtälöön
ax2 + bx+ c =c
ax2 + bx =0
x(ax+ b) =0,
josta saadaan kaksi ratkaisua x1 = 0 tai x2 = − b
a
.
Huipun x-koordinaatti x0 on pisteiden x1 ja x2 puolivälissä
x0 =
0 + (− b
a
)
2
= − b
2a
.
Lause 6.2. Paraabelin y = ax2 + bx+ c huipun x-koordinaatti
x0 = − b
2a
.
Paraabelin y = ax2+ bx+ c, jossa a 6= 0, leveys riippuu kertoimen a itseisar-
vosta - mitä suurempi |a| on, sitä kapeampi on paraabeli. Kerroin a määrää
myös paraabelin aukeamissuunnan. Paraabeli aukeaa
• ylöspäin, kun a > 0
• alaspäin, kun a < 0.
51
Kuva 33:
a > 0 a < 0
Vaihtamalla muuttujien roolit saadaan yhtälö x = ay2+by+c. Samalla vaih-
tuu myös akseleiden rooli ja yhtälö esittää oikealle tai vasemmalle avautuvaa
paraabelia. Paraabeli x = ay2 + by + c aukeaa
• oikealle, kun a > 0
• vasemmalle, kun a < 0.
Kuva 34:
a < 0 a > 0
Lause 6.3. Oikealle tai vasemmalle avautuvan paraabelin x = ay2 + by + c,
a 6= 0, huipun y-koordinaatti
y0 = − b
2a
.
52
Esimerkki 20 Paraabeli kulkee pisteiden (−1, 0), (5, 12) ja (−2, 5) kautta
ja aukeaa ylöspäin. Määritä paraabelin yhtälö ja huipun koordinaatit.
Ratkaisu:
Ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on y = ax2 + bx + c. Yhtälön toteut-
tavat vain ne pisteet, jotka ovat paraabelin käyrällä. Sijoittamalla annetut
pisteet paraabelin yhtälöön saadaan yhtälöryhmä
0 = (−1)2a− b+ c
12 = 52a+ 5b+ c
5 = (−2)2a− 2b+ c,
josta saadaan ratkaistua kertoimet a = 1, b = −2, ja c = −3.
Paraabelin yhtälö on siis y = x2 − 2x− 3.
Paraabelin huipun x-koordinaatti saadaan sijoittamalla saadut kertoimet
a = 1 ja b = −2 huipun kaavaan
x0 = − b
2a
= − −2
2 · 1 = 1
Sijoitetaan ratkaistu x0 = 1 paraabelin yhtälöön, jotta saadaan ratkaistua
huipun y-koordinaatti
y = 12 − 2 · 1− 3 = −4.
Vastaus: Paraabelin yhtälö on y = x2 − 2x − 3 ja paraabelin huippu on
pisteessä (1,−4).
6.2 Ellipsi
Niiden pisteiden ura, joiden kahdesta kiinteästä pisteestä mitattujen etäi-
syyksien summa on vakio, on ellipsi. Näitä kahta kiinteää pistettä kutsutaan
ellipsin polttopisteiksi. Polttopisteiden yhdysjanan keskipiste on ellipsin kes-
kipiste K. Ellipsi on symmetrinen sekä polttopisteiden kautta kulkevan suo-
ran suhteen sekä polttopisteiden välisen janan keskinormaalin suhteen. Ellip-
sin ja sen symmetria-akseleiden leikkauspisteitä kutsutaan ellipsin huipuiksi.
53
Ellipsi muodostuu, kun tasolla leikataan vinosti kartiota.
Kuva 35:
P
Polttopisteet
K
Olkoon polttopisteet pisteet F1(c, 0) ja F2(−c, 0) ja olkoon etäisyyksien sum-
ma vakio 2a (,a > c). Olkoon piste P (x, y)mikä tahansa piste ellipsin kehällä.
Koska ellipsin määritelmän mukaan pisteen P etäisyys polttopisteistä F1 ja
F2 on vakio, voidaan muodostaa yhtälö
F1P + F2P =2a√
(x+ c)2 + (y − 0)2 +
√
(x− c)2 + (y − 0)2 =2a√
(x+ c)2 + (y − 0)2 =2a−
√
(x− c)2 + (y − 0)2.
Korottamalla neliöön ja yhdistelemällä termejä päästään muotoon
cx− a2 =− a
√
(x− c)2 + (y − 0)2
ja korottamalla yhtälö uudelleen toiseen potenssiin ja sieventämällä edelleen
saadaan
(a2 − c2)x2 + a2y2 =a2(a2 − c2) | : a2(a2 − c2)
x2
a2
+
y2
a2 − c2 =1.
Koska a > c, a2 − c2 on positiivinen. Merkitään a2 + c2 = b2, jolloin saadaan
ellipsin yhtälö muotoon
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
54
Lause 6.4. Ellipsin yhtälö on
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
missä a 6= 0 ja b 6= 0.
Ellipsin
x2
a2
+
y2
b2
= 1 huiput ovat pisteissä (a, 0), (−a, 0), (0, b) ja (0,−b).
Ellipsin sisään jäävien symmetria-akselien puolikkaat eli janat a ja b ovat
Kuva 36:
x
y
O
b
a
−b
−a
puoliakseleita. Ellipsi piirretään suorien x = ±a ja y = ±b rajaaman suo-
rakulmion sisään. Jos a > b, ovat pääakselit 2a ja 2b nimeltään isoakseli ja
pikkuakseli. Kuvassa O on ellipsin keskipiste.
Selkeämmän kuvan muodostamiseksi verrataan ellipsiä origo-keskeiseen ja
a-säteiseen ympyrään x2 + y2 = a2. Ratkaistaan sekä ellipsin että ympyrän
yhtälöt y:n suhteen välillä −a ≤ x ≤ a:
x2
a2
+
y2
b2
= 1, josta saadaan y = ± b
a
√
a2 − x2
x2 + y2 = a2, josta saadaan y = ±√a2 − x2.
Ellipsin pisteen y-koordinaatti on siis aina
b
a
-kertainen vastaavan ympyrän
pisteen y-koordinaattiin nähden.
55
y ellipsi =
b
a
· y ympyrä
Ympyrä on siis ellipsin erikoistapaus ja ympyrään liittyvät käsitteet, kuten
jänne ja tangentti, voidaan yleistää koskemaan myös ellipsiä.
Esimerkki 21 Ellipsin polttopisteet ovat pisteet (−2, 0) ja (2, 0) ja ellip-
sin kehällä olevasta pisteestä polttopisteisiin mitattujen etäisyyksien summa
on 6. Mikä on ellipsin yhtälö?
Ratkaisu:
Myös ellipsin huipuista mitattujen etäisyyksien summa on 6, joten saadaan
kaksi ehtoa
a− (−2) + (a− 2) = 6 ja b2 + 22 = 32. Ehdoista saadaan ratkaistua a = 3 ja
Kuva 37:
33
(−2, 0) (2, 0)
b
a
x
y
b2 = 5. Sijoitetaan nämä ellipsin yhtälöön
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2
9
+
y2
5
=1.
Vastaus: Ellipsin yhtälö on
x2
9
+
y2
5
= 1.
56
6.3 Hyperbeli
Hyperbeli on kaikkien niiden pisteiden joukko, joiden kahdesta polttopis-
teestä mitattujen etäisyyksien erotus on vakio. Hyperbeli muodostuu, kun
taso leikkaa kartion korkeusjanan suuntaisesti. Polttopisteiden F1 ja F2 yh-
Kuva 38:
y
xF2 F1
P
dysjanan keskipiste on hyperbelin keskipiste. Hyperbeli koostuu kahdesta
haarasta, jotka ovat toisiinsa nähden symmetrisiä yhdysjanan F1 ja F2 kes-
kinormaalin suhteen. Polttopisteiden kautta kulkevan suoran ja hyperbelin
leikkauspisteet ovat hyperbelin huippuja.
Olkoon hyperbelin polttopisteet pisteet F1(c, 0) ja F2(−c, 0) ja olkoon pis-
te P (x, y) mikä tahansa piste hyperbeliltä. Olkoon pisteestä P polttopistei-
siin mitattujen etäisyyksien erotus vakio 2a, jossa a < c.
Hyperbelin määritelmän mukaan
F1P − PF2 =2a√
(x+ c)2 + (y − 0)2 −
√
(x− c)2 + (y − 0)2 =2a√
(x+ c)2 + (y − 0)2 =2a+
√
(x− c)2 + (y − 0)2
Korottamalla yhtälö toiseen ja sieventämällä yhtälöä saadaan
cx− a2 =a
√
(x− c)2 + y2
57
ja uudelleen korottamalla neliöön ja edelleen sieventämällä yhtälöä päästään
muotoon
(c2 − a2)x2 − a2y2 =a2(c2 − a2) | : a2(c2 − a2)
x2
a2
− y
2
c2 − a2 =1
Koska c > a, on c2 − a2 positiivinen. Merkitään nyt c2 − a2 = b2. On siis
johdettu sellaisen hyperbelin yhtälö
x2
a2
− y
2
b2
= 1, jonka keskipiste on origo
ja jonka polttopisteet ovat x-akselilla.
Hyperbelille, jonka polttopisteet ovat y-akselilla, saadaan yhtälö
x2
a2
− y
2
b2
= −1.
Hyperbelejä
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ja
x2
a2
− y
2
b2
= −1 kutsutaan toistensa liittohyperbe-
leiksi.
Lause 6.5. Hyperbelin, jonka polttopisteet sijaitsevat x-akselilla, yhtälö on
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
Koska hyperbelin yhtälö sisältää vain muuttujien x ja y parillisia potensseja,
hyperbeli on symmetrinen x-akselin, y-akselin sekä origon suhteen.
Kun johdettiin hyperbelin yhtälöä, merkittiin c2 − a2 = b2. Tästä saadaan,
että c2 = a2 + b2 ja edelleen c = ±√a2 + b2. Edelliseen nojaten voimmekin
sanoa hyperbelin polttopisteistä seuraavaa.
Lause 6.6. Hyperbelin
x2
a2
− y
2
b2
= 1 polttopisteet ovat pisteet F1(c, 0) ja
F2(−c, 0), missä c =
√
a2 + b2.
Ratkaistaan hyperbelin yhtälö y:n suhteen
x2
a2
− y
2
b2
=1
y2 =
x2b2
a2
− b2 ‖√
y =± b
a
√
x2 − a2.
58
Tarkastellaan seuraavaksi hyperbeliä ensimmäisessä neljänneksessä, jolloin
x ≥ a ja y ≥ 0. Symmetrian perusteella samalla selviää hyperbelin kulku
myös muissa neljänneksissä.
Nyt voidaan kirjoittaa
y =
b
a
√
x2 − a2 < b
a
√
x2 =
b
a
x.
Hyperbeli kulkee siis suoran y =
b
a
x alapuolella. Kun x on suuri lukuun a
verrattuna, saadaan
b
a
√
x2 − a2 ≈ b
a
x.
Suurilla x:n arvoilla hyperbeli siis lähestyy suoraa y =
b
a
x, mutta ei kuiten-
kaan koskaan saavuta sitä. Suoraa y =
b
a
x kutsutaan hyperbelin asymptoo-
tiksi.
Lause 6.7. Hyperbelillä on asymptootit y = ± b
a
x, joiden välissä hyperbeli
kulkee. Kun x kasvaa tai pienenee, hyperbeli lähestyy asymptoottejaan.
Kuva 39:
x
y
a ab
b
y = −
b
a
x
y =
b
a
x
Kuvassa a ja b ovat hyperbelin puoliakseleita, akselia 2a kutsutaan poikit-
taisakseliksi ja akselia 2b liittoakseliksi.
59
Esimerkki 22 Hyperbelin polttopisteet ovat pisteet (±5, 0) ja liittoakseli
on 6. Määritä kyseisen hyperbelin yhtälö.
Ratkaisu:
Liittoakseli 2b = 6, josta voidaan ratkaista b = 3. Tiedetään, että c = 5 ja
että c2 − a2 = b2. Ratkaistaan a:
a2 = c2 − b2 = 52 − 32 = 16
Sijoitetaan saadut arvot hyperbelin yhtälöön
x2
a2
− y
2
b2
=1
x2
16
− y
2
9
=1
Vastaus: Hyperbelin yhtälö on
x2
16
− y
2
9
= 1.
6.4 Tehtäviä
Tehtävä 26 Määritä laskemalla paraabelin y = x2− 4 ja suoran y = −x+3
leikkauspiste.
Tehtävä 27Määritä sen paraabelin yhtälö, jonka huippu on pisteessä (−1, 2)
ja joka kulkee pisteen (0, 1) kautta. Mikä on paraabelin aukeamissuunta?
Tehtävä 28 Laske ympyrän x2 + y2 − 2y − 1 = 0 ja paraabelin y = 2x2
leikkauspisteet.
Tehtävä 29 Origokeskeisen ellipsin x-akselilla ja y-akselilla olevien puoliak-
seleiden pituudet ovat 3 ja 4. Määritä tämän ellipsin yhtälö.
60
Tehtävä 30 Piste (x, y) liikkuu niin, että sen etäisyys pisteestä (4, 0) on puo-
let sen etäisyydestä suoraan x− 16 = 0. Määritä pisteen (x, y) uran yhtälö.
Mikä käyrä on kyseessä?
Tehtävä 31 Määritä hyperbelin 3x2 − 9y2 = 27
a) polttopisteet ja
b) asymptootit.
Tehtävä 32 Suora x − 2y = 4 leikkaa hyperbeliä x2 − y2 = 16. Mikä on
hyperbelin suorasta erottaman janan pituus?
61
7 Tehtävien ratkaisut
7.1 Koordinaatisto
Tehtävä 1
a) Tason x-koordinaatti voi saada mitä tahansa arvoja, mutta y 6= 0. Koska
y = 0 vain x-akselilla, ratkaisualueena on kaikki muut tason pisteet, mutta
ei x-akselilla olevat pisteet.
b) Tason y-koordinaatti voi saada mitä tahansa arvoja, mutta x-koordinaatti
vain arvoja ≥ 1. Ratkaisujoukkona on siis suora x = 1 sekä sen oikealla puo-
lella oleva alue.
c) Nyt molempien koordinaattien ehdon on oltava samanaikaisesti voimassa.
Ehto x = 0 toteutuu y-akselilla ja ehto y = 0 x-akselilla. Molemmat ehdot
ovat yhtäaikaisesti voimassa vain yhdessä pisteessä, origossa.
Tehtävä 2
Koska tarkoituksena on harjoitella koordinaatiston käyttöä, veneen sijainnin
xy-koordinaatit voidaan selvittää suoraan kuvasta katsomalla. On kuitenkin
syytä muistaa, että kuvasta tulkitut vastaukset ovat vain likiarvoja.
Tehtävä voidaan ratkaista myös laskemalla.
y
x
y
100
100
Vene x
62
Koordinaatit voidaan ratkaista käyttämällä Pythagoraan lausetta:
x2 + y2 =3502.
Koska vene sijaitsee majakasta (origosta) suoraan luoteeseen, vene on yhtä
kaukana molemmista koordinaattiakseleista eli x = y:
x2 + x2 =3502
2x2 =122500 ‖ : 2
x2 =61250 ‖√
x ≈± 247.
Koska vene sijaitsee koordinaatiston kolmannessa neljänneksessä, x-koordi-
naatti on negatiivinen ja y-koordinaatti positiivinen. Veneen sijainnin koor-
dinaatit saadaan, kun otetaan huomioon, että ruutuväli on 100.
x = −247
100
≈ −2, 5
y =
247
100
≈ 2, 5.
Vene sijaitsee siis pisteessä (−2, 5; 2, 5).
Vastaus: (−2, 5; 2, 5).
63
7.2 Jana
Tehtävä 3
a) Pisteen (−3,−4) etäisyys origosta on
√
(−3− 0)2 + (−4− 0)2 =√(−3)2 + (−4)2 = √25 = 5.
Vastaus: 5.
b) Pisteen (x, y) etäisyys origosta on
√
(x− 0)2 + (y − 0)2 =√x2 + y2.
Vastaus:
√
x2 + y2.
Tehtävä 4
Kolmio ABC on tasakylkinen, jos sen kaksi sivua ovat yhtä pitkät. Lasketaan
siis janojen AB, BC ja CD pituudet.
|AB| =√(4 + 3)2 + (0 + 4)2 = √72 + 42 = √65,
|BC| =√(1− 4)2 + (3− 0)2 =√(−3)2 + 32 = √18 = 3√2,
|CA| =√(−3− 1)2 + (−4− 3)2 =√(−4)2 + (−7)2 = √65,
Sivut AB ja CA ovat yhtä pitkät, jolloin kolmio ABC on tasakylkinen.
Tehtävä 5
Lasketaan ensin tehtävässä annetun janan PQ keskipisteen K koordinaatit
(xk, yk) :
xk =
−4 + 6
2
=
2
2
= 1 ja yk =
5− 1
2
=
4
2
= 2.
Keskipisteen K koordinaatit ovat siis (1, 2). Nyt voidaan laskea keskipisteen
K etäisyys pisteestä R(−5,−2).
64
|KR| =√(−5− 1)2 + (−2− 2)2 =√(−6)2 + (−4)2 = √52 ≈ 7, 2.
Vastaus: Pisteiden K ja R välinen etäisyys on noin 7,2.
Tehtävä 6
Määritetään ensin pisteen B x-koordinaatti:
x0 =
x1 + x2
2
2x0 =x1 + x2
x2 =2x0 − x1.
Sijoitetaan keskipisteen ja pisteen A x-koordinaatit, jolloin saadaan pisteen
B x-koordinaatti:
x2 = 2 · (−1, 4)− (−5) = (−2, 8) + 5 = 2, 2.
Samoin voidaan laskea pisteen B y-koordinaatti sijoittamalla tunnetut y-
koordinaatit yhtälöön y2 = 2y0 − y1:
y2 = 2 · (0, 9)− 4 = 1, 8− 4 = −2, 2.
Vastaus: Pisteen B koordinaatit ovat (2, 2;−2, 2).
7.3 Suora
Tehtävä 7
a) k =
0− 1
5− 7 =
−1
−2 =
1
2
Koska k > 0, suora on nouseva.
b) x-akselin koordinaatit ovat samat, jolloin suora on y-akselin suuntainen.
Kulmakerrointa ei ole määritelty.
65
c) k =
−1− (−1)
−3− 0 =
0
−3 = 0
Kulmakerroin k = 0, jolloin suora on x-akselin suuntainen.
d) k =
−5− 4
1− (−2) =
−9
3
= −3
Koska k < 0, suora on laskeva.
Tehtävä 8
Pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla, jos suoran AB kulmakerroin on yhtä
suuri kuin suoran AC kulmakerroin.
Suoran AB kulmakerroin:
k =
2− 4
3 + 3
=
−2
6
= −1
3
.
Suoran AC kulmakerroin:
k =
1− 4
6 + 3
=
−3
9
= −1
3
.
Koska suoran AB kulmakerroin on sama kuin suoran AC kulmakerroin, an-
netut kolme pistettä sijaitsevat samalla suoralla.
Tehtävä 9
Sivun AB keskipisteen koordinaatit:
x1 =
5 + 1
2
= 3 y1 =
7 + (−3)
2
=
4
2
= 2
Sivun BC keskipisteen koordinaatit:
x2 =
1 + (−5)
2
=
−4
2
= −2 y2 = −3 + 1)
2
=
−2
2
= −1
Keskipisteiden koordinaatit ovat siis (3, 2) ja (−2,−1).
66
Seuraavaksi lasketaan sivujen AB ja BC keskipisteiden kautta kulkevan suo-
ran kulmakerroin:
k1 =
−1− 2
−2− 3 =
3
5
.
Pisteiden A ja C kautta kulkevan suoran kulmakerroin:
k2 =
1− 7
−5− 5 =
−6
−10 =
3
5
.
Koska kulmakertoimet ovat samat ja kyseiset suorat eivat ole sama suora,
suorat ovat yhdensuuntaiset.
Tehtävä 10
a) Saatetaan annettu yhtälö 3x+ 2y = 7 ratkaistuun muotoon y = kx+ b:
3x+ 2y =7
2y =− 3x+ 7 ‖ : 2
y =− 3
2
x+
7
2
.
Suoran yhtälön ratkaistusta muodosta nähdään, että kulmakerroin k = −3
2
.
b) Suoran yhtälön ratkaistusta muodosta nähdään, että suora leikkaa y-
akselin pisteessä (0, 7
2
).
Tehtävä 11
Koska kulmakerroin k voidaan määritellä suuntakulman α avulla k = tanα,
lasketaan kysytyn suoran kulmakerroin sijoittamalla suuntakulma α = 60 ◦
edellä esitettyyn kulmakertoimen yhtälöön:
k = tan 60 ◦ =
√
3.
Kysytyn suoran yhtälö saadaan sijoittamalla piste (2,−3) ja kulmakerroin
k =
√
3 suoran yhtälöön y − y0 = k(x− xo):
y − (−3) =
√
3(x− 2)
y + 3 =
√
3(x− 2).
67
Saatetaan suoran yhtälö vielä ratkaistuun muotoon:
y + 3 =
√
3x− 2
√
3
y =
√
3x− 2
√
3− 3
y =
√
3x− (2
√
3 + 3).
Vastaus: Suoran yhtälö on y =
√
3x− (2√3 + 3).
Tehtävä 12
Saatetaan molempien suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon:
2ax+ 2y + 10 =0
2y =− 2ax− 10 ‖ : 2
y =− ax− 5
(a+ 3)x− 2y − 1 =0
−2y =− (a+ 3)x+ 1 ‖ : (−2)
y =
a+ 3
2
x− 1
2
.
Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret:
−a =a+ 3
2
‖ · 2
−2a =a+ 3
−3a =3 ‖ : (−3)
a =− 1.
Vastaus: suorat ovat yhdensuuntaiset, kun a = −1.
Tehtävä 13
Lasketaan ensin suorien x+y−3 = 0 ja −3x+y−8 = 0 leikkauspiste. Tämä
voidaan tehdä eliminointimenetelmällä tai saattamalla ensimmäinen yhtälö
68
muotoon y = −x+ 3 ja sijoittamalla tämä toiseen yhtälöön:
−3x− x+ 3− 8 =0
−4x− 5 =0
x =− 5
4
.
Sijoitetaan x = −5
4
ensimmäiseen yhtälöön:
−5
4
+ y − 3 =0
−17
4
+ y =0
y =
17
4
.
Suorat leíkkaavat siis pisteessä C = (−5
4
,
17
4
).
A
B
x
1
1
y
C
Suorien x + y − 3 = 0, −3x + y − 8 = 0 ja x-akselin rajaaman kolmion
69
kannaksi valitaan kyseisten suorien x-akselista rajaama jana. Suorien ja x-
akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti saa arvon 0, joten sijoitetaan y = 0
suorien yhtälöihin:
x+ 0− 3 =0
x =3
ja
−3x+ 0− 8 =0
−3x =8 ‖ : (−3)
x =− 8
3
.
Suorat leikkaavat x-akselin siis pisteissä (3, 0) ja (−8
3
, 0). Nyt voidaan laskea
kolmion ABC kannan AB pituus:∣∣∣∣−83 − 3
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−173
∣∣∣∣ = 173 .
Kolmion korkeus on sama kuin leikkauspisteen C etäisyys x-akselista eli leik-
kauspisteen C y-koordinaatin itseisarvo:∣∣∣∣174
∣∣∣∣ = 174 .
Nyt voidaan laskea annettujen suorien ja x-akselin rajoittaman kolmion ABC
pinta-ala:
A =
1
2
· 17
3
· 17
4
=
289
24
= 12
1
24
.
Vastaus: Suorat leikkaavat pisteessä C = (−5
4
,
17
4
) ja niiden ja x-akselin
rajoittaman kolmion pinta-ala on 12
1
24
.
70
Tehtävä 14
Suoran yhtälö on muotoa y = −3
4
x + b, kun kulmakerroin k = −3
4
ja suora
leikkaa y-akselin pisteessä (0, b).
Kolmion korkeus on suoran ja y-akselin leikkauspisteen etäisyys x-akselista.
Kun x = 0, y = b.
Kolmion kanta on vastaavasti suoran ja x-akselin leikkauspisteen etäisyys y-
akselista:
Kun y = 0, x =
4
3
b
Koska kolmion ala on 24 pinta-alayksikköä
A =
1
2
· b · 4
3
b =
2
3
b2 = 24,
voidaan tästä ratkaista b:
2
3
b2 =24
b2 =36 ‖√
b =± 6
Täten suorien yhtälöt ovat y = −3
4
± 6
Vastaus: Suorien yhtälöt ovat y = −3
4
± 6.
Tehtävä 15
Leikkauspisteessä x- ja y-koordinaattien on oltava samat. Määritetään ensin
kahden ensimmäisen suoran 2x + 3y − 1 = 0 ja y = −x + a leikkauspiste
käyttämällä sijoitusmenetelmää:
71
2x+ 3(−x+ a)− 1 =0
2x− 3x+ 3a− 1 =0
−x =1− 3a
x =3a− 1.
Sijoitetaan saatu x = 3a− 1 toiseen yhtälöön:
y =− (3a− 1) + a
y =− 2a+ 1.
Suorat 2x+ 3y− 1 = 0 ja y = −x+ a leikkaavat pisteessä (3a− 1,−2a+ 1).
Jotta kaikki kolme suoraa leikkaavat samassa pisteessä, on leikkauspisteen
koordinaattien toteutettava myös suoran ax− y + 7a+ 5 = 0 yhtälö:
a(3a− 1)− (−2a+ 1) + 7a+ 5 =0
3a2 − a+ 2a− 1 + 7a+ 5 =0
3a2 + 8a+ 4 =0,
josta toisen asteen ratkaisukaavalla
a =
−8±√82 − 4 · 3 · 4
2 · 3
a =
−8±√16
6
a =
−8± 4
6
saadaan kaksi ratkaisua, a = −2 tai a = −2
3
.
Sijoittamalla saadut a:n arvot yhtälöihin x = 3a− 1 ja y = −2a+1 saadaan
kaksi eri leikkauspistettä.
Kun a = −2, leikkauspiste on (−7, 5).
72
Kun a = −2
3
, leikkauspiste on (−3, 21
3
).
Vastaus: a = −2 tai a = −2
3
. Vastaavat suorien leikkauspisteet ovat (−7, 5)
ja (−3, 21
3
).
Tehtävä 16
Jotta voitaisiin määrittää kolmion kulmien suuruudet, pitää ensin selvittää
suorien AB, BC ja CA kulmakertoimet.
Suora AB: k1 =
−5− 4
−2− (−5) =
−9
3
= −3
Suora BC: k2 =
−2− (−5)
6− (−2) =
3
8
Suora AC: k3 =
4− (−2)
−5− 6 = −
6
11
.
Nyt voidaan laskea kolmion kulmien suuruudet sijoittamalla saadut kulma-
kertoimet kahden suoran välisen kulman yhtälöön:
^ABC:
tanα =
∣∣∣∣ −3− 381 + (−3) · 3
8
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−278−1
8
∣∣∣∣ = 27,
josta
tanα =27
α ≈ 88 ◦.
^BCA:
tanα =
∣∣∣∣ 38 − (− 611)1 + 3
8
· (− 6
11
)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 818835
44
∣∣∣∣ = 8170 ,
73
josta
tanα =
81
70
α ≈ 49 ◦.
^CAB:
tanα =
∣∣∣∣ − 611 − (−3)1 + (− 6
11
· (−3)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 271129
11
∣∣∣∣ = 2729 ,
josta
tanα =
27
29
α ≈ 43 ◦.
Vastaus: Kolmion ABC kulmien suuruudet ovat 88 ◦, 49 ◦ ja 43 ◦.
Tehtävä 17
a) Suora y = −8 on x-akselin suuntainen ja suora x − 6 = 0 on y-akselin
suuntainen, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.
b) Selvitetään suorien x− 2y − 6 = 0 ja x+ y
2
− 1 = 0 kulmakertoimet.
Ensimmäisen suoran yhtälö ratkaistussa muodossa
x− 2y − 6 =0
−2y =x− 6 ‖ : (−2)
y =
1
2
− 3.
Toisen suoran yhtälö ratkaistussa muodossa
x+
y
2
− 1 =0
y
2
=− x+ 1 ‖ · 2
y =− 2x+ 2.
74
Suorien yhtälöiden ratkaistuista muodoista nähdään, että kulmakertoimet
ovat k1 =
1
2
ja k2 = −2. Suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, koska
niiden tulo on −1:
1
2
· −2 = −1. ¤
Tehtävä 18
Saatetaan ensin yhtälö 2px− 4y + 8 = 0 ratkaistuun muotoon:
2px− 4y + 8 =0
−4y =− 2px− 8 ‖ : (−4)
y =
p
2
x+ 2.
Myös yhtälö x+ 2y + py = 0 saatetaan ratkaistuun muotoon:
x+ 2y + py =0
(2 + p)y =− x ‖ : (2 + p)
y =− 1
2 + p
x.
Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun suorien kulmakertoimien
p
2
ja − 1
2 + p
tulo on −1:
− 1
2 + p
· p
2
=− 1
− p
4 + 2p
=− 1 ‖ · (4 + 2p)
−p =− 4− 2p
p =− 4.
Vastaus: Annetut suorat ovat toisiaan vasten kohtisuorassa, kun vakio
p = −4.
75
Tehtävä 19
Sijoitetaan pisteen koordinaatit x0 = −2, y0 = −3 sekä suoran yhtälön ker-
toimet a = 8, b = 15 ja c = −24 pisteen etäisyyden kaavaan:
d =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
=
|8 · (−2) + 15 · (−3) + (−24)|√
82 + 152
=
|−85|√
289
=
85
17
= 5.
Vastaus: Etäisyys on 5.
Tehtävä 20
Olkoon P (x, y) mielivaltainen piste suoralta, joka on yhdensuuntainen suo-
ran 12x − 5y − 15 = 0 kanssa ja jonka etäisyys kyseisestä suorasta on 4.
Sijoitetaan pisteen P koordinaatit sekä suoran 12x− 5y − 15 = 0 kertoimet
pisteen etäisyyden kaavaan
d =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
=
|12x− 5y − 15|√
122 + (−5)2 .
Koska vaaadittu etäisyys on 4, saadaan muodostettua yhtälö:
|12x− 5y − 15|√
122 + (−5)2 =4
|12x− 5y − 15|
13
=4 ‖ · 13
|12x− 5y − 15| =52
Poistetaan itseisarvomerkit
12x− 5y − 15 =± 52
Ratkaistaan nämä yhtälöt:
12x− 5y − 15 = 52, josta 12x− 5y − 67 = 0.
12x− 5y − 15 = −52, josta 12x− 5y + 37 = 0.
Vastaus: Suorien yhtälöt ovat 12x− 5y − 67 = 0 ja 12x− 5y + 37 = 0.
76
7.4 Ympyrä
Tehtävä 21
Selvitetään ensin säde laskemalla keskipisteen etäisyys kehällä olevasta pis-
teestä
r =
√
(5 + 1)2 + (−2− 5)2 = √36 + 49 =
√
85,
jonka jälkeen sijoitetaan ympyrän keskipisteen koordinaatit ja saatu säde
ympyrän keskipistemuotoiseen yhtälöön (x− 1)2 + (y − 3)2 = 85.
Vastaus: Suoran yhtälö on (x− 5)2 + (y + 2)2 = 85.
Tehtävä 22
Muodostetaan ympyrän yhtälöistä yhtälöparix2 + y2 + 2x+ 2y − 11 = 0x2 + y2 = 5.
Vähennetään yhtälöt puolittain, jolloin saadaan yhtälö 2x+2y− 11 = −5 ja
edelleen y = −x+ 3.
Sijoitetaan saatu yhtälö y = −x+ 3 yhtälöparin alempaan yhtälöön
x2 + (−x+ 3)2 =5
x2 + x2 − 6x+ 9− 5 =0
2x2 − 6x+ 4 =0,
josta saadaan toisen asteen ratkaisukaavalla kaksi ratkaisua, x = 1 ja x = 2.
Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti, kun x = 1:
y = −1 + 3 = 2
Leikkauspiste on siis piste (1, 2).
Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti, kun x = 2:
y = −2 + 3 = 1
Leikkauspiste on siis piste (2, 1).
Vastaus: Leikkauspisteet ovat pisteet (1, 2) ja (2, 1).
77
Tehtävä 23
Ympyrän keskipiste sijaitsee suorien y = −2x ja 2x − 3y = −4 leikkauspis-
teessä. Sijoitetaan ensimmäinen yhtälö toiseen yhtälöön:
2x− 3(−2x) =− 4
8x =− 4
x =− 1
2
.
Sijoitetaan saatu x = −1
2
yhtälöön y = −2x, jolloin saadaan y = 1.
Ympyrän keskipiste on siis piste (−1
2
, 1).
y-koordinatti ilmoittaa pisteen etäisyyden x-akselista ja koska ympyrä sivuaa
x-akselia, säde r = 1. Nyt voidaan muodostaa kysytyn ympyrän yhtälö sijoit-
tamalla ympyrän keskipisteen koordinaatit (−1
2
, 1) sekä säde r = 1 ympyrän
keskipistemuotoiseen yhtälöön
(x− x0)2 + (y − y0)2 =r2
(x+
1
2
)2 + (y − 1)2 =1.
Vastaus: Ympyrän yhtälö on (x+ 1
2
)2 + (y − 1)2 = 1.
Tehtävä 24
Jos suora 4x − 3y + 5 = 0 on ympyrän x2 + y2 = 1 tangentti, niillä on yksi
ja vain yksi yhteinen piste. Ratkaistaan yhtälöpari
4x− 3y + 5 = 0x2 + y2 = 1.
78
Kun johdetaan ylempi yhtälö muotoon y =
4
3
x− 5
3
ja sijoitetaan se alempaan
yhtälöön, saadaan
x2 + (
4
3
x− 5
3
)2 =1
x2 +
16
9
x2 +
40
9
x+
25
9
=1 ‖ · 9
25x2 + 40x+ 16 =0.
Käyttämällä toisen asteen ratkaisukaavaa saadaan x = −4
5
. Sijoitetaan tämä
suoran yhtälöön 4x− 3y + 5 = 0:
4(−4
5
)− 3y + 5 =0
−16
5
− 3y + 5 =0 ‖ · 5
−16− 15y + 25 =0
y =
3
5
.
Suora 4x − 3y + 5 = 0 ja ympyrä x2 + y2 = 1 leikkaavat siis ainoastaan
yhdessä pisteessä, joten suora on ympyrän tangentti. Leikkauspiste on piste
(−4
5
,
3
5
).
Tehtävä 25
Ympyrän ala lasketaan kaavalla Ay = pir2.
Ympyrän säde saadaan ratkaistua muuttamalla ympyrän yhtälö
x2 + y2 − 6x− 2y − 6 =0
keskipiste muotoon neliöksi täydentämällä
x2 − 6x+9+ y2 − 2y+1 =6+9+1
(x− 3)2 + (y − 1)2 =16.
Tästä yhtälösta nähdään, että ympyrä säde on
√
16 = 4.
79
Sijoitetaan ratkaistu säde ympyrän alan kaavaan:
Ap = pir
2 = pi42 ≈ 50, 3.
Vastaus: Ympyrän ala on noin 50, 3.
7.5 Kartioleikkaukset
Tehtävä 26
Leikkauspisteen koordinaatit toteuttavat sekä suoran että paraabelin yhtälöt.
Ratkaistaan siis yhtälöpari y = x2 − 4y = −x+ 3
sijoittamalla suoran yhtälö ympyrän yhtälöön
−x+ 3 =x2 − 4
x2 + x− 7 =0.
Toisen asteen ratkaisukaavalla saadaan kaksi ratkaisua, x =
−1±√29
2
.
Sijoitetaan leikkauspisteiden x-koordinaatit suoran yhtälöön
y = −x+ 3 = −(−1±
√
29
2
) + 3 =
7∓√29
2
.
Vastaus: Suora ja paraabeli leikkaavat pisteissä (
−1 +√29
2
,
7−√29
2
) ja
(
−1−√29
2
,
7 +
√
29
2
).
Tehtävä 27
Pisteen (0, 1) koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön y = ax2 + bx + c,
joten sijoitetaan pisteen koordinaatit paraabelin yhtälöön
y =ax2 + bx+ c
1 =0a+ 0b+ c
c =− 1.
80
Huipun x-koordinaatti saadaan laskettua kaavasta x0 = − b
2a
, joten sijoite-
taan siihen huipun x-koordinaatti x0 = −1:
−1 = − b
2a
, josta saadaan b = 2a.
Myös huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön y = ax2 + bx+ c:
2 =(−1)2a− 1b+ c,
johon sijoitetaan saadut c = −1 ja b = 2a
2 =a− 2a− 1
a =− 3.
Nyt saadaan myös ratkaistua b = 2a = 2 · (−3) = −6.
Paraabelin yhtälö on siis y = −3x2−6x−1 ja se aukeaa alaspäin, sillä a < 0.
Vastaus: Paraabelin yhtälö on y = −3x2 − 6x− 1 ja se aukeaa alaspäin.
Tehtävä 28
Ympyrän ja paraabelin leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molem-
mat yhtälöt. Sijoitetaan siis paraabelin yhtälö y = 2x2 ympyrän yhtälöön
x2 + y2 − 2y − 1 = 0:
x2 + (2x2)2 − 2 · 2x2 − 1 =0
4x4 − 3x2 − 1 =0.
Sijoitetaan u = x2 yhtälöön ja ratkaistaan saatu toisen asteen yhtälö
4u2 − 3u− 1 =0.
Toisen asteen ratkaisukaavalla saadaan kaksi ratkaisua, u = 1 ja u = −1
4
.
Palataan takaisin muuttujaan x. Sijoitetaan u = 1 muunnosyhtälöön:
u =x2
x2 =1 ‖√
x =± 1.
81
Sijoitetaan u = −1
4
muunnosyhtälöön:
u =x2
x2 =− 1
4
.
Koska yhtälöllä x2 = −1
4
ei ole reaalisia ratkaisuja, paraabelin ja ympyrän
leikkauspisteiden x-koordinaatit ovat x = ±1. Leikkauspisteiden y-koordinaa-
tit saadaan sijoittamalla x-koordinaatit paraabelin yhtälöön y = 2x2. Kos-
ka paraabelin yhtälössä x on korotettu toiseen potenssiin, on molemmilla
leikkauspisteillä sama y-koordinaatti y = 2. Leikkauspisteet ovat siis pisteet
(1, 2) ja (−1, 2).
Vastaus: Ympyrän ja paraabelin leikkauspisteet ovat pisteet (1, 2) ja (−1, 2).
Tehtävä 29
Ellipsin yhtälö on
x2
a2
+
y2
b2
=1,
jossa a ja b ovat puoliakselien pituudet. Sijoitetaan siis ellipsin yhtälöön a = 3
ja b = 4
x2
32
+
y2
42
=1
x2
9
+
y2
16
=1.
Vastaus: Ellipsin yhtälö on
x2
9
+
y2
16
= 1.
Tehtävä 30
Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (4, 0) on
√
(x− 4)2 + (y − 0)2 =√(x− 4)2 + y2.
82
Pisteen (x, y) etäisyys suorasta x− 16 = 0 saadaan laskettua kaavalla
d =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
.
Sijoitetaan tunnetut arvot yhtälöön, jolloin saadaan
d =
|1x+ 0y − 16|√
12 + 02
d = |x− 16| .
Koska etäisyys ei voi olla negatiivinen, voidaan saadusta etäisyyden yhtälös-
tä poistaa itseisarvomerkit.
Koska pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (4, 0) on puolet sen etäisyydestä suo-
raan x− 16 = 0, voidaan kirjoittaa yhtälö√
(x− 4)2 + y2 =1
2
(x− 16) ‖ ( )2
x2 − 8x+ 16 + y2 =x
2 − 32x+ 256
4
.
Sieventämällä saadaan yhtälö muotoon
3x2 + 4y2 =192,
joka voidaan myös esittää muodossa
x2
64
+
y2
48
=1.
Vastaus: Yhtälö on
x2
64
+
y2
48
= 1 eli kyseessä on ellipsin yhtälö.
Tehtävä 31
Saatetaan hyperbelin yhtälö 3x2 − 9y2 = 27 muotoon x
2
9
− y
2
3
= 1.
a) Lauseen 6.6 mukaan hyperbelin polttopisteet ovat pisteet F1(c, 0) ja F2(−c, 0),
missä c =
√
a2 + b2.
Hyperbelin yhtälöstä nähdään, että a2 = 9 ja b2 = 3.
Tällöin c =
√
9 + 3 =
√
12 = 2
√
3, jolloin polttopisteet ovat F1(2
√
3, 0) ja
83
F2(−2
√
3, 0).
b) Koska a2 = 9, a = ±3 ja koska b2 = 3, b = ±√3, hyperbelin asymp-
tootit ovat y = ± b
a
x = ±
√
3
3
.
Vastaus: Hyperbelin polttopisteet ovat pisteet (2
√
3, 0) ja (−2√3, 0) ja asymp-
tootit ovat suorat y = ±
√
3
3
.
Tehtävä 32
Lasketaan suoran ja hyperbelin leikkauspisteet sijoittamalla suoran yhtälö
x = 2y + 4 hyperbelin yhtälöön x2 − y2 = 16
(2y + 4)2 − y2 =16
4y2 + 16y + 16− y2 =16
3y2 + 16y =0
y(3y + 16) =0,
josta saadaan kaksi ratkaisua, y = 0 ja y = −16
3
. Sijoitetaan saadut y:n ar-
vot suoran yhtälöön.
Kun y = 0, x = 4.
Kun y = −16
3
, x = −20
3
.
Seuraavaksi lasketaan näiden leikkauspisteiden välinen etäisyys
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
=
√
(−20
3
− 4)2 + (−16
3
− 0)2
=
√
1024
9
+
256
9
=
16
√
5
3
.
Vastaus: Janan pituus on
16
√
5
3
.
84
8 Lähdeluettelo
Hautajärvi T., Ottelin J., Wallin-Jaakkola L.: Laudatur 4 - Analyyttinen geo-
metria. Otava, Helsinki, 2005.
Jäppinen P., Kupiainen A. ja Räsänen M.: Calculus 2 - Analyyttinen geo-
metria. Otava, Helsinki, 2001.
Kangasaho J., Mäkinen J., Oikkonen J., Paasonen J., Salmela M.: Analyyt-
tinen geometria - pitkä matematiikka. WSOY, Porvoo, 1995.
Kindle J.:Schaum‘s Outline of Theory and Problems of Plain and Solid Ana-
lytic Geometry. Schaum Publishing Co., New York, 1950.
Lahti U. ja Laine Y.: Alfa, Lukion laajanmatematiikan kurssit 1-4.Otava,
Helsinki, 1987.
Tarnanen H.: Matematiikan historia. Matematiikan laitos, Turun yliopisto.
Väisälä K.: Geometria. WSOY, Porvoo, 1968.
Internet lähteet:
Opetushallitus: http://www.oph.fi/etalukio/opiskelumodulit/pimatem
/paavalikko/pmku4/pmku4_1.html. 16.1.2008
85