Gammafunktiota etsimässä 
LuK Omar Mayani 
LuK-tutkielma 
Kesäkuu 2024 
Tarkastajat: 
Prof. Jyrki Lahtonen 
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
 Turun yliopiston laatujärjestelmän mukaisesti tämän julkaisun alkuperäisyys on 
tarkastettu Turnitin OriginalityCheck-järjestelmällä
 TURUN YLIOPISTO 
Matematiikan ja tilastotieteen laitos 
Omar Mayani : Gammafunktiota etsimässä 
LuK-tutkielma, 18 s., 3 liites. 
Matematiikka 
Kesäkuu 2024
Gammafunktiota sovelletaan useissa matematiikan osa-aloissa. Esimerkiksi Tu- 
run yliopistossa funktiota käytetään kursseissa analyyttinen lukuteoria ja toden- 
näköisyyslaskennan jatkokurssi. Tässä tutkielmassa perehdytään funktioon syväl- 
lisemmin. 
Tutkielman tarkoitus on luoda luontainen polku gammafunktion konstruoinnille 
ja osoittaa joitain funktion käytetyimpiä ominaisuuksia. Tutkielmassa esiintyvän 
gammafunktion määritelmän löysi saksalaismatemaatikko Karl Weierstrass. Lu- 
vussa kolme esitetään määritelmään läheisesti yhdistetty Weierstrassin tekijäha- 
jotelmalause, joka on algebran peruslauseen yleistys ja merkittävä tulos itsessään. 
Viimeisessä luvussa todistetaan Stirlingin arvio ja tämän avulla näytetään, että 
Weierstrassin määritelmä gammafunktiolle on yhdenpitävä yleisemmän Leonhard 
Eulerin kehittämän määritelmän kanssa. 
Asiasanat: funktioteoria, gammafunktio, kanoniset tulot, stirlingin arvio
 MERKINTÄTAVOISTA 
Tässä tutkielmassa käytetään seuraavia merkintöjä:
N = { 1 , 2 , 3 , . . . } luonnollisten lukujen joukko 
n ∈ N luonnollinen luku 
Z kokonaislukujen joukko 
R reaalilukujen joukko 
C kompleksilukujen joukko 
z = x + iy kompleksinen muuttuja, missä 
z ∈ C , Re z = x ∈ R ja Im z = y ∈ R 
ζ = ξ + iη kompleksinen muuttuja, missä 
ζ ∈ C , Re ζ = ξ ∈ R ja Im ζ = η ∈ R 
arg z kompleksiluvun z argumentti 
Arg z kompleksiluvun z argumentin päähaara 
log z = ln | z | + i arg z kompleksinen logaritmi 
Log z = ln | z | + i Arg z kompleksisen logaritmin päähaara 
f ( z ) ≪ g ( z ) f on asymptoottisesti pienempi tai yhtäsuuri kuin g
Olkoon ( an)n ∈ N kompleksinen lukujono siis an ∈ C , ∀ n ∈ N . Sanotaan, että 
limn →∞ an = ∞ , kun limn →∞ | an | = ∞ . 
iv
 Sisällys 
1 Johdanto 1 
2 Äärettömät tulot 1 
3 Kanoniset tulot 3 
4 Gammafunktio 7 
5 Stirlingin arvio 10 
6 Yhteenveto 18 
7 Aputuloksia 19
 1 Johdanto 
Tutkielman keskeisin tavoite on luoda luontaiselta tuntuva polku gammafunktion 
konstruktiolle. Gammafunktio on laajasti tunnettu ja käytetty funktio, jolla on 
sovelluksia statistiikassa, fysiikassa ja erityisesti analyyttisessa lukuteoriassa. Alku- 
lukujen jakaumaan yhdistetyn Riemannin zeeta-funktion perustavanlaatuinen omi- 
naisuus on sen gammafunktiolla saavutettu analyyttinen laajennus. 
Gammafunktion tunnetuin ominaisuus on, että positiivisella kokonaislukusyöt- 
teellä funktio tuottaa saman arvon kuin kertomafunktio syötteellä, joka on tarkalleen 
yhden suurempi. Se voidaan siis nähdä kertomafunktion laajennuksena kompleksilu- 
vuille. Tutkielmassa esitetty gammafunktion konstruointi alkaa yleisillä harkinnoilla 
funktioista, joiden nollakohdat ovat periodisesti levittäytynyt kompleksitasolle, ja 
jatkuu tavoitteella löytää funktio, joka jakaa kertomafunktion kanssa saman funk- 
tionaaliyhtälön. 
Tutkielman ensimmäiset kaksi lukua esittävät tapoja tutkia äärettömiä tuloja 
ja tavan määritellä funktio äärettömänä tulona. Havaitaan että mielivaltaiselle 
ääretöntä lähestyvälle kompleksilukujonolle on olemassa tulo, joka saavuttaa arvon 
nolla tarkalleen näissä lukujonon luvuissa. Luvussa kolme valitaan mukava peri- 
odinen lukujono ja tutkitaan tämän tulosta muodostuvaa funktiota. Tavoiteltua 
funktionaaliyhtälöä jahdatessa päädytään tutkielman nimifunktioon. 
Viimeisessä kappaleessa esitetään todistus skotlantilaismatemaatikon James Stir- 
lingin löytämästä arviosta gammafunktiolle. Arvion suhteellinen virhe lähestyy nol- 
laa syötteen kasvaessa suureksi, joka tekee siitä merkittävän tuloksen. Lisäksi Stirlin- 
gin arviota soveltamalla osoitetaan, että tutkielmassa esitetty määritelmä gamma- 
funktiolle on yhdenpitävä yleisemmin esiintyvän Eulerin määritelmän kanssa, jossa 
funktio on kirjoitettu epäolellisena integraalina. Tutkielman pääasiallisena lähteenä 
on käytetty Lars Ahlforsin kirjaa Complex Analysis 3rd Edition [1]. 
2 Äärettömät tulot 
Tässä luvussa tutustutaan määritellään, mitä tarkoitetaan äärellisen tulon suppen- 
emisella ja tämän raja-arvolla. Halutaan pystyä selvittämään, koska ja mihin nämä 
suppenevat. Kysymykset ovat yllättävän helppoja monelle opiskelijalle, sillä ne 
saadaan redusoitua vastaaviin tuttuihin sarjaongelmiin. 
Ääretön kompleksinen tulo 
∏∞ 
n =1 an lasketaan ottamalla raja-arvo osatuloista 
PN = 
∏N 
n =1 an ja tämän sanotaan suppenevan, kun raja-arvo on äärellinen nollasta 
eroava luku. Nollatulot on ajateltava hajaantuvan, jotta voidaan rakentaa hyvä 
teoria äärettömille tuloille. Jos nollatulot luettaisiin suppeneviksi, niin suppenevia 
tuloja koskevien lauseiden pitäisi puhua myös esimerkiksi tulosta 
∏∞ 
n =0 n . Tämä 
tulo käyttäytyy kuitenkin niin epämukavasti, että mitään vahvaa lausetta ei voida 
muodostaa. 
Tarkoituksena on kuitenkin pystyä kirjoittamaan nollan saavuttavia funktioita 
tulomuodossa, joten sanotaan että tulo P suppenee, kun siitä poistamalla äärellisen 
monta nollatekijää muodostaa tulon P ′, jonka raja-arvo on äärellinen nollasta eroava 
luku. Seuraavan lauseen myötä tuloja harvoin evaluoidaan suoraan. 
1
 Lause 2.1.
Tulo 
∞∏ 
n =1 
an suppenee jos ja vain jos sarja 
∞∑ 
n =1 
Log an suppenee
Lisäksi, kun sarja 
∑∞ 
n =1 Log an suppenee kohti lukua S , niin tulo 
∏∞ 
n =1 an suppenee 
kohti lukua eS. Samoin kun 
∏∞ 
n =1 an suppenee kohti lukua P , niin 
∑∞ 
n =1 Log an 
suppenee kohti lukua Log P − k 2 π i , missä k ∈ Z . 
Todistus. " ⇐ = ” Merkitään SN = 
∑N 
n =1 Log an ja PN = 
∏N 
n =1 an ja oletetaan, että 
SN → S . Nähdään heti
eSN = 
N∏ 
n =1 
an = PN ,
siis
lim 
N →∞ 
PN = lim 
N →∞ 
eSN = eS .
" = ⇒ " Merkitään PN = 
∏N 
n =1 an ja oletetaan, että PN → P , jolloin PNP → 1 
ja Log PN
P 
→ 0 . On oltava hieman varovainen, koska yleensä ∑Log an ̸ = Log ∏ an. 
On kuitenkin olemassa sellainen k ( N ) ∈ N , että
Log 
PN
P 
= 
N∑ 
n =1 
Log an − Log P + k ( N )2 π i (1) 
merkitään SN = 
∑N 
n =1 Log an ja saadaan
Log 
PN +1
P 
− Log PN
P 
= SN +1 − SN + i 2 π [ k ( N + 1) − k ( N )]
= ⇒ i 2 π [ k ( N + 1) − k ( N )] = Log PN +1
P 
− Log PN
P 
− Log aN +1
= ⇒ | 2 π [ k ( N + 1) − k ( N )] | ≤ | Log PN +1
P 
| + | Log PN
P 
| + | Log aN +1 | → 0 .
Siis kun N on tarpeeksi suuri, k ( N ) = k on vakio, joten (1) voidaan kirjoittaa 
uudelleen
Log 
PN
P 
= 
N∑ 
n =1 
Log an − Log P + k 2 π i
= ⇒ 
N∑ 
n =1 
Log an → Log P − k 2 π i
siis sarja suppenee ja kohti odotettua lukua.
Yllä oli helpompaa merkitä tuloa 
∏∞ 
n =1 an, mutta usein ajatellaan tuloa mielum- 
min muodossa 
∏∞ 
m =1 1 + am, missä am = an − 1 . Tulon suppeneminen vaatii, että 
an → 1 , jolloin am → 0 . Seuraavat lauseet motivoivat tämän muutoksen. 
2
 Lemma 2.2. ∞∑ 
n =1 
Log(1 + an) ↓ ⇐⇒ 
∞∑ 
n =1 
an ↓
Todistus. Väite seuraa vertailutestistä ja logaritmin Taylorin kehitelmästä. Olettaen 
että toinen sarjoista suppenee, niin an → 0 , joten
lim 
n →∞ 
Log(1 + an)
an 
= 1 .
Seuraus 2.3. Tulon itseinen suppeneminen on ekvivalenttia vastaavan sarjan it- 
seisen suppenemisen kanssa, siis
∞∏ 
n =1 
(1 + | an | ) ↓ ⇐⇒ 
∞∑ 
n =1 
Log(1 + | an | ) ↓ ⇐⇒ 
∞∑ 
n =1 
| an | ↓
Todistus. Lause (2.1) ja lemma (2.2)
Seuraus 2.4. ∞∑ 
n =1 
| Log an | ↓ = ⇒ 
∞∏ 
n =1 
| an | ↓
Todistus. Väite seuraa suoraan epäyhtälöstä Log | an | ≤ | Log an | .
3 Kanoniset tulot 
Lukuteoriassa on usein helpompaa harkita lukua alkulukutekijöidensä tulona ja 
analogisesti funktioteoriassa on hedelmällistä pohtia funktioita nollakohtiensa tu- 
lona. Tunnetusti polynomit voidaan kirjoittaa nollakohtiensa tulona p ( z ) = c ( z − 
a1)( z − a2) ... ( z − an) , missä termit ( z − am) voidaan nähdä toimivan samassa roolissa 
kuin alkuluvut kokonaisluvun alkulukuhajotelmassa. Tässä luvussa laajennetaan 
idea kokonaisille funktiolle. 
Kun halutaan harkita funktiota, jolla on ääretön määrä nollia, joudutaan huole- 
htimaan tulon suppenemisesta. Tätä varten tulon termeistä jaetaan tekijät − am 
pois, jolloin termit saavat muodon (1 − z /am) , ja usein nämä joudutaan vielä ker- 
tomaan sopivalla funktiolla suppenemisen saavuttamiseksi. Polynomien tulomuo- 
dossa esiintyvä vakio c pitää myös korvata jollakin kokonaisella funktiolla, mutta 
tämä voidaan rajata olevan aina itseisarvoltaan nollaa aidosti suurempi, joten nol- 
lakohdat saadaan kuitenkin eristettyä omaan tuloonsa. 
Sanotaan että funktio f on kokonainen, jos se on holomorfinen koko komplek- 
sitasossa. Esimerkkejä kokonaisista funktioista ovat polynomit, ez, sin z ja kahden 
kokonaisen funktion kompositio. 
Lause 3.1. Jos g on kokonainen ja f ( z ) = eg ( z ), niin f on kokonainen ja aina 
nollasta eroava. Vastaavasti jos f on kokonainen ja aina nollasta eroava, niin 
f ( z ) = eg ( z ), missä g on kokonainen 
3
 Todistus. Lauseen ensimmäinen implikaatio seuraa suoraan siitä, että kahden kokon- 
aisen funktion kompositio on kokonainen ja ez ̸ = 0 kaikille z . Jäljelle jää todistaa, 
että jos f on kokonainen ja aina nollasta eroava, niin f ( z ) = eg ( z ), missä g on 
kokonainen. 
Olkoon f nollasta aina eroava kokonainen funktio. Nyt, f 
′
f 
= d
dz 
log f on kokon- 
ainen. Merkitään tätä nimellä g . Huomataan,
d
dz 
(
f ( z ) e− g ( z ) 
) 
= f ′( z ) e− g ( z ) − g ′( z ) e− g ( z ) f ( z ) = 0
= ⇒ f ( z ) = C eg ( z )
siirretään vakio funktion g sisälle, niin saadaan haluttu tulos.
Voidaan laajentaa ideaa yleisemmälle funktiolle. Olkoon f kokonainen funktio, 
jolla on äärellinen määrä nollia: m nollaa origossa ja N nollaa origon ulkopuolella 
a1 , a2 , ..., aN . Yksinkertaisin nämä nollakohdat omaava funktio näyttää seuraavalta
z m 
N∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
.
Kerrotaan tulo aina nollasta eroavalla kokonaisella funktiolla eg ( z ), niin saadaan 
kuvailtua yleinen funktio samoilla nollilla
f ( z ) = z m eg ( z ) 
N∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
)
Kun yritetään yleistää ajatus funktiolle f , jolla on ääretön määrä nollia, joudu- 
taan huolestumaan tulon 
∏∞ 
n =1(1 − zan ) suppenemisesta. Tiedetään seurauksen (2.3) 
nojalla, että tulo suppenee itseisesti jos ja vain jos summa 
∑∞ 
n =1 | zan | suppenee. Kun 
tämä pätee, suppeneminen on jopa tasaista jokaisessa suljetussa kiekossa | z | ≤ R . 
Yleisessä tapauksessa tulo ei kuitenkaan suppene, joten on lisättävä aputekijöitä, 
jotka saavat suppenemisen tapahtumaan. 
Lause 3.2. Olkoon ( an)n ∈ N mielivaltainen jono kompleksilukuja, jolle an ̸ = 0 ∀ n ja 
limn →∞ an = ∞ . Tällöin on olemassa sellaiset polynomit pn( z ) , että
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
epn( z ) (2) 
suppenee itseisesti missä tahansa suljetussa kiekossa | z | ≤ R . 
Todistus. Lauseen (2.1) nojalla tulo (2) suppenee yhdessä sarjan 
∑∞ 
n =1 rn( z ) kanssa, 
missä
rn( z ) = Log 
( 
1 − z
an 
) 
+ pn( z ) .
Kiinnitetään säde R ja huomataan: koska limn →∞ an = ∞ , niin | an | ≤ R vain 
äärellisen monelle alkiolle an. Voidaan siis suppenemista häiritsemättä harkita vain 
4
 sarjan termejä joilla | an | > R , jolloin | zan | < 1 ja logaritmi voidaan kehittää Taylorin 
sarjaksi
Log 
( 
1 − z
an 
) 
= − 
∞∑ 
k =1 
1
k 
( 
z
an 
)k 
.
Idea on valita pn( z ) logaritmisarjan osasummaksi, jolloin rn( z ) on suppenevan sarjan 
loppuosa, ja täten pieni. Valitaan
pn( z ) = 
Nn∑ 
k =1 
1
k 
( 
z
an 
)k 
,
ja tutkitaan jäännöstermiä
rn( z ) = − 
∞∑ 
k = Nn+1 
1
k 
( 
z
an 
)k 
.
Käyttämällä arviota 1
k 
≤ 1
Nn+1 
ja geometrisen sarjan summakaavaa 
∑∞ 
n = m q 
n = 
q m / (1 − q ) saadaan termeille rn( z ) yläraja
| rn( z ) | ≤ 1
Nn + 1 
∞∑ 
k = Nn+1 
( 
R
| an | 
)k 
= 
1
Nn + 1 
( 
R
| an | 
)Nn+1 ( 
1 − R| an | 
)− 1 (3) 
valitsemalla Nn = n saadaan
∞∑ 
n =1 
| rn( z ) | ≤ c 
∞∑ 
n =1 
( 
R
| an | 
)n +1 
≤ c 
∞∑ 
n =1 
( 
R
| a1 | 
)n +1
missä c = maxn | (1 − R / | an | )− 1 | ja oikeanpuoleinen sarja on suppeneva geometrinen 
sarja. Lemman (2) nojalla tulo suppenee itseisesti.
Suorana seurauksena saadaan 
Lause 3.3 (Weierstrassin tekijähajotelmalause) . Mielivaltaiselle ääretöntä lähestyvälle 
lukujonolle ( an)n ∈ N on olemassa kokonainen funktio f siten että f ( an) = 0 , ∀ n ∈ N . 
Lisäksi jokainen kokonainen funktio, jolla on tarkalleen nämä nollat ja kertalukua 
m oleva nolla origossa voidaan kirjoittaa muodossa
f ( z ) = z m eg ( z ) 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
e 
z
an
+ 1
2( 
z
an
) 
2
+ ... + 1
Nn
( zan ) 
Nn 
, (4) 
missä g on kokonainen, an ̸ = 0 ja Nn joitain kokonaislukuja. 
Seuraus 3.4. Jos F on meromorfinen koko kompleksitasossa, niin se voidaan kir- 
joittaa kahden kokonaisen funktion f ja g osamääränä F ( z ) = f ( z )
g ( z )
. 
5
 Todistus. Olkoon F meromorfinen. Tällöin on lauseen (3.3) nojalla on olemassa 
kokonainen funktio f , jonka nollat ovat funktion F navat, jolloin F ( z ) f ( z ) = g ( z ) 
on kokonainen. Siis F ( z ) = f ( z )
g ( z ) 
on kahden kokonaisen funktion osamäärä.
Seuraavaksi tarkastellaan mukavaa tapausta, jossa tulo suppenee jo valinnalla 
Nn = N kaikilla n ∈ N . Tällöin tulo voidaan kirjoittaa muodossa
f ( z ) = z m eg ( z ) 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
e 
z
an
+ 1
2( 
z
an
) 
2
+ ... + 1
N ( 
z
an
) 
N 
, (5) 
missä N ei enää riipu indeksistä n . Tapaus vastaa sitä, että sarja
∞∑ 
n =1 
1
N + 1 
( 
R
| an | 
)N +1
suppenee. Tai yhtäpitävästi sitä, että 
∑∞ 
n =1 
1
| an |N +1 suppenee. Jos N on pienin 
kokonaisluku jolla tämä toteutuu, sanotaan, että ääretön tulo yhtälössä (5) on luku- 
jonoon ( an)n ∈ N yhdistetty kanoninen tulo ja N tämän tulon g enus suomenkielisen 
termin puuttuessa. 
Jos vielä g ( z ) saadaan redusoitua astelukua q olevaksi polynomiksi, sanotaan 
funktiolla f olevan äärellinen genus ja tämän arvon olevan max { q , N } . Eli funktio, 
jolla on genus = 1 on joko muotoa
C z m eαz 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
e 
z
an
tai
C z m eαz 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
.
Esimerkki 3.5. Koetetaan muodostaa funktion sin π z kanoninen tulomuoto. Funk- 
tion nollakohtien joukko on kokonaisluvut. Joten funktio tulee näyttämään seu- 
raavalta
z eg ( z ) 
∏ 
n ∈ Z 
n ̸ =0 
( 
1 − z
n 
) 
ep ( z ) .
Tiedetään, että harmoninen sarja 
∑ 
1
n 
hajaantuu, joten p ( z ) = 0 ei käy, mutta 
yliharmoninen sarja tunnetusti suppenee, joten valitaan N = 1 ja tulo saadaan 
muotoon
sin π z = z eg ( z ) 
∏ 
n ∈ Z 
n ̸ =0 
( 
1 − z
n 
) 
e 
z
n . (6) 
Jäljelle jää selvittää mysteerifunktio g ( z ) . Otetaan tulon logaritmin derivaatta, niin 
päästään tarkastelemaan funktiota lähempää
d2
dz2 
log sin π z = π cot π z 
= 
1
z 
+ g ′( z ) + 
∑ 
n ∈ Z 
n ̸ =0 
( 
1
z − n + 
1
n 
) 
.
6
 Käyttämällä kirjassa [1] todistettua cotangentin yhtälöä
π cot π z = 
1
z 
+ 
∑ 
n ∈ Z 
n ̸ =0 
( 
1
z − n + 
1
n 
)
päätellään, että g ′( z ) = 0 , siis g on vakio. Jaetaan yhtälö (6) puolittain muuttujalla 
z ja annetaan z → 0
lim 
z → 0 
sin π z
z 
= π = lim 
z → 0 
eg ( z ) 
∏ 
n ∈ Z 
n ̸ =0 
( 
1 − z
n 
) 
e 
z
n = eg ( z ) .
Siis
sin π z = π z 
∏ 
n ∈ Z 
n ̸ =0 
( 
1 − z
n 
) 
e 
z
n .
Täten funktiolla sin π z on genus 1 . Voidaan vielä uudelleenjärjestää tulo kertomalla 
− n ja n termit yhdessä, niin saadaan esitys
sin π z = π z 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
2
n2 
) 
. (7) 
4 Gammafunktio 
Tarpeellinen teoria on kehitelty, joten voidaan aloittaa gammafunktion konstruointi. 
Esimerkissä (3.5) löydettiin sinifunktiolle nollakohdistaan koostuva tuloesitys. Käy- 
dään nyt prosessi toiseen suuntaan. Valitaan yksinkertainen joukko nollia, muo- 
dostetaan niistä tulo ja katsotaan, jos päästäisiin johonkin mukavaan funktioon. 
Annetaan funktion nimeksi G . Olkoon G nolla negatiivisissa kokonaisluvuissa. 
Päätetään että funktion nollaton osa on vakiofunktio 1 ja esimerkin (3.5) tapaisesti 
lisätään tuloon aputekijät e− z /n suppenemista varten. Päädytään funktioon
G ( z ) = 
∞∏ 
n =1 
( 
1 + 
z
n 
) 
e− z /n .
On selvää, että G ( − z ) = 0 , kun z on positiivinen kokonaisluku ja tulo z G ( z ) G ( − z ) 
on nolla kaikilla n ∈ Z . Kun määritelmät avataan auki, nähdään, että
z G ( z ) G ( − z ) = z 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
2
n2 
) 
= 
sin π z
π 
. (8) 
Origon nolla ilmaistiin kertomalla G ( z ) G ( − z ) funktiolla z , mutta tämä ei ole 
tarpeellista. Koska Z< 0 + 1 = Z≤ 0, voidaan siirtää funktion G ( z ) syötteitä yhdellä 
ja saavuttaa origon nolla ilman lisätermiä. Siis funktiolla G ( z − 1) on kaikki samat 
nollakohdat kuin funktiolla G ( z ) , mutta myös yksi lisää kun z = 0 , joten lauseen 
(3.1) nojalla
G ( z − 1) = z eγ ( z ) G ( z ) ,
7
 missä ehdottavasti nimetty γ ( z ) on kokonainen. Sovelletaan esimerkistä (3.5) tuttua 
tekniikka ottamalla logaritmiset derivaatat puolittain, jolloin päästään tutkimaan 
eksponentissa olevaa funktiota paremmin. Saadaan
∞∑ 
n =1 
( 
1
n + z − 1 − 
1
n 
) 
= 
1
z 
+ γ ′( z ) + 
∞∑ 
n =1 
( 
1
n + z 
− 1
n 
) 
. (9) 
Sarjat suppenevat itseisesti, joten voidaan muotoilla vasemmanpuolista sarjaa sum- 
maamalla ensimmäinen termi erikseen
∞∑ 
n =1 
( 
1
n + z − 1 − 
1
n 
) 
= 
1
z 
− 1 + 
∞∑ 
n =1 
( 
1
n + z 
− 1
n + 1 
) 
. (10) 
Vaihdetaan yhtälön (9) vasen pouli yhtälön (10) oikean puolen kanssa ja eristetään 
γ ′( z ) siirtämällä muut termit toiselle puolelle.
γ ′( z ) = − 1 + 
∞∑ 
n =1 
( 
1
n + z 
− 1
n + 1 
) 
− 
∞∑ 
n =1 
( 
1
n + z 
− 1
n 
) 
= − 1 + 
∞∑ 
n =1 
(
1
n 
− 1
n + 1 
) 
= 0 ,
(11) 
missä sarjojen itseinen suppeneminen perustelee uudelleenjärjestämisen. Osoitet- 
tiin, että γ ′( z ) = 0 ja täten γ on vakio ja funktiolla G pätee funktionaaliyhtälö G ( z − 
1) = z eγ G ( z ) . Hyödynnetään tätä vakion γ arvon selvittämiseen. Määritelmästä 
nähdään, että G (0) = 1 = eγ G (1) , josta saadaan
e− γ = G (1) = 
∞∏ 
n =1 
( 
1 + 
1
n 
) 
e− 1 /n (12)
= ⇒ − γ = lim 
N →∞ 
N∑ 
n =1 
( 
Log( n + 1) − Log n − 1
n 
) 
= lim 
N →∞ 
( 
Log( N + 1) − 
N∑ 
n =1 
1
n 
) 
= ⇒ γ = lim 
N →∞ 
( 
N∑ 
n =1 
1
n 
− Log( N + 1) 
) 
≈ 0 . 57722 .
Vakio on tunnettu nimellä Eulerin–Mascheronin vakio ja laskusta nähdään, että 
tätä on hyvä ajatella määreenä sille, kuinka paljon funktion 1 /x naiivi yläsumma 
yliarvioi kuvaajan alla olevaa pinta-alaa välillä [1 , ∞ ) . 
Jos merkitään H ( z ) = eγ z G ( z ) , niin z H ( z ) = H ( z − 1) ja vihdoin määrittelemällä
Γ( z ) = 
1
z H ( z )
saadaan erityisen kaunis funktionaaliyhtälö
z Γ( z ) = Γ( z + 1) . (13) 
Avaamalla funktiot H ja G saadaan gammafunktion eksplisiittinen määritelmä. 
8
 Määritelmä 4.1 (Gammafunktio) .
Γ( z ) = 
e− γ z
z 
∞∏ 
n =1 
( 
1 + 
z
n 
)− 1 
ez /n (14) 
Tapa jolla Γ konstruoitiin, kertoo sen olevan meromorfinen ja sillä olevan navat 
tarkalleen ei-positiivisissa kokonaisluvuissa. Napojen residyt saadaan funktionaali- 
yhtälöä soveltamalla
Res(Γ , − n ) = lim 
z →− n
( z + n )Γ( z ) = 
Γ( z + n + 1)
z ( z + 1)( z + 2) . . . ( z + n − 1) 
= 
Γ(1)
− n (1 − n )(2 − n ) . . . ( − 1) = 
( − 1)n
n ! 
.
Eulerin peilauslause saadaan hyödyntämällä yhtälöä (8)
sin π z
π 
= z G ( z ) G ( − z ) = z H ( z ) H ( − z ) 
= 
H ( − z )
Γ( z ) 
= 
(1 − z ) H (1 − z )
Γ( z ) 
= 
1
Γ( z )Γ(1 − z ) ,
josta seuraa 
Lemma 4.2 (Eulerin peilauskaava) .
Γ( z )Γ(1 − z ) = π
sin π z 
.
Saavutettujen tulosten avulla voidaan tehdä johtopäätelmiä gammafunktion saa- 
mista arvoista joissain pisteissä. Yhtälöstä (12) nähdään, että Γ(1) = 1 . Funktionaa- 
liyhtälöä (13) soveltamalla saadaan yhteys kertomafunktioon eli Γ( n ) = ( n − 1)! 
kaikilla n ∈ N+. Asettamalla z = 1 / 2 yhtälöön (4.2) selvitetään, että Γ(12) = 
√
π . 
Huomataan, että funktioilla Γ(2 z ) ja Γ( z )Γ( z + 1 / 2) on samat navat, sillä
{− n/ 2 | n ∈ N } = {− n | n ∈ N } ∪ {− ( n + 1 / 2) | n ∈ N } .
Siis lauseen (3.3) ja seurauksen (3.4) nojalla ef ( z )Γ(2 z ) = Γ( z )Γ( z +1 / 2) , missä f ( z ) 
on kokonainen. Yhtälö tunnetaan Legendren duplikaatiokaavana. Osoittautuu, että 
ef ( z ) = 21 − 2 z 
√
π , mutta tämän todistamiseen tarvitaan gammafunktion logaritmin 
toista derivaattaa, jota kutsutaan trigammafunktioksi. 
Määritelmästä (4.1) laskemalla saadaan
d
dz 
log Γ( z ) = 
d
dz 
( 
log 
1
z 
− γ z + 
∞∑ 
n =1 
( z
n 
− log(1 + z
n 
)) 
= −1
z 
− γ + 
∞∑ 
n =1 
(
1
n 
− 1
n + z 
) 
= ⇒ d
2
dz2 
log Γ( z ) = 
1
z2 
+ 
∞∑ 
n =1 
1
( n + z )2 
= 
∞∑ 
n =0 
1
( n + z )2 
.
(15) 
Trigammafunktio esitettynä ollaan valmiita osoittamaan 
9
 Lause 4.3 (Legendren duplikaatiokaava) .
Γ( z )Γ( z + 1 / 2) = 21 − 2 z 
√
π Γ(2 z ) . (16) 
Todistus. Aloitetaan ottamalla logaritmin toinen derivaatta vasemmasta puolesta.
d2
dz2 
log Γ( z ) + 
d2
dz2 
log Γ( z + 1 / 2) = 
∞∑ 
n =0 
1
( n + z )2 
+ 
∞∑ 
n =0 
1
( n + z + 1 / 2)2 
= 4 
( ∞∑ 
n =0 
1
(2 n + 2 z )2 
+ 
∞∑ 
n =0 
1
(2 n + 2 z + 1)2 
) 
= 4 
∞∑ 
n =0 
1
( n + 2 z )2 
= 2 
d2
dz2 
log Γ(2 z ) .
Integroimalla yhtälö puolittain kahdesti ja soveltamalla sitten puolittain eksponent- 
tifunktiota saadaan
Γ( z )Γ( z + 1 / 2) = eaz + bΓ(2 z ) . (17) 
Asettamalla z = 1 / 2 saadaan 
√
π = ea/ 2+ b ja asettamalla z = 1 saadaan 1
2 
√
π = ea + b. 
Näistä konstruoidaan yhtälöryhmä{ 
1
2 
log π = a/ 2 + b 
log 1
2 
+ 1
2 
log π = a + b 
= ⇒ 
{ 
a = − 2 log 2 
b = 1
2 
log π + log 2 
. (18) 
Sijoittamalla luvut a ja b yhtälöön (17) saadaan haluttu tulos.
5 Stirlingin arvio 
Monissa gammafunktion sovelluksissa on tärkeää tietää, miten funktio käyttäytyy 
suurilla syötteillä. Funktion eksplisiittinen määritelmä voi olla kuitenkin vaikeakäyt- 
töinen tähän tehtävään. Tässä luvussa esitetään skotlantilaismatemaatikon James 
Stirlingin kehittämä arvio gammafunktiolle, joka mahdollistaa tarkan estimaatin 
saamisen kun z on suuri. 
Lause 5.1 (Stirlingin arvio) . Kun Re z > 0 , niin
Γ( z ) = 
√
2 π
z 
( z
e 
)z ( 
1 + O 
(
1
z 
))
Todistus. Todistuksen idea lähtee trigammafunktiosta. Muistetaan funktion sarjae- 
sitys
d2
dz2 
log Γ( z ) = 
∞∑ 
n =0 
1
( z + n )2 
.
Tavoite on muuttaa diskreetti sarja joksikin jatkuvaksi funktioksi. Tarvitaan siis 
funktio jolla on residyt 1 / ( z + v )2 pisteissä v ∈ Z≤ 0 ja jokin sopiva integroimispolku. 
Määritellään
ϕ ( ζ ) = 
π cot π ζ
( z + ζ )2
(19) 
10
 huom. ϕ on muuttujan ζ = ξ + iη funktio, z on tässä vain parametri. Laskemalla 
nähdään
Res( π cot π z , 0) = lim 
z → 0 
π z cot π z = lim 
z → 0 
cos π z
sin( π z ) /π z 
= 1
Koska cot π z on jaksollinen ja sisältää yhden navan periodissaan, niin kaikilla navoilla 
on sama residy. Kunhan napa ei ole päällekkäin funktion 1 / ( z + ζ )2 navan kanssa 
Res( ϕ, v ) = 1 / ( z + v )2. Sopivaa integrointipolkua varten piirretään suorakulmio 
K , jossa vasen reuna kulkee imaginääriakselia pitkin − iY → iY ja yläreuna kulkee 
suoraan iY → n + 1 / 2 + iY .
Kuva 1: Suorakulmio K . 
Idea on antaa suorakulmion kasvaa äärettömän kokoiseksi ja todistaa, että asymp- 
toottisesti neljästä integraalipolun suorasta vain imaginääriakselia pitkin kulkeva 
suora vaikuttaa integraaliin ollenkaan. Tällöin integraali koko polun ympäri (jonka 
tiedetään jo olevan melkein yhtäsuuri trigamma funktion kanssa) on yhtäsuuri vii- 
vaintegraalin kanssa imaginääriakselin yli. Tarkemmin
lim 
n →∞ 
lim 
Y →∞ 
  n +1 / 2 − iY∫ 
− iY 
+ 
n +1 / 2+ iY∫ 
n +1 / 2 − iY 
+ 
iY∫ 
n +1 / 2+ iY 
  ϕ ( ζ ) = 0 (20) 
= ⇒ lim 
n →∞ 
lim 
Y →∞ 
1
2 π i 
∮ 
K 
ϕ ( ζ ) = lim 
n →∞ 
lim 
Y →∞ 
∫ + iY 
− iY 
ϕ ( ζ ) (21)
Yllä määritelty (19) ϕ funktio omaa navan origossa ja integrointipolku menee 
suoraan origon läpi. On siis tarkasteltava epäoleellista integraalia, jossa integroin- 
tipolku kiertää origon ϵ säteisellä puoliympyrällä. Puoliympyrä voisi kiertää origon 
11
 vasemmalta tai oikealta. Valitaan se kiertämään oikealta ja nimitetään tämä inte- 
graalin pääarvoksi.
Kuva 2: Uusi integrointipolku, jossa origon kiertävän puoliympyrän säde lähestyy 
nollaa. 
Tästä aiheutuu se, että integraaliin lasketaan mukaan puolet origon navan residystä. 
Siis yhtälön (21) vasen puoli on ennestään tuttu trigammafunktio, miinus yksi 
lisätermi 1
2 z2
. 
Yhtälön oikea puoli on helpommin käsiteltävä objekti, joten yhtäsuuruuden todis- 
taminen (siis yhtälön (20) todistaminen) on ensimmäinen tehtävä Stirlingin arvion 
todistamiseen. 
Lähtökohta on yhtälö
pr.v. 
1
2 π i 
∮ 
K 
ϕ ( ζ ) dζ = − 1
2 z2 
+ 
n∑ 
v =0 
1
( z + v )2 
. (22) 
Integrointipolun vaakasuorilla janoilla cot π ζ lähestyy ± i , kun suorakulmio kasvaa. 
Erityisesti silloin ϕ ( ζ ) → 0 , joten integraali näitä pitkin lähestyy nollaa. Jokaisella 
mahdollisella oikeanpuoleisella pystysuoralla, missä reaaliosa ξ = n + 1 / 2 , funktio 
cot π ζ on rajattu. Koska cot π ζ on jaksollinen, raja on sama kaikilla n . Siis itseisarvo 
integraalista oikean janan yli on vakiokerrointa vailla∫ 
ξ = n +1 / 2 
dη
| ζ + z |2 .
12
 Määritellään uusi nelikulmion muotoinen integrointipolku P ( R ) , jonka kulmapis- 
teet ovat ( n +1 / 2) − iR , ( n +1 / 2)+ iR , − R + iR ja − R − iR . Kun annetaan R → ∞ , 
niin integraali oikeanpuoleisen janan yli samaistuu integraaliin (23). Tehtävänä on 
osoittaa, että integraali muita janoja pitkin lähestyy nollaa, jolloin integraali koko 
polun ympäri on sama integraalin (23) kanssa. Erityisesti tällöin haluttu integraali 
saadaan ratkaistua residylaskennalla. Lisätty osa saadaan osoitettua nollaksi käyt- 
tämällä yläarviota 
∣∣∫ f ∣∣ ≤ LM , missä M on funktion f arvoista supremum ja L on 
integrointipolun pituus
− R + iR∫ 
( n +1 / 2)+ iR 
dη
| ζ + z |2 ≤ 
2 R
| R + y |2 → 0 
− R − iR∫ 
− R + iR 
dη
| ζ + z |2 ≤ 
2 R
| R + x |2 → 0 
( n +1 / 2) − iR∫ 
− R − iR 
dη
| ζ + z |2 ≤ 
2 R
| R + y |2 → 0 ,
kun R → ∞ . 
Residylaskennan helpottamiseksi tehdään huomio, että integrointipolulla ζ = 
n + 1 / 2 + iη , joten ζ¯ = 2 n + 1 − ζ ja∫ 
ξ = n +1 / 2 
dη
| ζ + z |2 = 
∫ 
ξ = n +1 / 2 
dη
( ζ + z )(2 n + 1 − ζ + ¯ z ) . (23) 
Integroitavan funktion navat ovat pisteet ζ1 = − z ja ζ2 = ¯ z + 2 n + 1 . Kuitenkin, 
koska Re z > 0 ja Re ζ < 2 n +1 , niin napa ζ2 ei kuulu integroimistien sisäalueeseen, 
joten∫ 
ξ = n +1 / 2 
dη
( ζ + z )(2 n + 1 − ζ + ¯ z ) = 2 π i lim ζ →− z( ζ + z ) 
1
( ζ + z )(2 n + 1 − ζ + ¯ z ) 
= 
2 π i
2 n + 1 + 2 x 
→ 0 , kun n → ∞ .
(24) 
Siis yhtälössä (22) integraalin ja täten halutun summan tarkasteleminen redusoituu 
imaginääriakselia pitkin kulkevan käyräintegraalin 
∫ 
ξ =0 
ϕ ( ζ ) dζ tarkastelemiseen. 
Käyttäen identiteettejä cot( − z ) = − cot( z ) ja coth( z ) = i cot( iz ) voidaan kir- 
joittaa integraali muodossa
1
2 π i 
∫ i ∞ 
− i ∞ 
ϕ ( ζ ) dζ = 
1
2 
∫ ∞ 
0 
cot π iη 
[ 
1
( iη + z )2 
− 1
( iη − z )2 
] 
dη 
= 
1
2 
∫ ∞ 
0 
cot π iη · − 4 iη z
( η2 + z2)2 
dη 
= − 
∫ ∞ 
0 
coth π η · 2 η z
( η2 + z2)2 
dη .
(25) 
13
 Käännetään merkki, niin integraali on haluttuun kiertosuuntaan. Viimein identi- 
teettiä coth z = 1 + 2 / ( e2 z − 1) soveltamalla voidaan kirjoittaa trigamma muodossa
d2
dz2 
log Γ( z ) = 
1
2 z2 
+ 
∫ ∞ 
0 
4 η z
( η2 + z2)2 
dη
( e2 π η − 1) + 
∫ ∞ 
0 
2 η z
( η2 + z2)2 
dη . 
= 
1
z 
+ 
1
2 z2 
+ 
∫ ∞ 
0 
4 η z
( η2 + z2)2 
dη
( e2 π η − 1) dη ,
(26) 
missä ensimmäisen rivin oikeanpuolimmaisin integraali evaluoitiin substituutiolla 
u = η2+ z2. Esityksen ensimmäiset kaksi termiä ovat jopa lukiolaisille tutun näköisiä 
ja integraalitermi suppenee erittäin nopeasti. Tarkoitus on löytää gammafunktion 
esitys, joten (26) pitää vielä integroida kahdesti ja syöttää eksponenttifunktioon. 
Oletuksella Re z > 0 voidaan integroida yhtälö puolittain muuttujan z suhteen
d
dz 
log Γ( z ) = C + log z − 1
2 z 
+ 
∫ ∫ ∞ 
0 
4 η z
( η2 + z2)2 
dη
e2 π η − 1 dz 
= C + log z − 1
2 z 
+ 
∫ ∞ 
0 
2 η 
∫ 
2 z
( η2 + z2)2 
dz 
dη
e2 π η − 1 ( ∗ ) 
= C + log z − 1
2 z 
− 
∫ ∞ 
0 
2 η
η2 + z2 
dη
e2 π η − 1 .
(27) 
Kohdassa ( ∗ ) η suhteinen integraali suppenee tasaisesti jokaisessa kompaktissa os- 
ajoukossa D ⊂ { x + iy ∈ C | x > 0 } , joten z suhteinen integraali voidaan siirtää sen 
sisälle. 
Jos integroidaan heti uudestaan ilman kikkailua, niin termi 1 / ( η2+ z2) integroituu 
funktioksi arctan( z /η ) , jonka arvot eivät ole yksikäsitteisiä. Voidaan välttyä tältä 
osittaisintegroimalla∫ ∞ 
0 
2 η
η2 + z2 
dη
e2 π η − 1 = 
1
π 
∫ ∞ 
0 
z2 − η2
( η2 + z2)2 
Log(1 − e− 2 π η) dη , (28) 
missä termi jota derivoitiin oli 2 η / ( η2+ z2) ja termi jota integroitiin oli 1 / ( e2 π η − 1) . 
Kun (28) integroidaan muuttujan z suhteen saadaan∫ 
(28) dz = 
1
π 
∫ ∞ 
0 
( 
− 
∫ 
η2 + z2 − 2 z2
( η2 + z2)2 
dz Log(1 − e− 2 π η) 
) 
dη 
= − 1
π 
∫ ∞ 
0 
z
η2 + z2 
Log(1 − e− 2 π η) dη .
(29) 
Eli log gamma saa muodon
log Γ( z ) = C2 + C1 z + 
( 
z − 1
2 
) 
log z + 
1
π 
∫ ∞ 
0 
z
η2 + z2 
Log 
1
1 − e− 2 π η dη , (30) 
missä C1 on kohdan (27) C − 1 . Integrointijärjestyksen muuttaminen on sallittua, 
koska (28) suppenee tasaisesti. Seuraava tavoite on ratkaista parametrit C1 ja C2. 
Nämä saadaan selvitettyä funktionaaliyhtälöitä soveltamalla, mutta ennen tätä on 
14
 todistettava, että yhtälön (30) integraali on erittäin merkityksetön. Nimetään inte- 
graali
J ( z ) = 
1
π 
∫ ∞ 
0 
z
η2 + z2 
log 
1
1 − e− 2 π η dη . (31) 
Kun yhtälöä katsoo, on helposti uskottavissa, että J ( z ) → 0 , kun z → ∞ olet- 
taen, että z ei ole imaginääriakselin lähettyvillä. Tehdään väitteestä täsmällinen. 
Oletetaan, että Re z ≥ c > 0 . Voidaan jakaa integraali kahteen osaan
J ( z ) = 
∫ | z | / 2 
0︸ ︷︷ ︸ 
J1( z ) 
+ 
∫ ∞ 
| z | / 2︸︷︷︸ 
J2( z ) 
1
π 
∫ ∞ 
0 
z
η2 + z2 
log 
1
1 − e− 2 π η dη . (32) 
Integraalissa J1 pätee η ≤ | z / 2 | , joten | η2 + z2 | ≥ | z |2 − | η |2 ≥ | z |2 − | z / 2 |2 = 34 | z |2. 
Siis
| J1 | ≤ 4
3 π | z | 
∫ ∞ 
0 
log 
1
1 − e− 2 π η .
Integroitava funktio lähestyy eksponentiaalisella nopeudella funktiota log 1 = 0 , 
joten integraali suppenee (tästä tarkempi todistus aputuloksissa). Täten J1( z ) → 0 
kun z → ∞ . 
Integraalissa J2 pätee η ≥ | z / 2 | , joten | η2 + z2 | = | z − iη | · | z + iη | > c | z | . Siis
| J2 | < 1
π c 
∫ ∞ 
| z / 2 | 
log 
1
1 − e− 2 π η .
Integraali suppenee, joten | J2 | → 0 , kun z → ∞ . Vakion C1 arvo voidaan selvittää 
funktionaaliyhtälöllä log Γ( z + 1) = log z + log Γ( z ) . Siis
C2 + C1 z + C1 + ( z + 1 / 2) log( z + 1) + J ( z + 1) 
= C2 + C1 z + ( z + 1 / 2) log z + J ( z ) ,
(33) 
joka sievenee muotoon
C1 = − ( z + 1 / 2) log(1 + 1 /z ) + J ( z ) − J ( z + 1) .
Kun päästetään z → ∞ , niin nähdään, että C1 = − 1 . Vakio C2 saadaan selvitettyä 
ottamalla logaritmi Eulerin peilauslauseesta Γ( z )Γ(1 − z ) = π / sin π z . Valitsemalla 
z = 1 / 2 + iy saadaan
2 C2 − 1 + iy Log(1 / 2 + iy ) − iy Log(1 / 2 − iy ) + J (1 / 2 + iy ) + J (1 / 2 − iy ) 
= Log π − Log cosh π y + k 2 π i, (34) 
missä k ∈ Z . Valitsemalla y = 0 voidaan soveltaa tietoa Γ(1 / 2) = √π , niin saadaan
Log π = Log π − Log cosh 0 + k 2 π i = ⇒ k = 0 .
Päästetään y → ∞ , niin J (1 / 2 + iy ) ja J (1 / 2 − iy ) → 0 . Sievennetään logaritmit 
yhdeksi termiksi
iy 
[ 
Log 
1 / 2 + iy
1 / 2 − iy 
] 
= iy 
[ 
Log 
(
1 − 2 iy − 2
1 − 2 iy ( − 1) 
)] 
= iy 
[ 
π i + Log 
( 
1 − 2
1 − 2 iy 
)] 
,
15
 jolloin voidaan selvemmin kirjoittaa logaritmi Taylorin kehitelmänä. Summataan 
ensimmäinen termi erikseen
iy 
[ 
π i + Log 
( 
1 − 2
1 − 2 iy 
)] 
= − π y + 1 − 1
1 − 2 iy − iy 
∞∑ 
n =2 
2n
n (1 − 2 iy )2 . (35) 
Jäljelle jäävälle sarjalle saadaan majorantti∣∣∣∣∣iy 
∞∑ 
n =2 
2n
n (1 − 2 iy )2 
∣∣∣∣∣ ≤ | y | 
∞∑ 
n =2 
2n
2n | y |n = | y | 
1 / | y |2
1 − 1 / | y | 
= 
1
| y | − 1 → 0 , kun y → ∞ .
Viimeinen yhtälön (34) termi saa muodon
Log cosh π y = Log( eπ y(1 + e− 2 π y)) − Log 2 = π y − Log 2 + 
∞∑ 
n =1 
e− 2 π y n
n 
( − 1)n +1 .
Oikeanpuoleiselle sarjalle saadaan majorantti
∞∑ 
n =1 
∣∣∣∣ e− 2 π y nn ( − 1)n +1 
∣∣∣∣ ≤ ∞∑ 
n =1 
∣∣e− 2 π y n ∣∣ = e− 2 π y
1 − e− 2 π y → 0 , kun y → ∞ .
Eli kun y → ∞ , yhtälö (34) saa muodon
2 C2 − 1 − π y + 1 + ϵ1( y ) = Log π − π y + Log 2 + ϵ2( y ) 
= ⇒ C2 = 1
2 
Log 2 π .
Siis yhtälö (30) saa muodon
log Γ( z ) = 
1
2 
Log 2 π − z + 
( 
z − 1
2 
) 
Log z + J ( z ) . (36) 
Kun tämä syötetään eksponenttifunktiolle, saadaan
Γ( z ) = 
√
2 π
z 
( z
e 
)z 
eJ ( z ) . (37) 
Tiedetään jo, että J ( z ) → 0 , kun z → ∞ , mutta voidaan vielä kysyä kuinka nopeasti 
tämä tapahtuu. Käyttämällä aiempaa paloittelua nähdään, että
| J1( z ) | ≤ 4
3 π | z | c ≪ 
1
z 
.
Häntäintegraalin laskeminen on työläämpää
| J2( z ) | < 1
π c 
∫ ∞ 
| z / 2 | 
Log 
1
1 − e− 2 π η dη .
16
 Erotetaan logaritmit toisistaan. Logaritmi 1 on nolla, joten saadaan
| J2( z ) | ≪ 
∫ ∞ 
| z / 2 | 
Log(1 − e− 2 π η) dη = 
∫ ∞ 
| z / 2 | 
∞∑ 
n =1 
e− 2 π η n
n 
dη .
Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla saadaan siirtää integraali sarjan sisälle
= ⇒ | J2( z ) | ≪ 
∞∑ 
n =1 
e− π | z | n
2 π n2 
≪ 
∞∑ 
n =1 
e− π | z | n ≪ e
− π | z |
π | z | ≪ 
1
z 
.
Siis J ( z ) = J1( z ) + J2( z ) = O (1 /z ) ja täten Taylorin kehitelmällä nähdään, että 
eJ ( z ) = 1 + O (1 /z ) , joten (37) saa halutun muodon
Γ( z ) = 
√
2 π
z 
( z
e 
)z ( 
1 + O 
(
1
z 
))
(38)
Useimmissa Gammafunktion sovelluksissa funktiosta käytetään esitystä
Γ( z ) = 
∫ ∞ 
0 
e− t tz − 1 dt, (39) 
joka voidaan osoittaa olevan yhdenpitävä tutkielmassa esitetyn määritelmän kanssa. 
Tämä voidaan saavuttaa Stirlingin arviolla. 
Merkitään toistaiseksi F ( z ) = 
∫ ∞ 
0 
e− t tz − 1 dt . Osittaisintegroimalla nähdään, että
F ( z + 1) = 
∫ ∞ 
0 
e− t tz dt = z 
∫ ∞ 
0 
e− t tz − 1 dt = z F ( z ) .
Siis F toteuttaa gammafunktion määrittävän funktionaaliyhtälön ja siksi F ( z ) / Γ( z ) = 
F ( z + 1) / Γ( z + 1) . Eli funktio F ( z ) / Γ( z ) on 1-jaksollinen. Kun x > 0 , molemmat 
F ja Γ ovat holomorfisia ja nollasta eroavia, siis F ( z ) / Γ( z ) = eg ( z ), missä g ( z ) on 
kokonainen. Kertomalla yhtälö puolittain funktiolla Γ( z ) ja evaluoimalla yhtälö, kun 
z = 1 nähdään, että eg ( z ) = 1 kaikilla z ∈ N . Pitää vielä osoittaa, että F ( z ) / Γ( z ) on 
rajoitettu, niin Liouvillen lauseen nojalla funktio on vakiofunktio ja tässä tapauk- 
sessa 1 . 
Tiedetään jo, että funktio on 1-periodinen, joten riittää osoittaa, että funktio on 
rajoitettu, kun 1 ≤ x ≤ 2 . Selvästi
| F ( z ) | ≤ 
∫ ∞ 
0 
e− t tx − 1 dt = F ( x ) ̸ = ∞ .
Stirlingin arviolla
| Γ( z ) | = 
∣∣∣∣∣ 
√
2 π
z 
∣∣∣∣∣ ∣∣∣ ( ze )z ∣∣∣ ∣∣eJ ( z ) ∣∣ 
≥ 
√
2 π
| z |1 / 2 
| z |x
ex 
≥ 
√
2 π | z |1 / 2 e− 2 ≥ 
√
2 π e− 2 > 0 .
Siis F on rajoitettu, Γ on alhaalta rajoitettu, joten F ( z )
Γ( z ) 
on rajoitettu ja täten vakio- 
funktio. Siis Γ( z ) = F ( z ) pisteissä, missä molemmat ovat määritelty. 
17
 6 Yhteenveto 
Löydettiin, että ääretöntä lähestyvällä lukujonolla ( an)n ∈ N , an ̸ = 0 ∀ n ∈ N on perhe 
kokonaisia funktioita, jotka ovat muotoa
z m eg ( z ) 
∞∏ 
n =1 
( 
1 − z
an 
) 
e 
z
an
+ 1
2( 
z
an
) 
2
+ ... 1
Nn
( zan ) 
Nn 
.
Nämä saavat kaikki arvokseen nolla, kun z on jokin lukujonon jäsen. 
Pohdittiin yksinkertaista tapausta, jossa an = − n , josta saatiin funktion G ( z ) 
määritelmä. Yrittämällä sieventää tämän funktionaaliyhtälöä löydettiin Eulerin– 
Mascheronin vakio γ ja tutkielman päätavoite gammafunktio Γ , jolle pätee identi- 
teetti z Γ( z ) = Γ( z + 1) . 
Lopuksi osoitettiin joitain gammafunktion identiteettejä, sen tunnettuja arvoja 
ja Stirlingin arvio, joka antaa yksinkertaisen tavan laskea erittäin hyvän estimaatin 
gammafunktiolle isoilla syötteillä. Stirlingin arviolla saatiin tutkielmassa esitetty 
gammafunktion määritelmä yhdistettyä määritelmään, joka on kirjallisuudessa yleisempi. 
18
 7 Aputuloksia 
Lemma 7.1. Jos f ja g ovat kokonaisia, niin f ◦ g on kokonainen. 
Todistus. Merkitään h = f ◦ g ja z = x + iy . Koska f , g kokonaisia, tiedetään
i 
∂ f
∂ x 
= 
∂ f
∂ y
i 
∂ g
∂ x 
= 
∂ g
∂ y
Laskemalla nähdään
∂ h
∂ y 
= 
∂ f
∂ g 
∂ g
∂ y 
= 
∂ f
∂ g 
i 
∂ g
∂ x 
= i 
∂ f
∂ x
Lemma 7.2. Jos g on kokonainen ja aina nollasta eroava, niin 1
g 
on kokonainen. 
Todistus. Valitaan f = 1
z 
ja g kokonainen ja aina nollasta eroava. Nyt f : C \{ 0 } → 
C on kokonainen, joten f ◦ g kokonainen (7.1).
Lemma 7.3.
N∏ 
n =1 
( 
1 + 
1
n 
) 
= N + 1
Todistus. Merkitään tuloa PN
Log PN = 
N∑ 
n =1 
Log 
( 
1 + 
1
n 
) 
= 
N∑ 
n =1 
Log 
( 
n + 1
n 
) 
= 
N∑ 
n =1 
Log( n + 1) − Log n = Log( N + 1) 
= ⇒ PN = N + 1
Lemma 7.4. Integraali ∫ ∞ 
0 
4 η z
( η2 + z2)2 
dη
e2 π η − 1
suppenee tasaisesti, kun z ∈ D , missä D ⊂ { x + iy ∈ C | x > 0 } on kompakti. 
Todistus. Nimetään lemman integraali f , ja määritellään fn osaintegraalina
fn( z ) = 
∫ n 
0 
4 η z
( η2 + z2)2 
dη
e2 π η − 1 .
Nyt 
19
 | f ( z ) − fn( z ) | = 
∣∣∣∣ ∫ ∞ 
n 
4 η z
( η2 + z2)2 
dη
e2 π η − 1 
∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞ 
n 
4 η
| z |3 
dη
e2 π η − 1 
≤ 1| z |3 
∫ ∞ 
n 
4 η
e2 π η − 1 dη .
(40) 
Koska D on kompakti, 1 / | z |3 saavuttaa maksiminsa ja sitä voidaan ajatella vakiona. 
Integraali lähestyy nollaa, kun n → ∞ , joten mille tahansa ϵ voidaan valita N , s.e. 
≤ 1| z |3 
∫ ∞ 
n 
4 η
e2 π η − 1 dη < ϵ kaikille z ∈ D ja n > N .
Lemma 7.5. Integraali ∫ ∞ 
0 
log 
1
1 − e− 2 π η (41) 
suppenee. 
Todistus. Ensin huomataan∫ ∞ 
0 
log 
1
1 − e− 2 π η dη = 
∫ ∞ 
0 
log 1 − 
∫ ∞ 
0 
log(1 − e− 2 π η) dη .
Integraali nollasta on tietenkin nolla, niin tarkastellaan vain oikeanpuoleista itne- 
graalia. Huomataan, että selvästi jonkin äärellisen välin jälkeen voidaan käyttää 
logaritmin Taylorin kehitelmää.∫ ∞ 
0 
log(1 − e− 2 π η) dη = C − 
∫ ∞ 
0 
∞∑ 
n =1 
e− 2 π η n
n 
. (42) 
Määritellään fN integroitavan sarjan osasummaksi. Nämä fN integroituvia ja fN +1 ≥ 
fN ja tietenkin fN → integroitavaa sarjaa, joten monotonisen konvergenssin lauseen 
nojalla voidaan vaihtaa integraalin ja summan järjestystä. Jätetään vakio C huomioimatta 
ja katsotaan vain integraalia∫ ∞ 
0 
∞∑ 
n =1 
e− 2 π η n
n 
= 
∞∑ 
n =1 
1
n 
∫ ∞ 
0 
e− 2 π η n = 
∞∑ 
n =1 
1
n 
∫ ∞ 
0 
− 2 π n
− 2 π n e
− 2 π η n = 
∞∑ 
n =1 
1
− 2 π n2 . (43) 
Harmoninen sarja tunnetusti suppenee, joten lemma on todistettu.
20
 Kirjallisuutta 
[1] Lars Ahlfors: Complex Analysis 3rd Edition , McGraw-Hill Education, 1979 
21