KUVAAJIEN TULKITSEMINEN JA KULMAKERROIN: TEORIAA SEKÄ TYYPILLISIMPIÄ VIRHEITÄ NIIDEN YMMÄRTÄMISESSÄ Ida Mäkelä Pro gradu -tutkielma toukokuu 2019 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO Turun yliopiston laatujärjestelmän mukaisesti tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck -järjestelmällä. TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos MÄKELÄ, IDA: Kuvaajien tulkitseminen ja kulmakerroin: teoriaa sekä tyy- pillisimpiä virheitä niiden ymmärtämisessä Pro gradu -tutkielma, 30 s. Matematiikka Kevät 2019 Työssä tarkastellaan graafisia esityksiä ja niiden tulkitsemisen osaamisen merkitystä opiskelussa sekä arkielämässä. Kuvaajat sekä kulmakertoimen käsite ovat keskeisessä asemassa tässä tutkielmassa. Työssä määritellään proseduraalinen ja konseptuaali- nen tieto sekä representaatioihin ja tiedon siirtämiseen liittyvää teoriaa, mitkä ovat tärkeitä palasia matemaattisen ajattelun tarkastelussa. Kuvaajien tulkitsemista se- kä kulmakertoimen käsitettä tarkastellaan edellä mainittujen asioiden lisäksi myös opetussuunnitelman näkökulmasta. Etenkin kuvaajien tulkitsemisesta ja niissä esiintyvistä virhekäsityksistä on tehty laajoja tutkimuksia, joihin tässä työssä perehdytään. Työn tarkoituksena on esitellä kuvaajien tulkitsemisen perusteita representaatioiden ja tiedon siirtämisen näkökul- masta. Samalla luetellaan yleisimpiä virheitä, joita oppilaat tekevät ja pohditaan syitä näihin. Kulmakerroin on keskeinen osa kuvaajien tulkitsemista ja sen vuoksi sitä tarkastellaan työn loppupuolella erikseen. Myös siihen liittyy paljon hankaluuk- sia, jotka osittain johtuvat kuvaajien tulkinnassa ilmenevistä ongelmista. Yleisin virhe kuvaajien tulkitsemisessa on kuvaajan tulkitseminen kuvana, jolloin sen sisältämää informaatiota ei syvällisesti ymmärretä. Tällöin on myös hyvin vai- keaa ymmärtää kulmakertoimen merkitystä tai muuttujien välisiä vuorovaikutuksia. Toinen huomioitava asia on kulmakertoimen käsitteeseen liittyvät epämääräisyydet. Joko kulmakerroin ei kerro oppilaalle mitään tai sitten se osataan laskea, mutta ei osata perustella, mitä se esittää. Esimerkkinä tyypillisestä virheestä kulmaker- rointehtävissä on kulmakertoimen ja kuvaajan korkeuden käsitteiden sekoittaminen. Lopuksi työssä kiinnitetään huomiota siihen, miten hankaluuksia voitaisiin saada vähennettyä, ja miten matematiikan soveltaminen muihin tieteisiin tulisi luonnolli- semmaksi. Asiasanat: matematiikka, kuvaajien tulkitseminen, kulmakerroin, tiedon siirtämi- nen. Sisältö 1 Johdanto 2 2 Graafiset esitykset ja kulmakerroin käytännössä 3 2.1 Graafisten esitysten ja kulmakertoimen osaamisen merkitys . . 3 2.2 Graafinen esitys ja kulmakerroin opetussuunnitelmassa . . . . 4 3 Matemaattinen ajattelu 5 3.1 Proseduraalinen ja konseptuaalinen tieto . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Representaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Tiedon siirtäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Kuvaajat 9 4.1 Kuvaajien tulkitseminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Tiedon siirtyminen algebrallisen ja graafisen ajattelun välillä . 11 4.3 Kontekstin vaikutus tulkintaan . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Kulmakerroin 15 5.1 Kulmakertoimen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 Kulmakerroin käsitteenä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.3 Kulmakerroin mittana - todellisen maailman tilanteet . . . . . 17 5.4 Näkökulmia kulmakertoimesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Ongelmakohtia kuvaajien tulkinnassa ja kulmakertoimen mää- rittämisessä 20 6.1 Hankaluudet käsitteessä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Virheet tehtävissä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3 Linkin puuttuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 Pohdintaa 24 1 1 Johdanto Graafisten esitysten käyttäminen nyky-yhteiskunnassa on kätevää, sillä yk- sinkertaiselta näyttävään esitykseen saadaan mahtumaan paljon yksityiskoh- taista informaatiota. Graafinen esitys voi olla esimerkiksi taulukko, diagram- mi, kuvaaja, kaaviokuva tai kartta. Tässä työssä keskitytään kuvaajiin, nii- den tulkitsemiseen sekä niiden ominaisuuksiin. Kuvaajat ovat keskeisiä eten- kin matemaattisilla aloilla, sillä niiden avulla on mahdollista esittää mo- nimutkaisia, muuttujien välisiä vuorovaikutussuhteita. Kuvaajan sisältämän informaation ymmärtämiseksi niitä on kuitenkin osattava tulkita. Kuvaajan tulkitsemistaitojen on havaittu olevan hyvin oppiainesidosteisia, jolloin toi- sessa aineessa käytettäviä prosesseja ei osata hyödyntää toisessa. Kuvaajien tulkitsemistaidoilla on suuri rooli sekä (luonnon)tieteissä että arkielämässä. Lähemmässä tarkastelussa kuvaajan ominaisuuksista on kulmakerroin, sillä se on keskeinen työkalu kuvailemaan käyrän käyttäytymistä sekä mate- matiikassa että monessa muussa tieteessä. Kulmakertoimen ymmärtäminen, hahmottaminen ja sen määrittämisen osaaminen luovat pohjan monille muil- le matematiikan aloille, erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennalle. Esi- merkiksi luonnontieteissä se on keskeinen työkalu kuvaamaan luonnon riippu- vuuksia, kuten kiihtyvyyttä tv-koordinaatistossa. [33]. Tässä työssä tarkas- tellaan kuvaajien tulkitsemista sekä tieteellisestä että todellisen maailman näkökulmasta. Kuvaajan tulkitsemistaitojen muodostuminen sekä sovelta- minen eri konteksteihin luovat perustan tutkimukselle. Tämän lisäksi poh- ditaan kuvaajiin liittyviä representaatioita ja eri representaatioiden linkit- tämistä toisiinsa [30]. Toisaalta linkittämistä tarkastellaan myös isommassa mittakaavassa matematiikan ja muiden tieteiden välillä [17]. Näitä linkkejä sekä niiden puuttumista selitetään tutkielmassa tiedon siirtämisen näkökul- masta. Samalla listataan ja pohditaan oppilaiden yleisimpiä ongelmia, joita kuvaajien tulkitsemisesta sekä kulmakertoimen määrittämisestä aiheutuu. Tutkielman alussa esitellään opetussuunnitelman näkökulmaa aiheesta sekä aiheeseen liittyviä matemaattisia käsitteitä. Joutsenlahti [14] sekä Haa- pasalo & Kadijevich [11] ovat tutkineet matemaattista ajattelua ja mate- maattisen tiedon eri ulottuvuuksia. Näistä erityisessä tarkastelussa ovat kon- septuaalinen ja proseduraalinen tieto, representaatiot sekä tiedon siirtämi- nen. Tiedon siirtämistä tieteiden välillä on tarkasteltu tutkielmassa lähinnä esimerkkien avulla fysiikan ja kemian näkökulmasta. Edellä mainittujen kä- sitteiden avulla tarkastellaan aiempia tutkimustuloksia ja pohditaan niiden vaikutuksia kuvaajien tulkitsemisessa. Kontekstin vaikutusta tulkinnan on- nistumiseen on tutkinut esimerkiksi Planinic kumppaneineen useaan ottee- seen ja sitä tarkastellaan tässäkin tutkielmassa. Kuvaajien tulkitsemisesta siirrytään kuvaajan keskeiseen ominaisuuteen, kulmakertoimeen. Kulmaker- 2 roin esitetään määritelmänä [33] sekä käsitteenä [32, 34] ja pohditaan, miten eri käsitteiden käyttäminen vaikuttaa kulmakertoimen hahmottamiseen. On- gelmitta ei suju kuvaajien tulkitseminen eikä kulmakertoimen määrittämi- nenkään, joten näitä ongelmakohtia on esitelty tutkielman loppupuoliskolla. Lopuksi työssä tuodaan esille asioita, joihin tulisi kiinnittää enemmän huo- miota opetuksessa, jotta kuvaajien tulkitsemistaitojen siirtäminen ja sovel- taminen kontekstista toiseen olisi tehokasta ja luontevaa. Tutkielman tavoitteena on esitellä, millaisia taitoja kuvaajien tehokkaa- seen tulkitsemiseen tarvitaan ja millaisia hankaluuksia oppilailla esiintyy ku- vaajien tulkitsemisessa sekä kulmakertoimen käsitteessä, sen laskemisessa se- kä sen soveltamisessa erilaisiin konteksteihin. Samalla tavoitteena on löytää syitä näihin ongelmiin ja lopuksi tarkastellaan, miten kyseisiltä ongelmilta voisi välttyä. Tavoitetta lähestytään matemaattisen ajattelun, proseduraali- sen ja konsenptuaalisen tiedon sekä representaatioiden näkökulmasta. Aluksi tutkielmassa esitellään käsitteitä, joiden pohjalta tarkastellaan edellä mainit- tuja asioita sekä aiempia tutkimuksia aiheesta. Kirjallisuuskatsauksen perus- tan luovat matematiikkaan liittyvät tutkimukset, joissa on esitelty perusteita ja syitä kuvaajien ja kulmakertoimien opiskelun tärkeydelle sekä perehdytään niissä esiintyviin vaikeuksiin. Oheismateriaalina tutkielmassa on käytetty fy- siikkaan ja kemiaan pohjautuvia tutkimuksia, joissa on esitelty kattavasti tiedon siirtämisestä ja soveltamisesta johtuvia hankaluuksia. Nämä hanka- luudet olisivat vaikeasti selitettävissä ilman esimerkkejä, joten on tutkielman etenemisen kannalta tärkeää ottaa huomioon myös tämä perspektiivi. 2 Graafiset esitykset ja kulmakerroin käytän- nössä 2.1 Graafisten esitysten ja kulmakertoimen osaamisen merkitys Graafinen esitys on numeerisista tiedoista muodostunut visuaalinen esitys, jo- ka voi olla esimerkiksi taulukko, diagrammi, kuvaaja, kaaviokuva tai kartta. Näistä taulukot ja diagrammit sopivat diskreettien muuttujien tapauksiin ja esittämiseen. Kaaviokuvat ja kartat ovat omiaan erilaisten tilanteiden, koko- naisuuksien tai suhteiden esittämiseen. Usean muuttujan välisiä riippuvuuk- sia on tehokkainta kuvata kuvaajien ja käyrien avulla, mistä yksinkertaisim- mat ovat suora tai käänteistä verrannollisuutta kuvaava lineaarinen esitys. [1, 16]. Tyypillistä kaikille graafisille esityksille on, että tilastojen arvot ja suhdanteet ovat helposti ja nopeasti tulkittavissa ja tiiviisti esitettynä [36]. 3 Juuri tämän vuoksi päivittäinen tiedonvälitys medioissa, opetusmateriaaleis- sa sekä tieteellisissä julkaisuissa on esitetty graafisesti. Matemaattisilla aloilla erityisesti kuvaajat ja niiden sisältämät käyrät ovat keskeinen apuväline tutkimustulosten käsittelyssä ja esittämisessä. Ku- vaajat ovat käteviä, sillä niiden avulla tilastoarvojen keskinäisten suhdan- teiden esittäminen on helppoa. Ne helpottavat monimutkaisten riippuvuus- suhteiden ymmärtämistä ja tulkitsemista. [1, 18]. Esimerkiksi fysikaalista ti- lannetta ja siinä esiintyviä vuorovaikutuksia on helpompi tulkita kuvaajasta kuin taulukon arvoista. Vaikka kuvaaja näyttää helpolta ja yksinkertaiselta, se sisältää suuren määrän informaatiota ja sitä on osattava tulkita [3]. Juuri tässä tuleekin esille käyrien ainutlaatuisuus, sillä ne ovat toisaalta kvalita- tiivisesti helposti tulkittavia, mutta niistä saadaan myös tarkasteltua yksit- täisiä pisteitä kvantitatiivisesti [1]. Tämä seurauksena matematiikan ja luon- nontieteiden opiskelussa laaditaan ja tulkitaan erilaisia kuvaajia kaikilla kou- luasteilla. Kuvaajien käyttäminen ja niiden tarkoitus vaihtelevat eri aloilla. Esimerkiksi matematiikassa, niitä käytetään kuvaamaan funktioita eli muut- tujien välisiä riippuvuuksia, kun taas fysiikassa ja kemiassa kuvaajien avulla ennustetaan muuttujien välisiä suhteita, esitetään tutkimustuloksia graafi- sesti sekä sovitetaan tuloksia matemaattisten mallien mukaisiksi. [16, 17]. Matemaattisissa tilanteissa keskeisessä osassa kuvaajien tulkitsemisessa on kulmakertoimen käsitteen hahmottaminen, ymmärtäminen ja soveltami- nen. Stanton ja Moore-Russo [32] ovatkin luonnehtineet kulmakerrointa voi- makkaaksi yhdistämiskonseptiksi, joka auttaa oppilaita ymmärtämään funk- tioita sekä niiden kuvaajia. Se kertoo tulkitsijalle kuvaajan käyttäytymisestä, miten sen suhdanteet vaihtelevat ja kuinka nopeasti. Sen lisäksi kulmakertoi- mella on suuri merkity muissa luonnontieteissä sekä arkielämässä. Luonnon- tieteissä sen avulla on mahdollista kuvata ja havainnollistaa luonnon riippu- vuuksia. Arkielämässä taas se saattaa kuvastaa vaikkapa mäen jyrkkyyttä tai talouden suhdanteita. [3, 16]. 2.2 Graafinen esitys ja kulmakerroin opetussuunnitel- massa Perusopetuksen opetussuunnitelman [23] mukaan opetuksen keskeisiä tavoit- teita kaikilla vuosiluokilla on oppilaiden laaja yleissivistäminen, mikä edel- lyttää tietoja ja taitoja eri tieteenaloilta. Opetussuunnitelma korostaa tiedo- nalat yhdistäviä taitoja sekä laaja-alaista osaamista. Laaja-alaiseen osaami- seen sisältyy monilukutaito, jolla tarkoitetaan erilaisten tekstien ja viestinnän tulkitsemisen ja tuottamisen taitoja. Laaja käsitys teksteistä viittaa "sanal- listen, kuvallisten, auditiivisten, numeeristen ja kinesteettisten symbolijär- 4 jestelmien sekä näiden yhdistelmien avulla ilmaistuun tietoon". Jokaisessa oppiaineessa on tavoitteena harjoitella näitä taitoja oppiaineelle tyypillisillä tavoilla. Graafisten esitysten tulkitsemistaitoja edellyttää myös opetussuun- nitelmassa korostettu medialukutaito. Graafisten esitysten tulkitsemiseen ja laatimiseen liittyviä asioita sisäl- tyy yläkoulun opetuksen tehtäviin kaikissa luonnontieteissä. Matematiikassa yksi opetuksen tavoitteista vuosiluokilla 7-9 on: T15 Ohjata oppilasta ym- märtämään muuttujan käsite ja tutustuttaa funktion käsitteeseen. Ohjata op- pilasta harjoittelemaan funktion kuvaajan tulkitsemista ja tuottamista. [23]. Opetuksen tehtävänä on opetussuunnitelman [23] mukaan antaa oppilaal- le valmiudet matemaattiseen mallintamiseen ja ratkaisemiseen. Tavoitteissa mainitaan tämän lisäksi funktioissa olevien muuttujien välisten vuorovaiku- tuksien osaaminen sekä graafisesti että algebrallisesti. Tässä korostuu vakion ja muuttujan erottaminen toisistaan sekä funktion, kulmakertoimen ja va- kiotermin käsitteiden hallitseminen. Tämän lisäksi siinä korostetaan, että oppilasta on ohjattava havaitsemaan ja ymmärtämään oppimiensa asioiden välisiä yhteyksiä. Kuvaajien tulkinta ja kulmakertoimen käsitteen ymmärtäminen kuulu- vat keskeisesti opetussuunnitelman sisältöihin, mutta sen lisäksi siinä koros- tetaan myös sekä ongelmanratkaisutaitojen kehittymistä että matematiikan soveltamista. Kulmakertoimen merkitys matematiikassa korostuu siis siksi, että sitä tarvitaan myös monien eri alojen "kentillä". Naglen, Moore-Russon, Vigliettin & Martinin [21] mukaan sen osaaminen ja ennen kaikkea ymmär- täminen on tärkeä edellytys kehittyneeseen matemaattiseen ajatteluun sekä sen avulla on mahdollista ratkaista siihen liittyviä ongelmia myös muissa kon- teksteissa. Kulmakertoimen konseptuaalinen ymmärrys on myös ratkaiseva tekijä differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä fysiikassa [33]. 3 Matemaattinen ajattelu Matematiikan opetuksen tehtävänä on ohjata oppilasta ajattelemaan mate- maattisten käsitteiden yhteyksiä laajemmissa kokonaisuuksissa [23]. Mate- maattinen tieto voidaan jakaa kahteen eri osaan, konseptuaaliseen ja prose- duraaliseen tietoon. Representaatiot, jotka toimivat matemaattisen ajatte- lun apuvälineinä, sekä tiedon siirtäminen ovat keskeisiä osa-alueita juuri laa- jempien kokonaisuuksien hahmottamisessa. Tässä luvussa on esitelty näitä tarkemmin, minkä tarkoituksena on tuoda tutkimukseen ymmärrettävyyttä. 5 3.1 Proseduraalinen ja konseptuaalinen tieto Proseduraaliselle ja konseptuaaliselle tiedolle on olemassa monia määritel- miä, esimerkiksi Haapasalo [10] on määritellyt konseptuaalisen ja prosedu- raalisen tiedon julkaisussaan "Pitääkö ymmärtää voidakseen tehdä vai pitää- kö tehdä voidakseen ymmärtää?". Konseptuaalinen tieto määritellään siinä seuraavasti: Konseptuaalinen tieto on semanttinen verkko, jonka solmujen ja linkkien tulkitsemiseen ja rakentamiseen yksilö kykenee osal- listumaan, tiedostaen ja ymmärtäen toimintansa perusteet sekä logiikan. Konseptuaalinen tieto rakentuu periaatteiden ja käsitteiden ymmärtämi- sestä. Se sisältää myös kyvyn ymmärtää niiden välisiä suhteita ja taidon soveltaa niitä erilaisissa konteksteissa. Konseptuaalista tietoa ei voi saavut- taa ulkoa opettelemalla, vaan uusi tieto kehittyy, kun tiedon eri sisältöjä ja riippuvuuksia jäsennellään. [11]. Proseduraalisen tiedon määritelmä Haapasalon [10] mukaan: Proseduraalinen tieto tarkoittaa dynaamista ja tarkoituksenmu- kaista sääntöjen, menetelmien tai algoritmien suorittamista käyt- täen hyväksi tiettyjä esitystapoja. Tämä edellyttää tavallisesti näiden esitystapojen pohjana olevien tietojärjestelmän syntaksin ja esitysmuotojen ymmärtämistä, mutta ei sen sijaan välttämät- tä näiden ominaisuuksien tietoista ajattelemista, ainakaan mikäli suoritus on automatisoitunut. Proseduurilla tarkoitetaan vaihe vaiheelta tehtyä matemaattista algorit- mia, jossa jokainen on tehtävä ennen seuraavaan vaiheeseen etenemistä [9]. Proseduurien jono tehtävän annon ja tehtävän vastauksen välillä muodostaa matematiikan koulutehtävän ratkaisun [14]. Tämän määritelmän perusteel- la proseduraalinen tieto koostuu tiedoista ja taidoista käyttää matemaattisia operaatioita sekä algoritmeja. Toisin sanoen se sisältää matemaattiset keinot, joilla ratkaistaan matemaattisia ongelmia sekä suoritetaan laskutoimituksia. Haapasalo & Kadijevich [11] ovat tutkineet, että proseduraalista tietoa on mahdollista kerryttää ja ylläpitää laskurutiineilla, jolloin tietoa on helppo palauttaa mieleen ja soveltaa. Proseduraalista tietoa mitataan pääasiassa ta- vallisilla kokeilla, jotka sisältävät hyvin määriteltyjä tehtäviä. Näillä pysty- tään mittaamaan oppilaan taitoja hallita erilaisia operaatioita symboleita käyttämällä sekä ongelmanratkaisutaitoja jollakin proseduurijonolla. [14]. 6 3.2 Representaatiot Representaatiot määritellään usein ajattelun apuvälineenä. Ne muodostuvat ja rakentuvat niiden käyttämisen myötä. Representaatioita syntyy, kun jokin matemaattinen rakenne esitellään eri esitysmuodossa kuin tavallisesti [20]. Hähkiöniemi [13] jakaa representaatiot ulkoisiin ja sisäisiin representaatioi- hin. Sisäinen representaatio koostuu mentaalisesta kuvasta ja ulkoinen kon- kreettisesta rakenteesta. Esimerkiksi jonkin funktion kuvaaja yksilön mieles- sä on sisäinen ja paperille piirrettynä se on ulkoinen representaatio. Aina ei kuitenkaan ole niin, että ulkoinen puoli on vain sisäisen heijastus, mutta näi- den yhteys on edellytys sille, että representaatiota voi käyttää tehokkaasti. Konseptuaalisessa tiedossa ja sen rakentumisessa muodostetaan yhteyksiä eri representaatioiden välille. Proseduraalisessa tiedossa yleensä käytetään jotakin yhtä representaatiota. Representaatioita voidaan muuttaa toisiksi ja vaihdella eri operaatioiden avulla. Useiden representaatioiden käyttäminen auttaa konseptuaalisen tiedon kehittymisessä. [11, 24]. Tässä työssä representaatioita tarkastellaan matematiikan, ja etenkin ku- vaajien sekä kulmakertoimen, näkökulmasta. Matematiikassa opetetaan tai- toja, joiden avulla voidaan muotoilla sekä tulkita taulukoita, kuvaajia ja kaa- voja. Nämä taidot ovat oppilaalla ikään kuin työkaluina, joita tarpeen vaa- tiessa voi käyttää. Juuri näitä työkaluja kutsutaan representaatioiksi, joita oppilas käyttää konseptuaalisen tiedon rakentamiseksi. [30]. Potgieter, Harding ja Engelbrecht [30] tarkastelevat tutkimuksessaan al- gebrallisen sekä graafisen tiedon siirtämistä sekä representaatioiden merkitys- tä sen onnistumisessa. Kuvaajiin liittyvät representaatiot ovat tärkeitä, sillä ilman niitä olisi vaikeaa hahmottaa muuttujien välisiä suhteita yhtä tarkas- ti. Kuvaajista on mahdollista havaita visuaalisesti sekä suuria määriä tietoja että hyvinkin yksityiskohtaisia asioita. Kun oppilas rakentaa tai tulkitsee ku- vaajaa, hän rakentaa representaatioita siitä, mitä näkee ja yhdistää niitä jo valmiina oleviin representaatioihinsa. Näin hän pyrkii laajentamaan ymmär- rystään asiasta. Representaation laajentaminen ja kehittäminen johtaa oppi- misprosessiin. Eri oppilaan tulkitessa samaa kuvaajaa, saattaa hänellä "ak- tivoitua" täysin erilaisia representaatioita. Representaatiot voivatkin esittää täysin erilaisia asioita eri ihmiselle. Esimerkkinä tästä on oppilas, joka käyttää kuvaajan jyrkkyyttä funktion kulmakertoimen/derivaatan representaationa. Sillä tarkoitetaan, että jyrk- kyys on työkalu, jonka avulla oppilas hahmottaa ja oivaltaa funktion käyt- täytymistä, kuten sen maksimikohdan (derivaatan nollakohta). Oppilaan kä- sitys kulmakertoimesta ja derivaatasta on muodostunut ja muotoutuu edel- leen representaatioiden käyttämisen myötä. Representaation ulkoinen puoli voi olla tässä tilanteessa vaikkapa paperille piirretty kuvaaja, jonka jyrkkyy- 7 den voi silmin havaita. Se sisältää myös sisäisen puolen, sillä kaikille ihmisille saman kuvaajan näkeminen paperilla ei tuo mieleen derivaattaa. [13, 30]. Sisäisen ja ulkoisen representaation yhteyden lisäksi tässä työssä ollaan kiinnostuneita graafisten ja algebrallisten representaatioiden välisistä vuoro- vaikutuksista. Potgieter ym. [30] esittelevät kaksi erilaista lähestymistapaa funktioiden tarkasteluun: prosessiperspektiivin ja objektiperspektiivin. Pro- sessilla viitataan algebralliseen ja objektilla graafiseen perspektiiviin. Proses- siperspektiivistä katsottuna funktion ajatellaan olevan linkki x- ja y-arvojen välillä. Sijoittamalla jonkin x-arvon lausekkeeseen, saadaan selville y-arvo. Objektiperspektiivi sen sijaan tarkoittaa, että funktio nähdään itsenäisenä kokonaisuutena. Funktion kuvaaja on objekti, jota voidaan liikuttaa esimer- kiksi peilaamalla tai kiertämällä. Funktion käsitteen syvä, konseptuaalinen ymmärrys, voi syntyä vain, jos sitä tarkastellaan objektiperspektiivistä. Käytetystä perspektiivistä huolimatta oppilaalle syntyy sekä graafisia et- tä algebrallisia representaatioita, jotka usein jäävät erillisiksi. Jotta konsep- tuaalista tietoa rakentuisi, oppilaalla on oltava vahvoja aiempia representaa- tioita, joihin uutta informaatiota on mahdollista yhdistää. Tähän vaikuttaa olennaisesti se, että oppilas hahmottaa, mitä on kuvattuna (funktio) ja miten (funktion kuvaajan tulkitseminen). [1, 30]. 3.3 Tiedon siirtäminen Tiedon siirtäminen (transfer of knowledge) perustuu siihen, että tietoa pysty- tään siirtämään tilanteesta ja kontekstista toiseen ja se pystytään liittämään uuteen tilanteeseen, jossa sille on tarvetta [30]. Tämä tarkoittaa kognitiivis- ten tapahtumien aktivoitumista. Tieto nähdään työvälineinä, jotka on varas- toituna oppijan muistiin ja niitä voidaan tarpeen vaatiessa käyttää. Oppijan on siis osattava käyttää oikeaa työvälinettä oikeaan aikaan. Toisaalta jotkut tutkijat esittävät, että oppijan kognitiiviset prosessit rakentuvat kontekstin, oppijan aktiivisuuden, työvälineiden ja niiden vuorovaikutuksen mukaan. On näin ollen mahdollista, että oppija osaa käyttää jotakin matematiikassa oppi- maansa oikean elämän tilanteissa, mutta ei osaa rakentaa siitä mitään yleistä periaatetta [2, 16, 26]. Tiedon siirtäminen tapahtuu usein tilanteessa, jossa jotakin opittua voi- daan hyödyntää jonkin uuden asian oppimisessa. Varsinkin proseduraalinen tieto siirtyy tällä tavalla. Konseptuaalisen tiedon tapauksessa tiedon siirtä- minen tai siirtämisen onnistuminen ei ole yhtä selvää. [30]. Matematiikassa tämä tarkoittaa, että vanhoja tietoja voidaan käyttää yleisenä kehyksenä yksityiskohtaisempien uusien tietojen sisällyttämiseen ja oppimiseen. Tiedon siirtyminen matematiikassa ja etenkin matematiikasta sen ulkopuolelle on kuitenkin havaittu olevan hankalaa. Aiempien esimerk- 8 kien sisältämiä abstrakteja tietoja ei välttämättä osata käyttää. Vanhoista esimerkeistä mieleen muistuu asioita, joilla on erityisiä yhtäläisyyksiä eikä asioita, joilla on yhteinen rakenne uuden asian kanssa. [30]. 4 Kuvaajat 4.1 Kuvaajien tulkitseminen Kuvaaja on symbolinen esitysmuoto muuttujien välisille suhteille. Kuvaaja näyttää yksinkertaiselta, mutta usein graafinen esitys sisältää paljon infor- maatiota, jonka saavuttamiseksi on osattava tulkita sitä. [3, 16]. Kuvaajan tulkitseminen tarkoittaa, millaisia toimintoja käytetään, jotta saadaan selvil- le, mitä tilannetta tai riippuvuussuhdetta kuvaaja esittää. Tulkitsija (usein oppilas) siis antaa kuvaajalle merkityksen ja sisällön, mitkä pohjautuvat hä- nen omiin representaatioihinsa. [17]. Huomionarvoista on myös kyky kiinnit- tää huomio olennaisiin, katsojan kannalta tarpeellisiin, yksityiskohtiin. Tul- kinta voi olla globaalia tai lokaalia, sekä kummassakin tapauksessa joko kva- litatiivista tai kvantitatiivista. Kuvaajan tulkitseminen globaalisti keskittyy koko kuvaajaan ja lokaali sen sijaan kiinnittää huomion yksittäiseen pistee- seen. [16]. Hattikudur ym. [12] määrittelevät tutkimuksessaan kvantitatiivi- sen sekä kvalitatiivisen kuvaajan. Kvantitatiivisella eli määrällisellä tulkin- nalla viitataan täsmällisyyteen sekä laskennallisuuteen ja kvalitatiivisella eli laadullisella tulkinnalla suurempiin linjoihin sekä kokonaisuuksiin. Kvalita- tiiviset kuvaajat eivät sisällä muuttujien tarkkoja arvoja eivätkä muutakaan numeerista informaatiota. Akselit voivat olla määriteltyjä, esimerkiksi viik- kojen tai ansaitun rahan mukaan, jolloin oppilaan on keskityttävä yleisiin suhdanteisiin sekä kokonaisuuteen tulkitakseen kuvaajaa ja muuttujien väli- siä vuorovaikutuksia. Kvantitatiivisissa kuvaajissa muuttujat saavat tarkkoja arvoja ja niistä voidaan määrittää numeerisesti esimerkiksi kulmakerroin ja y-akselin leikkauspiste. Kuvissa 1 ja 2 esimerkit molemmista tapauksista Kuvaajaa tulkittaessa tulkitsijalla on kaksi ulottuvuutta, joiden välillä hän liikkuu mielessään: piirretty kuvaaja ja kuvaajan esittämä tilanne. Näi- den lisäksi matemaattisiin kuvaajiin yhdistyy kolmas ulottuvuus, matemaat- tinen malli. Funktio kuvastaa matemaattista mallia, jonka perusteella kuvaa- ja on muodostunut/muodostetaan. Algebrallisen ajattelun (matemaattinen malli) ja graafisen ajattelun (kuvaajan) välillä tapahtuva liikkuminen on lä- hes aina kuvaajan kvantitatiivista tulkitsemista. [31]. Kun kuvaajan avulla on esitetty jokin konkreettinen tilanne tai tapahtuma, tulkinta tapahtuu usein kvalitatiivisesti. Tulkitsija tarkastelee tapahtuman visuaalista mielikuvaa se- kä symbolista esitystä ja liikkuu näiden ulottuvuuksien välillä. On myös mah- 9 Kuva 1: Kvantitatiivinen kuvaaja [12] Kuva 2: Kvalitatiivinen kuvaaja [12] dollista, että yhtä kuvaajaa tarkasteltaessa käytetään kaikkia ulottuvuuksia yhtä aikaa. [17]. Kuvaajien tulkitseminen voidaan jakaa erilaisiin osiin sen mukaan, kuin- ka syvällisesti niitä tulkitaan. Osa-alueet ovat: yksittäisen pisteen koordi- naattien lukeminen, käyrän interpoloiminen ja ekstrapoloiminen, muuttujien välisen suhteen ymmärtäminen sekä kahden käyrän informaation yhdistämi- nen. Osa-alueilla tapahtuvat toiminnot ja tulkinnat voivat olla joko kvali- tatiivisia tai kvantitatiivisia. Esimerkiksi kuvaajan kulmakerrointa voidaan tulkita kvalitatiivisesti muutosnopeutena jollakin hetkellä suhteessa muuhun kuvaajaan tai kvantitatiivisesti tarkasti laskemalla sen arvo. [17, 18]. Kuvaa- jien hahmottamista voidaankin tarkastella osa-alueittain niiden haastavuu- den perusteella. Frielin [6] mukaan on olemassa kolmen tasoisia kognitiivisia edellytyksiä, jotta oppilas osaa tulkita graafista representaatiota: kuvaajan datan lukeminen, datan välistä lukeminen sekä datan ohi lukeminen. Glazer [7] on antanut esimerkkejä edellä mainituista tasoista teoksessaan Challenges with Graph Interpretation: A Review of the Literature. Kuvaajan datan lu- kemisella tarkoitetaan pisteiden koordinaattien lukemista, mikä on kaikista helpoin tehtävätyyppi. Tämän tyyppisisissä tehtävissä haluttu informaatio on esitetty kuvaajassa selvästi ja tulkitsijan tarvitsee vain osata löytää piste kuvaajalta ja lukea sen arvot. Kysymys voisi olla esimerkiksi "Kuinka monta autoa myytiin vuonna 1980?". Keskimmäisellä tasolla tulkitsija osaa interpo- loida ja tulkita muuttujien välisiä suhteita, esimerkiksi vastata kysymykseen "Mikä on autojen myynnin ja moottorin koon välinen suhde vuosina 1970- 1985?". Viimeisellä, korkeimmalla, tasolla ekstrapoloidaan sekä analysoidaan kuvaajan ulkopuolista tietoa. Esimerkkinä tästä on kysymykset, "Kerro au- tojen myynnin vaihteluista kahden moottorin koon välillä." tai "Millainen 10 sää on huomenna?". Planinic, Milin-Supus, Katic, Susac & Ivanjek [25] määrittelevät avaruu- dellisen hahmotuskyvyn (spatial ability) intuitiona muodoista ja niiden väli- sistä suhteista eli kykynä luoda, säilyttää, hahmottaa ja muokata visuaalisia kuvia. Avaruudellinen hahmottaminen edesauttaa kuvaajien tulkitsemista. Avaruudellinen hahmotuskyky on tärkeää myös luonnontieteissä. Se vaikut- taa oppilaan kykyyn ratkaista esimerkiksi fysiikan ongelmia, jotka sisältävät avaruudellisia muuttujia. Sen on havaittu myös vaikuttavan ihmisen kykyyn sisäistää konseptuaalista tietoa, sillä avaruudellinen hahmotuskyky voi vah- vistaa ihmisen kykyä oppia. Tulkitsijan kognitiivinen kyvykkyys vaikuttaa siis olennaisesti tulkintaan. Kuvaajan tulkitseminen onnistuu, jos oppilas osaa tunnistaa systeemin omi- naisuudet. Tällä tarkoitetaan sekä yksityiskohtien löytämiseen liittyviä että kokonaisuuksien hahmottamiseen liittyviä ominaisuuksia. Representaatioilla ja niiden käyttämisellä, mielikuvilla sekä muistilla on myös oma osansa vai- kuttamassa tulkitsemisessa [18]. Ennakkokäsitykset ja konseptuaalinen tie- to kuvaajan käsittelemästä aihealueesta sekä matematiikasta luovat pohjan, jonka avulla tulkitsija rakentaa lopputuloksen. Jos lopputulos on samanlai- nen kuin tulkitsijan aiemmat aiheeseen liittyvät representaatiot, vahvistuvat ne edelleen. On kuitenkin myös mahdollista, että lopputulos eroaa ennakko- käsityksistä. Tällöin tulkitsija muokkaa aiempia representaatioitaan ja ku- moaa aiemmat ennakkokäsityksensä. Tulkinta nähdään siis prosessina, jossa omaa tietoaan on mahdollista kerryttää tai muokata vastaamaan tilannetta. [16, 17]. Tehtävätasolla onnistunut tulkinta edellyttää, että tunnistaa akseleiden yksiköt sekä osaa tulkita kuvaajan käyttäytymistä. Tämä vaatii avaruudel- lista hahmotuskykyä sekä formaalista operationaalista päättelyä. Kuvaajan sisältämää tietoa on hankala tulkita, jos tulkitsijalle ei ole kehittynyt tarvit- tavaa loogista päättely- ja hahmottamiskykyä. Oppilaan loogisen päättely- kyvyn ja kuvaajien tulkitsemisen välillä onkin havaittu olevan positiivinen korrelaatio. Jos hahmottamiskyky ei ole tarpeeksi kehittynyt, kuvaaja näh- dään visuaalisesti pelkkänä kuvana ja sen ominaisuuksia ei osata tulkita. [16, 25]. 4.2 Tiedon siirtyminen algebrallisen ja graafisen ajatte- lun välillä Leinhardtin [17] mukaan funktioiden sekä kuvaajien tulkitsemisessa algebral- liset ja graafiset representaatiot ovat hyvin erilaiset ulottuvuudet, joita yhdis- tämällä voidaan määritellä matemaattisesti funktion käsite. Funktioita sekä 11 niiden kuvaajia ei voida tarkastella erillisinä asioina, vaan ne muodostavat keskenään kommunikoivan systeemin. Tästä syystä kuvaajia ei voida tulkita ainoastaan graafisina esityksinä ja funktioita algebrallisina esityksinä, vaan niiden välillä liikuttaessa myös tiedon on siirryttävä algebrallisen ja graafisen ajattelun välillä. Esimerkkinä algebrallisen ja graafisen ajattelun yhdistämisen tärkeydestä on Potgieterin ym. [30] tutkimus matemaattisen tiedon siirtämistä kemiaan. Ilman matematiikkaa olisi käytännössä mahdotonta tutkia tai havainnollis- taa luonnontieteitä, kuten kemiaa. Kuitenkin kemiassa esiintyvä matematiik- ka tuottaa usein hankaluuksia oppilaalle, vaikka se ei matemaattisesti ajatel- tuna olisikaan vaikea ymmärtää. Sen osaaminen edellyttää usein kvantitatii- visia taitoja, jolloin matematiikan "työkaluja"pitäisi osata laajentaa kemian ongelmiin. Toisin sanoen oppilaan on osattava siirtää matematiikassa oppi- miansa asioita uuteen, ei matemaattiseen, tilanteeseen. Esimerkkinä oppilas, joka menestyy algebrassa, mutta ei kemian oppitunnilla erota muuttujaa va- kiosta. Algebrallisilla taidoilla tarkoitetaan symbolisten esitystapojen käytön ja niiden muokkaamisen osaamista matematiikassa ja lisäksi kohdeaineen, tässä tapauksessa kemian, konseptien osaamista. Graafiset taidot ilmaisevat, mi- ten oppilas osaa esittää algebrallisen asian graafisesti. Vaikeudet siirtää al- gebrallista osaamista graafiseen esitykseen saattavat johtua siitä, että mate- maattisessa konseptuaalisessa ymmärryksessä on puutteita tai tietoa ei osata muuttaa kontekstista toiseen. [30]. Vaikka tässä on kyseessä tiedon siirtämi- nen matematiikasta kemiaan, samankaltaisia hankaluuksia on havaittu myös muissa tieteissä. Planinic ym. [26] mukaan tutkimuksissa on havaittu, että tiedon siirtäminen tehokkaasti onnistuu todennäköisimmin silloin, kun oppi- las on nähnyt käytetyn prosessin ainakin kahdessa eri kontekstissa. Mitä enemmän oppilaalla on proseduraalisia algebrallisia taitoja (pro- sessiperspektiivi), sitä menestyksekkäämmin hän osasi siirtää niitä kemiaan. Proseduraalinen tieto jollakin alalla ja sen soveltaminen toiseen, johtaa sii- hen, että omaksuu uutta proseduraalista tietoa. Tämä havaittiin selkeästi kemian ja matematiikan välillä, kun kyseessä oli algebrallisia tehtäviä. Vaik- ka oppilailla olikin hyvät ja yhtenevät algebralliset representaatiot kemiassa ja matematiikassa, heidän kykynsä siirtää näitä graafisiin representaatioihin oli heikkoa. Algebrallisen tiedon soveltaminen graafiseen tuotti vaikeuksia jo pelkästään matematiikassa. Oppilas saattoi esimerkiksi todeta täysin oikein, että funktio saa myös negatiivisia arvoja ja tämän jälkeen piirtää kuvaajan, jossa funktio ei mene lainkaan x-akselin alapuolelle. Graafiset representaa- tiot tuntuvat olevan irrallisia algebrasta, eivätkä oppilaat osaa muodostaa yhteyttä näiden välille. [30]. 12 4.3 Kontekstin vaikutus tulkintaan Tiedon siirtyminen on olennainen osa ongelmanratkaisussa, jossa konteksti onkin eri kuin mihin tulkitsija on tottunut. Kontekstin vaikutusta kuvaa- jien tulkinnassa on tutkittu monesti. Eri tieteen aloilla usein oletetaan, että kuvaajan tulkitsijalla on hallussaan matematiikan työkalut ja hän käyttää niitä uudessa kontekstissa, oli se sitten tuttu tai täysin uusi. Näin ei kui- tenkaan aina tapahdu, vaan matematiikan tietojen siirtämisessä ja sovelta- misessa esiintyy monenlaisia hankaluuksia. Tutkimuksissa on myös todettu, että vaikeudet kuvaajien tulkinnassa tai tuottamisessa, esimerkiksi fysiikas- sa, eivät välttämättä johdu matemaattisen tiedon puutteista. Usein oppi- lailla on tarvittavat matemaattiset työkalut, mutta se ei takaa, että niiden käyttäminen onnistuu, kun tarkastellaan kuvaajatehtäviä uudessa, erilaisessa kontekstissa. [17]. Toisaalta on myös muistettava, että kontekstin lisääminen matemaattiseen tehtävään kasvattaa sen vaikeustasoa, sillä ratkaisuproses- sisssa on tällöin yksi askel enemmän: kontekstin tulkitseminen ja muunta- minen matemaattiselle kielelle. Välillä kontekstin lisääminen tehtävään taas näytti tekevän ratkaisusta intuitiivisemman ja näin ollen helpomman. Tiiviis- ti ilmaistuna hankaluudet tiedon siirtämisessä eri kontekstien välillä voidaan jakaa kolmeen eri kategoriaan: 1) oppilaalla ei ole sopivaa tietoa käytettäväk- si, 2) tietoa on, mutta se ei aktivoidu tarkasteltavan tehtävän kohdalla tai 3) tieto aktivoituu, mutta sitä ei osata soveltaa tarkoituksen mukaisesti. [1, 26]. Oppilaan törmätessä kuvaajaan jossakin kontekstissa, joutuu hän pohti- maan, mitä lähestymistapaa ja mitä tietoja hän tilanteessa tarvitsee. Se, mil- laiset taidot aktivoituvat, riippuu kontekstista, oppilaan aiemmista represen- taatioista sekä kulttuurillisista odotuksista. Tämän lisäksi tietojen aktivoitu- miseen vaikuttaa oppilaan kyky laajentaa osaamistaan toisesta kontekstista toiseen. Keskeistä on myös se, tapahtuuko tietojen kontekstista toiseen siir- tämisen aikana oppimista eli voidaanko sen ajatella olevan tiedon uudelleen rakentamista/jäsentelyä eikä ainoastaan sen käyttämistä eri tilanteeseen. Planinic ym. ovat tutkineet oppilaiden kuvaajien tulkintaa eri konteks- teissa monessa eri artikkelissaan. He toteuttivat tutkimukset vuosina 2013 ja 2016 käyttämällä kolmen kysymyksen settejä, joissa oli rinnakkaisia kysy- myksiä kolmesta eri aihealueesta - matematiikasta ilman kontekstia, fysiikas- ta sekä matematiikasta jossakin kontekstissa (ei fysiikka, esimerkiksi talous). Artikkelissa Student reasoning about graphs in different context [27] on esi- telty heidän löytämiään pääpiirteitä oppilaiden kuvaajien tulkitsemisesta eri konteksteissa: 1. Tulkitsemisstrategiat rinnakkaisissa tehtävissä eri kontekstis- sa ovat usein riippuvaisia sekä kontekstista että aihealuees- ta: Oppilaat käyttivät erilaisia strategioita kuvaajien tulkitsemisessa 13 eri konteksteissa, vaikka tehtävät olivat keskenään hyvin samankaltai- sia. Tämä saattaa olla seurausta siitä, että oppilas ei osaa siirtää tai soveltaa taitojaan aihealueesta toiseen. Toisaalta ongelmat saattavat johtua siitä, että koulussa eri oppiaineita opiskellaan hyvin erillisinä toisistaan, jolloin eri aihealueita lähestytään oppiaineelle tyypillisestä näkökulmasta. 2. Fysiikan kysymyksissä tukeudutaan kaavoihin (usein vääriin sellaisiin): Fysiikan tehtävissä tutkimuksessa huomattiin, että lähes jokainen oppilas yritti soveltaa jotakin kaavaa saadakseen vastauksen, vaikka kyseinen tapa ei olisikaan ollut kovinkaan tuottoisa. Esimerkiksi kulmakerrointa laskettaessa oppilaat tiesivät, että kiihtyvyys lasketaan kaavalla a = ∆v ∆t , mutta laskun edetessä siirtyivät käyttämään kaavaa a = v t . 3. Yleisissä tehtävissä (muu konteksti) käytetään luovempia stra- tegioita kuin fysiikan tehtävissä: Muun kontekstin tehtävät näyt- tivät aktivoivan oppilaiden kognitiivisia resursseja enemmän kuin fysii- kan ja matematiikan tehtävät. Oppilaat käyttivät erilaisia strategioita ja osasivat soveltaa tietojaan kysymyksiin. Samanlaiset ratkaisustrate- giat olisivat johtaneet oikeisiin lopputuloksiin myös fysiikan ja matema- tiikan tehtävissä, mutta oppilaat eivät silti toimineet vastaavasti näissä tehtävissä. Oppilaat siis vaikuttivat ajattelevan luovemmin ja keksivän ratkaisuja ongelmatilanteisiin paljon tehokkaammin. 4. Kontekstista riippumatta hankaluudet, joita esiintyy, ovat sa- mankaltaisia: Tyypillisimmät virheet, kuten ikoninen sekaannus, kul- makertoimen ja kuvaajan arvon sekoittaminen sekä välin ja pisteen se- koittaminen, esiintyivät vastauksissa kaikissa kolmessa aihealueessa. Ne eivät kuitenkaan olleet yhtä yleisiä jokaisessa. 5. Kulmakerroin on epämääräinen käsite - erityisesti sen laske- minen: Oppilaiden perustelut sekä vastaukset olivat hyvin vajavaisia tehtävissä, joissa tarkasteltiin kuvaajien kulmakertoimia. Matematii- kan kysymyksissä kulmakerroin vaikutti vastauksien perusteella hyvin epämääräiseltä käsitteeltä, joka kuvaa, kuinka jyrkkä suora on. Kvali- tatiivisissa tehtävissä tämä tieto on usein riittävä, toisin kuin kvanti- tatiivisissa tehtävissä. Kulmakertoimen ymmärrys muissa konteksteis- sa oli vielä heikompaa. Kaikista eniten vaikeuksia aiheutti negatiivisen kulmakertoimen ymmärtäminen. Kuten tuloksista havaitaan, oppilaat selvästi tarkastelevat kuvaajia kol- messa eri maailmassa: todellisessa maailmassa, fysiikan maailmassa sekä ma- 14 tematiikan maailmassa [37]. Jokaiseen maailmaan liittyy omat uskomuksen- sa sekä ominaisuutensa, jolloin oppilas ei ymmärrä hyödyntää esimerkiksi todellisen maailman toimintatapoja fysiikan kontekstiin. Fysiikan maailman ajatellaan olevan pullollaan yksityiskohtaisia sääntöjä ja kaavoja, joita voi käyttää vain tietyissä tilanteissa. Usein kaavamaisuus on täysin sekä oppi- laan omaa, intuitiivista päättelyä että todellisen maailman ilmiötä vastaan. Todellisen maailman tilanteita oppilas pitää monimutkaisina ja hankalina tulkita, jolloin niitä on myös työläs analysoida. Matematiikan maailma pe- rustuu muuttujiin ja vakioihin liittyviin kaavoihin ja sääntöihin. Kuvaajat eivät sisällä yksiköitä ja akselit kuvastavat vain x- ja y-arvoja, jolloin link- ki todelliseen maailmaan jää kokonaan puuttumaan. Jokaisessa ympäristössä on omat norminsa, joita käyttämällä oppilas pyrkii ratkaisemaan ongelman. [17, 37]. Kun kuvaajien tulkitsemista on vertailtu fysiikan ja matematiikan välil- lä, on alettu pohtia, onko suuresta matematiikan määrästä fysiikan kursseilla haittaa fysiikan konseptuaalisen tiedon kehittymiselle. Woolnough [37] poh- tii tutkimuksessaan jääkö oppilaille "tilaa" kehittää fysiikan konsepteja, sillä oppilaiden on jo valmiiksi siirrettävä paljon matemaattista tietoa ja taitoa fy- siikan ongelmien ratkaisemiseksi. Konseptien sisäistäminen ei tapahdu sillä, että oppilaat yrittävät parhaansa mukaan parantaa algebrallisia ongelman- ratkaisutaitojaan. Esimerkiksi Newtonin toiseen lakiin F = ma liittyvät on- gelmanratkaisutehtävät sisältävät usein vain numeerista ja algebraan perus- tuvaa yhtälönratkaisua. Fysiikkaa yhtälön taustalla ei tarvitse edes ajatella, jolloin linkki matemaattisten toimintojen ja fysiikan välillä jää puuttumaan. Matemaattisen osaamisen soveltaminen uuteen kontekstiin vaatii myös, että oppilaalla on hyvät konseptuaaliset tiedot molemmista aiheista. Linkin puuttuminen saattaa siis viestiä heikosta konseptuaalisesta tiedosta fysiikas- sa. Osittain vaikeudet yhtäläisyyksien hahmottamisessa johtuvat siitä, että matematiikka on niin abstraktia. Fysiikassa kuvaajat kuvaavat jotakin kon- kreettista tilannetta, esimerkiksi matkaa ajan funktiona, jolloin kuvaajaa lä- hestytään maanläheisemmästä näkökulmasta, eikä matemaattista tietoa ym- märretä siirtää niiden tulkitsemiseen. [25]. 5 Kulmakerroin 5.1 Kulmakertoimen määritelmä Matematiikassa kulmakerroin on kaksiulotteisessa koordinaatistossa y-koordinaatin muutoksen ∆y ja sitä vastaavan x-koordinaatin muutoksen ∆x suhde, joka kuvastaa suoran kaltevuutta. Kulmakerrointa merkitään yleensä kirjaimella 15 k ja se ilmaisee myös sen, onko suora nouseva vai laskeva. [15]. Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on k = ∆y ∆x = y2 − y1 x2 − x1 , kun x1 6= x2. [40]. Kuva 3: Kulmakertoimen määritelmä [40] 5.2 Kulmakerroin käsitteenä Yleisesti matemaattinen käsite on usein esitettävissä monella eri tavalla. Ta- vallisimmin esittäminen onnistuu parhaiten esimerkkien sekä kuvien avul- la. Stumpin [33] sekä Lingefjärdin & Farahanin [18] mukaan tavoitteena on, että käsitteestä muodostuisi mahdollisimman kattava kokonaisuus oppilaal- le. Kattavalla kokonaisuudella tarkoitetaan sitä, että oppilaan representaa- tiot käsitteestä ovat monipuolisia ja hyvin toisiinsa linkittyneitä. Se, kuinka monta erilaista representaatiota oppilaalla on tietystä käsitteestä, on merkit- tävässä osassa siinä, kuinka hyvin hän osaa käyttää sitä ongelmanratkaisus- sa. Jotta ongelmanratkaisu olisi mahdollisimman tehokasta ja onnistunutta, representaatioiden pitää olla vahvasti ja oikein linkitettyjä toisiinsa. Tällöin oppilas pystyy vaihtamaan representaatiota tai näkökulmaa tarvittaessa, jo- pa tehtävän aikana. Kulmakerroin on matematiikassa hyvin keskeinen käsite, jonka avulla voi- daan kuvailla funktion (tai pelkän kuvaajan) käyttäytymistä. Sen avulla voi- daan myös hahmottaa algebrallisen ja graafisen puolen yhtäläisyydet funk- tioiden ja niiden kuvaajien välillä. Käsitteenä kulmakerroin voidaan määritel- lä monella eri tavalla, riippuen siitä, mistä näkökulmasta sitä tarkastellaan. Kulmakertoimen hahmottaminen, ymmärtäminen sekä sen soveltaminen ovat yhteydessä juuri valittuun näkökulmaan. Se, ajatellaanko sen olevan esimer- kiksi vain jokin geometrinen ominaisuus, jonka voi visuaalisesti havaita, vai 16 ajatellaanko sen kuvaavan muuttujien välisiä suhteita, on näkökulman va- linnasta riippuvaista. [32, 33]. Monissa tutkimuksissa [29, 32, 34, 38] on ha- vaittu, että kulmakerroin on monille epämääräinen käsite ja usein oppilas ei osaakaan perustella, mitä kulmakertoimella tarkoitetaan. Vaarana tässä on se, että oppilas luulee kulmakertoimen olevan eri asia eri näkökulmasta pe- rusteltuna. Esimerkkinä tästä tilanteet, joissa kuvaajan muutosnopeuden ei ajatella olevan sama asia kuin kuvaajan kulmakerroin tai kuvaajan jyrkkyyt- tä ei määritetä laskemalla kulmakertoimen arvo. Kulmakertoimen käsitteen moninaisuus ja hankaluus tulee esille myös silloin, kun se esiintyy muissa konteksteissa kuin matematiikassa. Vaikka oppilas osaisi hahmottaa kulma- kertoimen funktion käyttäytymisen mittariksi, ei se näytä tarkoittavan, että hän ymmärtää kulmakertoimen esimerkiksi fysiikan tehtävässä, jossa tarkas- tellaan kiihtyvyyttä. 5.3 Kulmakerroin mittana - todellisen maailman tilan- teet Monet todellisen maailman tilanteet sisältävät kulmakertoimen käsitteen, mutta sen merkitys ja "abstraktius" vaihtelevat. Usein kulmakertoimen aja- tellaan mittaavan jotakin. Stump [35] on keskittynyt tutkimuksessaan to- dellisen maailman tilanteisiin, joissa kulmakerroin esiintyy kahdenlaisissa ta- pauksissa. Nämä voidaan jakaa fysikaalisiin ja funktionaalisiin tilanteisiin. Fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi mäet, kulmakerroin ajatellaan jyrkkyy- den mittariksi. Funktionaalisissa tilanteissa, esimerkiksi hinnan muutoksissa ja aika vs. matka-kuvaajissa, kulmakerroin mittaa muutosnopeutta. Jotta op- pilaille syntyisi konkreettinen ja ymmärrettävä käsitys kulmakertoimesta, on hyödyllistä käyttää todellisen maailman esimerkkejä. Niihin liittyvät repre- sentaatiot ovat oppilaalle helpompia ymmärtää ja omaksua itselleen. Ne kai- kessa konkreettisuudessaan auttavat myös kulmakertoimen abstraktimman puolen sisäistämisessä. Vaikka todellisen maailman esimerkit helpottavat kä- sitteen omaksumista, ei voida olettaa, että oppilaat automaattisesti ymmär- tävät kulmakertoimen mittaavan jotakin. Opettajan rooli on tässä keskeinen, sillä oppilas helposti luulee todellisen maailman esimerkkien olevan vain esi- merkkejä, joiden avulla kulmakerroin voidaan kuvailla visuaalisesti. Ne yh- distyvät kokonaisuudeksi vain, jos oppilas tarkoituksen mukaisesti muodostaa yhteyksiä geometristen, algebrallisten sekä todellisen maailman representaa- tioiden välille [34]. Kummassakin tilanteessa oppilaiden hankaluudet liittyvät haparointiin kulmakertoimen määritelmän ja käsitteen saralla. Kun kulmakerrointa käy- tetään jyrkkyyden mittarina, huomataan, että oppilas ei konkreettisesti ym- 17 märrä, mitä kulmakerroin ilmaisee. Esimerkiksi vertailtaessa kolmea eri hiih- toramppia, oppilas ei osannut yhdistää suurinta kulmakerrointa jyrkimpään ramppiin. Myös kuvaajan ja akselin välinen kulma ja kulmakerroin sekoi- tetaan. Funktionaalisissa tilanteissa oppilaiden hankaluudet johtuvat siitä, että kulmakerroin on näissä tehtävissä abstraktimpi. Se ei enää kuvaakaan mitään konkreettista, kuten jyrkkyyttä, jolloin on sen laskemisen lisäksi osat- tava hahmottaa, mitä se kuvaa. Kaikista intuitiivisin tapaus funktionaalises- ta tilanteesta on "rate of growth-problem", jossa jokin kasvaa/lisääntyy ajan suhteen. Vaikka tapaus onkin intuitiivinen ja oppilas osaa ratkaista muutos- vauhdin, hän ei välttämättä ymmärrä asiaa graafisesti. [35]. Vaikka kulmakerroin kuvaa edellä mainituissa tilanteissa hyvin erilaista asiaa, Stumpin [35] mukaan ei voida sanoa, kumman osaamisesta olisi enem- män hyötyä matematiikan ulkopuolisissa konteksteissa. Vahva kulmakertoi- men ymmärrys sisältää kyvyn osata käyttää molempia sujuvasti. Oppilaita pitäisikin rohkaista ajattelemaan, mitä kulmakerroin edustaa kussakin kon- tekstissa, jolloin heille syntyy käsitys, mitä eroja ja yhtäläisyyksiä tilanteissa on. Oppilaan olisi samalla hyvä nähdä, miltä erilaiset vuorovaikutussuhteet näyttävät graafisesti. Näin hän pystyy vertailemaan tilanteita ja luomaan omia representaatioita erilaisista todellisen maailman konteksteista. Tämä luo oppilaalle pohjan kulmakertoimen konseptuaalisesta ymmärryksestä. 5.4 Näkökulmia kulmakertoimesta Stumpin [33] tutkimuksen perusteella kysymyksen Mikä on kulmakerroin? vastauksissa esiintyi kaikista eniten geometrisia tulkintoja. Kulmakerroin tul- kittiin siis kahden pisteen välisenä suhteena eli nousuna suhteessa matkaan. Toisena yleisenä näkökulmana oli funktionaalinen näkökulma: kuinka pal- jon toisen muuttujan arvot muuttuvat, kun toinen muuttuja muuttuu tietyn määrän (esimerkiksi x = 3y). [32, 34]. Stanton [32] pohtii tutkimuksessaan, että geometrisen tulkinnan yleisyys johtuu oletettavasti siitä, että kulmaker- toimen opetuksessa ja tulkinnassa keskitytään pisteiden sijoittamiseen koor- dinaatistoon sekä kuvaajien piirtämiseen, jolloin kulmakerroin helposti aja- tellaan geometrisena ominaisuutena. Stump [33, 34] on päätynyt tutkimuk- sissaan samoihin päätelmiin. Planinic kollegoineen [25, 26, 27, 28, 29] on tutkinut kulmakertoimen ym- märrystä eri näkökulmista, sillä se on tärkeä konsepti matematiikassa ja sen osaamista edellytetään monilla muillakin kentillä. Matematiikassa esimerk- kinä differentiaali- ja integraalilaskenta, jossa teoriatausta ja kaavat pohjau- tuvat kulmakertoimeen (gradienttiin). Fysiikassa ja kemiassa kulmakerroin on myös keskeinen, sillä sen avulla on mahdollista esittää muuttujien väli- siä suhteita ja luoda niistä kaavoja. Esimerkkejä gradienteista fysiikassa ja 18 kemiassa ovat nopeus, kiihtyvyys sekä reaktionopeus. Kulmakerrointa käyte- tään myös monilla muilla tieteen aloilla sekä todellisessa maailmassa, kuten taloudessa. Kaikissa aiheissa kulmakerroin pohjimmiltaan kuvaa samaa asi- aa, vain sen tarkastelunäkökulma saattaa olla erilainen. Juuri tämän vuoksi vaarana on, että tulkitsija/oppilas ei ymmärrä, että kyse on jokaisessa eri kontekstissa täysin samasta asiasta. Ensimmäinen askel kulmakertoimen ymmärtämisessä Planinicin ym. [25] mukaan on ymmärtää, että kuvaaja on symbolinen representaatio kahden muuttujan välisestä suhteesta. Kun tämän asian hahmottaa, on mahdollis- ta ymmärtää, mitä kulmakerroin kuvastaa kussakin tilanteessa. Kulmaker- toimen laskeminen yhdistyykin loogiseen päättelyyn, avaruudelliseen hah- motuskykyyn sekä aiempiin matemaattisiin "saavutuksiin", kuten jo kuvaa- jien tulkitsemisen kohdalla todettiin. Aiemmilla matemaattisilla saavutuk- silla tarkoitetaan oppilaan representaatioita aiheesta: millaisia kognitiivisia rakenteita hänelle tulee mieleen käsitteestä sekä miten hän kuvailisi käsitet- tä. Tässä tapauksessa on otettava huomioon sekä geometriset että algebral- liset representaatiot sekä ennen kaikkea niiden yhdistyminen. [34]. Oppilaan tulee siis osata yhdistää geometriset aspektit, kuten koordinaatisto, pistei- den sijoittaminen ja kuvaajan piirtäminen, algebrallisiin aspekteihin, kuten muuttujat, kaavat ja yhtälöiden ratkaiseminen. [32, 34]. Juuri edellä mainittu kyky liitetään kulmakertoimen konseptuaaliseen tie- toon. Se sisältää ymmärryksen eri representaatioiden välisistä suhteista sekä ymmärryksen kulmakertoimesta jyrkkyyden ja muutosvauhdin mittana to- dellisen maailman tilanteissa. Proseduraalinen tieto kulmakertoimesta sisäl- tää toiminnot ja säännöt sen laskemiseksi. Oppilas siis osaa käyttää tarvit- tavia symboleita, kuten m yhtälöstä y = mx+ b ja kaavoja, kuten ∆y ∆x . Näitä taitoja yhdistelemällä oppilaalla on kattava käsitys kulmakertoimesta ja hän osaa soveltaa sitä eri konteksteissa. [34]. Tutkijat ovat havainneet, että mitä vähemmän matemaattista tietoa tul- kitsijalla on, sitä useammin kulmakertoimen ajatellaan kuvastavan jyrkkyyt- tä. Tämä on melko intuitiivista, sillä se on visuaalisesti helppo hahmottaa. Kvalitatiivisesti tarkasteltuna tämä tulkinta usein onkin täysin riittävä, mut- ta se ei riitä suoriutumaan kvantitatiivisista tarkastelua vaativista ongel- mista. Kvantitatiivisissa kulmakerrointehtävissä matemaattisen proseduurin hallitseminen on välttämätöntä. Kuitenkin on myös mahdollista, että mate- maattisen kaavan osaaminen ja ulkoa muistaminen häiritsee tulkitsijan loo- gista päättelyä. Jos tulkitsija nojautuu liikaa kulmakertoimen matemaatti- seen kaavaan, jonka liittää kyseiseen tapaukseen, hän samalla tulee poissul- keneeksi loogisen ajattelun ja maalaisjärjen. Suurimmassa osassa tällaisista tapauksista päädytäänkin väärään lopputulokseen, vaikka tehtävä olisikin ol- lut ratkaistavissa täysin järkeilemällä. Maalaisjärki ei kuitenkaan aina auta, 19 sillä siinä keskitytään liiaksi konkretiaan. Konkreettiseen näkökulmaan kes- kittyminen estää oppilasta ajattelemasta formaalisti, jolloin kuvaaja tulki- taan pelkkänä visuaalisena kuvana [25]. Tällöin kulmakerroin esimerkiksi se- koitetaan kuvaajan (tai pisteen) korkeuteen. Kuvaajaa tulkitaan ennemmin- kin jonakin konkreettisena asiana kuin abstraktina ja informaatiota sisältä- vänä, jolloin kulmakertoimen edustama asia jää aivan merkityksettömäksi. [4, 29, 33, 34]. Planinic ym. [25] tutki oppilaiden kulmakertoimen ymmärtämistä mate- matiikassa sekä fysiikassa. Oppilaat menestyivät paremmin tehtävissä, joissa matematiikkaa ei tarvinnut soveltaa erilliseen kontekstiin. Tämä on loogista, sillä esimerkiksi fysiikan tehtävissä oppilaan tarvitsee osata soveltaa mate- maattista tulosta fysiikan kontekstiin. Matemaattinen osaaminen ei siis takaa sitä, että tietoa osaisi soveltaa erilaiseen aihealueeseen. Matematiikan osaa- mattomuus ei ole pääsyy sille, että kulmakertoimen määrittäminen on oppi- laille hankalaa fysiikassa ja muissa oppiaineissa [25]. Christensen & Thomp- son [4] sekä Planinic kumppaneineen [25, 26, 29]) havaitsivat oppilaiden käyt- tävän erilaisia keinoja kuvaajien tulkitsemisessa matematiikassa ja fysiikassa. Ongelmaa lähdetään alusta alkaen lähestymään eri tavalla, jolloin matema- tiikan osaaminen jää varjoon. Tämä johtuu siitä, että linkki matemaattisen ja fysikaalisen maailman välillä puuttuu. 6 Ongelmakohtia kuvaajien tulkinnassa ja kul- makertoimen määrittämisessä Virheitä, joita kuvaajien tulkinnassa ja kulmakertoimen määrittämisessä ta- pahtuu, on tutkittu monesti. Tutkimuksien perusteella on havaittu, että op- pilailla on samankaltaisia ongelmakohtia ja virheitä tulkinnassa iästä riippu- matta. 6.1 Hankaluudet käsitteessä Käsitekuvalla (the concept image) tarkoitetaan kokonaista kognitiivista ra- kennelmaa, joka liittyy kyseessä olevaan käsitteeseen [33]. Se sisältää kaikki mentaaliset kuvat sekä siihen liittyvät ominaisuudet ja prosessit, toisin sa- noen siis sekä sisäiset että ulkoiset representaatiot. Käsitekuva on rakentu- nut ja muokkautunut ajan kuluessa sen oppimiseen ja käyttämiseen liittyvien kokemuksien tuloksena. Käsitteen oikea ja vahva määrittely taas luo pohjan rakentaa tietoja kyseisestä asiasta. Tästä syystä ongelmat kuvaajien tulkitse- miseen liittyen juontavatkin juurensa käsitteiden hallintaan. Ongelmat lähes 20 aina joko johtuvat matemaattisten käsitteiden huonosta ymmärtämisestä tai rajoittavat luonnontieteellisten käsitteiden oppimista. [5, 22]. Tutkijat, kuten Stump [33], ovat huomanneet, että oppilaiden käsitys kul- makertoimesta käsitteenä on usein epämääräinen. Tämä yleensä johtuu sii- tä, että oppilaat eivät osaa yhdistää siihen liittyviä erilaisia representaatioita eivätkä ymmärrä kulmakertoimen ja muutosvauhdin yhteyttä. Kappaleessa 5.2 lueteltiin erilaisia näkökulmia kulmakertoimen tarkasteluun, mistä sel- keästi käytetyin on geometrinen tulkinta. Kun kulmakerroin ajatellaan geo- metrisesti ilman sen yhdistämistä muihin representaatioihin, jää se helpos- ti irralliseksi ominaisuudeksi ja sen merkitystä ei ymmärretä. Tällöin myös matemaattinen ymmärrys on vajavaista. 6.2 Virheet tehtävissä Kriittisin ongelmakohta kuvaajien tulkitsemisessa on kuvaajan tulkitsemi- nen kuvana, sillä se vaikuttaa tulkinnan onnistumiseen niin monella tavalla [1, 19, 27]. Kuvaaja siis tulkitaan objektina tai liikkeen kuvana, jolloin op- pilas luulee kuvaajan esittävän kirjaimellisesti jotakin tilannetta tai liikettä. Vaikka kuvaajan tulkitsisi kuvana, se ei estä yksittäisten pisteiden määrit- tämistä. Tämä johtaa siihen, että pisteitä sekä peräkkäisiä arvoja ei pystytä yhdistämään kuvaajan esittämään asiaan. Esimerkiksi kävelijän liikettä esit- tävän aika-nopeus -kuvaajan käyrä tulkitaan kävelijän reitiksi. Siitä seuraa, että vaakasuorat osiot tulkitaan liikkeen pysähtymisenä. Tällöin on täysin mahdotonta ymmärtää kuvaajan muita ominaisuuksia, esimerkiksi kulma- kerrointa kiihtyvyytenä. Kuvaajan tulkitseminen kuvana johtaa osittain myös käsitykseen, jossa kulmakertoimen arvon ajatellaan muuttuvan kuvaajan arvojen muuttuessa [27]. Kulmakertoimen käsitteen ja kuvaajan korkeuden välillä tapahtuu se- kaannus ja oppilas sujuvasti sekoittaa kaksi täysin eri asiaa keskenään. Se- kaannuksia on havaittu esiintyvän niin kvantitatiivisissa kuin kvalitatiivisis- sakin tehtävissä kaiken ikäisillä. Muutosnopeuden kvantitatiivinen määrittä- minen tarkoittaa kulmakertoimen matemaattista määrittämistä. Esimerkik- si, jos oppilaalta kysytään kulmakertoimen arvoa pisteessä t = 2, hän ajat- teleekin, että kulmakerroin on funktion arvo tässä pisteessä (eli kuvaajan korkeus). Virheitä esiintyy kaikista eniten tilanteissa, jossa kuvaaja ei esitä matemaattista funktiota. Oppilas ei osaa yhdistää tilannetta matemaatti- siin tietoihinsa ja taitoihinsa. Kvalitatiivisessa kulmakertoimen tulkinnassa on kyse muutosnopeuden ja suoran jyrkkyyden välisen yhteyden ymmärtä- misestä. Todellisen maailman tilanteet sisältävät tämän kaltaisia tehtäviä, joissa helposti jätetään huomioimatta akselien muuttujat ja muutosnopeutta koskeviin kysymyksiin vastataan arvon muutoksien mukaan. Tämä saattaa 21 osittain johtua siitä, että kulmakertoimen käsitettä käytetään todellisen maa- ilman tilanteissa eri tavalla. Toisaalta tässäkin tapauksessa syy virheelliseen tulkintaan on matemaattisen tiedon soveltamisen puute. [4, 27]. Fysiikassa virhe ilmenee esimerkiksi paikka-aika-kuvaajissa, kun pitäisi määrittää kap- paleen nopeus. Kuvaajan korkeuden ajatellaan ilmaisevan nopeutta, jolloin kulmakerroin jätetään kokonaan huomioimatta [8, 19]. Sama ajattelutapa esiintyy myös tilanteissa, jossa oppilas luulee, että suoran kulmakerroin ei ole vakio. Glazerin tutkimuksessa [7] esimerkkinä sekaannuksesta on kuva 4, jos- sa on paikka-aika-koordinaatistossa kuvattuna kaksi objektia suorilla, jotka leikkaavat toisensa. Objektien nopeudet eivät ole missään kohtaa samat, sillä suorien kulmakertoimet eivät ole samat. Kuitenkin kun oppilailta kysyttiin "Liikkuvatko objektit A ja B missään kohtaa samalla nopeudella?", moni vastasi nopeuksien olevan samat suorien leikkauspisteessä. Kuva 4: Kulmakerroin ja kuvaajan ar- vo sekoitetaan [7] Kuva 5: Hetkellinen kiihtyvyys oikein laskettuna [39] Kulmakertoimeen liittyy muitakin hankaluuksia. Glazer [7] ja Planinic ym. [27] ovat havainneet, että kulmakerrointa määritettäessä oppilas sekoit- taa välin ja pisteen merkitykset. Välin ja pisteen merkitys sekoittuu, kun oppilas laskee y x , eikä käytä jotakin väliä ∆y ∆x . Tälläisiä virheitä esiintyy esi- merkiksi tehtävissä, joissa vertaillaan kahden populaation kasvua tai pitäisi määrittää hetkellinen kiihtyvyys tv-kuvaajalta. Kuvassa 5 lasketaan hetkel- linen kiihtyvyys kohdassa t = 24 oikein, laskemalla tangentin kulmakerroin. Välin ja pisteen merkityksen sekoittava oppilas ratkaisisi kyseisen tehtävän laskemalla 19m s 24s . Kolmas yleinen virhe kulmakertoimeen liittyen on se, että x- ja y-arvot menevät laskettaessa väärinpäin. Kulmakerroin siis lasketaankin k = ∆x ∆y . 22 Tämä voi johtua monesta eri asiasta, esimerkiksi kaava tai akselien paikat muistetaan väärin. Akselien nimeäminen eri tavalla kuin kaavassa (esim. tv- koordinaatisto) lisää virheen riskiä. Tämän lisäksi kuvaajan ja kulmaker- toimen ominaisuuksien hahmottaminen tuottaa oppilaille hankaluuksia. Esi- merkiksi se, miten kulmakertoimen positiivisuus tai negatiivisuus vaikuttaa suoran käyttäytymiseen. Päättely kulmakerrointehtävissä perustuu usein sii- hen, miltä kuvaaja näyttää. Jos y-arvot vähenevät x-arvojen kasvaessa, oppi- las muistaa, että kyseessä on negatiivinen kulmakerroin. Päättely voi näillä tiedoilla mennä oikein, mutta usein tästä seuraa käsitys, että myös kulma- kerroin muuttuu arvojen muuttuessa. Toisaalta ei myöskään ymmärretä, et- tä kulmakertoimen arvo 3 tarkoittaa sitä, että kun y-akselin arvo muuttuu 3 yksikköä, niin x-akselin arvo muuttuu vain yhden yksikön verran, jolloin lineaarisen suoran kulmakerroin pysyy vakiona. [25, 29, 33]. Matematiikan ulkopuolisessa kontekstissa hankaluuksia aiheuttaa yksiköi- den merkitseminen. Vaikka luonnontieteiden (esim. fysiikka ja kemia) opin- noissa yksiköiden merkitystä korostetaan, todella moni jättää kulmakerrointa määrittäessään yksiköt pois. Oppilaat kyllä ymmärtävät yksiköiden merki- tyksen tai ainakin vähintään muistavat, että niiden käyttämistä korostetaan, joten sen laittamatta jättäminen ei niinkään kerro fysiikan taidoista. Wool- nough [37] selittääkin, että yksiköiden käyttäminen kulmakerrointehtävässä ei oppilaiden mukaan tunnu luontevalta. Kulmakertoimen ajatellaan olevan matemaattinen konsepti ja matematiikassa oppilaat eivät olleet tottuneet käyttämään yksiköitä. Matematiikan kulmakerrointehtävät sijoittuvat yleen- sä xy-koordinaatistoon, jossa akseleilla ei ole yksiköitä. Oppilaat myös ko- kevat, että fysiikan tehtävän yksiköt sekoittavat heitä, jolloin on helpompi ratkaista tehtävä ilman. 6.3 Linkin puuttuminen Kuvaajat ja kulmakerroin ovat vain esimerkkejä aihealueista, joiden sovelta- minen matematiikasta sen ulkopuolisiin konteksteihin aiheuttavat vaikeuksia. Kaikki näihin liittyvät ongelmat pohjautuvat siihen, että linkki eri aineiden väliltä jää puuttumaan. Linkkien luomiseen on keskityttävä aiempaan tar- kemmin, jotta ongelmat tiedon siirtämisessä vähenisivät. Tällöin oppilaalle- kin tulisi selväksi, että matematiikkaa ei opiskella ainoastaan sen takia, että osaisi matematiikkaa, vaan siksi, että osaa tulkita ja ymmärtää myös ympä- röivää maailmaa. Miten linkkejä voisi luoda? - Koetöissä, varsinkin fysiikassa ja kemiassa, pitäisi käyttää yksinker- taisia välineitä kuvaamaan yksinkertaisia tilanteita, jolloin oppilas voi 23 helposti nähdä, miten työ liittyy oikeaan tilanteeseen [37]. - Fysiikan tai kemian (myös muut aineet) käsite tai kaava pitäisi rakentaa graafisesta datasta lähtien. Tuotettua dataa tulkitsemalla pitäisi pystyä johtamaan kelvollinen kaava kuvaamaan tilannetta [37]. - Oppilaan ei voi olettaa huomaavan yhteyttä datan ja kaavan välillä, jos data ei sovi kaavaan [37]. - Töiden pitää olla riittävän helppoja ja yksinkertaisia, jotta data yhdis- tyy oikean maailman tilanteeseen ja oppilas oivaltaa yhteyden [37]. - Esimerkkejä kulmakertoimesta tarkasteltaessa on annettava oppilaalle mahdollisuuksia tutkia sekä fysikaalisia että funktionaalisia tilanteita ja rakentaa yhtäläisyyksiä ja eroja niiden välille [35]. - Opetuksessa tulee rohkaista oppilasta pohtimaan, mitä kulmakerroin kussakin tilanteessa edustaa ja miten erilaiset tilanteet liittyvät toisiin- sa [34]. - Kaavojen käyttöön tukeutumisen lisäksi, oppilasta tulisi haastaa ajat- telemaan kokonaisuutta jokaisessa kuvaajiin liittyvässä kontekstissa [34]. - Esimerkkejä kuvaajista ja kulmakertoimesta tulisi esittää mahdollisim- man laajasti myös todellisen maailman tilanteista (talous, uutiset), jol- loin niiden väliset erot ja yhtäläisyydet tulisivat selviksi ja ne osattaisiin perustella matemaattisesti [28]. 7 Pohdintaa Kuvaajien tulkinta on osa joka päiväistä elämää, sillä niiden avulla on help- poa ja yksinkertaista esittää informaatiota. Kuitenkaan kuvaajien tulkitse- minen ei ole yhtä yksinkertaista. Tästä syystä tulkitsemistaitoihin on kiinni- tettävä huomiota kouluissa. Tässä tutkielmassa oli tarkoitus selvittää, millaisia taitoja kuvaajien te- hokkaaseen tulkitsemiseen tarvitaan sekä minkälaisia ongelmia oppilailla on niiden tulkinnassa. Asiaa lähestyttiin sekä matemaattisen tiedon (prosedu- raalinen ja konseptuaalinen tieto) että tiedon siirtämisen näkökulmasta. Yk- si yleisimmin toistuva ongelma kuvaajien tulkitsemisessa on se, että mate- maattisen tiedon ja käytännön esimerkkien välillä ei nähdä yhteyttä. Mate- maattista tieoa ei osata eikä edes ymmärretä soveltaa käytäntöön. Oppilas ei myöskään osaa lähestyä kuvaajaa esimerkiksi fysiikan oppitunnilla matema- tiikasta tutulla tavalla, vaan hän on hyvin kiinnittynyt fysiikasta tuttuihin 24 ja turvallisiin proseduureihin. Toisaalta kuvaajat konteksteissa, jotka eivät liity luonnontieteisiin, saavat oppilaat käyttämään luovempia ratkaisustrate- gioita. Tämä johtuu siitä, että oppilaalla ei ole olemassa tarkkoja kaavoja, joihin tukeutua, vaan hän pohtii asiaa maanläheisemmästä näkökulmasta. Muita mahdollisia syitä ongelmiin havaittiin olevan konseptuaalisen tiedon puute joko matematiikassa tai kohdealassa sekä kuvaajan tulkitseminen ku- vana. Pohjimmiltaan suurin osa ongelmista kuvaajissa pohjautuivat juuri kuvamaiseen tulkintaan. Kulmakerroin on keskeinen asia kuvaajiin liittyvien sovellutusten yhtey- dessä ja juuri siitä syystä sen ymmärrystä on tutkittu melko paljon. Tutki- muksissa käy ilmi, että kulmakertoimen käsite on oppilaille usein hyvin epä- määräinen ja sen merkitystä ei kokonaan ymmärretä. Oppilas saattaa osata laskea kulmakertoimen arvon, mutta se jää irralliseksi osaksi kuvaajan luo- masta kokonaisuudesta. Tämä huomataan selkeimmin, kun kulmakerrointa ratkaistaan matematiikan ulkopuolisissa tehtävissä. Esimerkiksi yksiköiden käyttäminen kulmakertoimen arvon perässä tuntuu opppilaista kummallisel- ta tai sen ei ymmärretä merkitsevän kiihtyvyyttä tv-koordinaatistossa. Myös puhtaasti matemaattisissa tehtävissä on hankaluuksia, kuten kuvaajan arvon ja kulmakertoimen arvon käsitteen sekoittaminen. Tällöin suoran kulmaker- toimen ei ymmärretä pysyvän vakiona. Kulmakertoimen ja kuvaajan arvon väliset sekaannukset juontavat juurensa varmasti arkielämään, jossa kulma- kertoimella saatetaan tarkoittaa eri asiaa. Kulmakerroin jo sanana viittaa kulmaan ja kaltevuuteen, joten oppilaille saattaa muodostua väärä käsitys asiasta "vahingossa". Kaltevuuteen liittyvät representaatiot onkin havaittu liittyvän matemaattisesti heikompien oppilaiden kuvauksiin kulmakertoimes- ta, jolloin jokin yhteys intuitioon siinä on oltava. Kuvaajien esittämät asiat sekä käsitteet, joita ne sisältävät, tuntuvat ole- van oppilaille hyvin oppiainesidosteisia ja niiden tulkitsemiseksi on jokaisessa aineessa omat prosessinsa. Tutkimuksissakin on havaittu, että tämä johtaa linkkien puuttumiseen sekä oppilaan omien representaatioiden väliltä että matematiikan ja muiden tieteiden väliltä. Opettajan käyttämillä represen- taatioilla on suuri merkitys siinä, millaisia representaatioita oppilaalle syn- tyy. Erityistä huomiota vaatii eri representaatioiden yhdistäminen toisiinsa, jolloin oppilaalle jää käsitys, että esimerkiksi kulmakerroin kertoo kuvaajan muutosnopeuden tai jyrkkyyden. Opetuksessa tulisi tämän lisäksi keskittyä luomaan matematiikasta perusteita muiden tieteiden matemaattiseen ongel- manratkaisuun sekä työkaluja arkielämän tilanteisiin. Opetuksen tulisi olla monipuolista, jossa erityyppisiä kuvaajia tarkastellaan, tulkitaan ja piirre- tään. Tällöin oppilaalle syntyy kattava kokonaiskuva kuvaajille tyypillisistä piirteistä ja ominaisuuksista ja hän osaa soveltaa tietojaan erilaisiin konteks- teihin. 25 Viitteet [1] R. Beichner: Testing Student Interpretation of Kinematics Graphs. Ame- rican Journal of Physics, 62(8). 1994. [2] J. Boaler: Participation, Knowledge and Beliefs: A Community Pers- pective on Mathematics Learning. Educational Studies in Mathematics, 40(3), 259-281. 1999. [3] H. Brasell & M. Rowe: Graphing skills among high school physics stu- dents. School science and mathematics, 93(2), 63-70. 1993. [4] W. Christensen & J. Thompson: Investigating graphical representations of slope and derivative without a physics context. Physical review physics education research, 8(2). 2012. [5] J. Claude: Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. 1987. [6] S. Friel, F. Curcio, G. Bright. Making Sense of Graphs: Critical Factors Influencing Comprehension and Instructional Implications. Journal for Research on Mathematics Education, 32(2), 124-158, 2001. [7] N. Glazer: Challenges with Graph Interpretation: A Review of the Lite- rature. Studies in Science Education, 47(2), 183-210. 2011. [8] T. Graham & J. Sharp: An Investigation into Able Students' Unders- tanding of Motion Graphs. Teaching Mathematics and its Applications: An International Journal of the IMA, 18(3), 128-135. 1999. [9] E. Gray & D. Tall: Relationships between embodied objects and symbolic procepts: An explanatory theory of success and failure in mathematics. PME conference, 3, 3-65. 2001. [10] L. Haapasalo: Pitääkö ymmärtää voidakseen tehdä vai pitääkö tehdä voi- dakseen ymmärtää. Teoksessa P. Räsänen, P. Kupari, T. Ahonen & P. Malinen (toim.) Matematiikka-näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen, 2, 50-83. 2004. [11] L. Haapasalo & D. Kadijevich: Two types of mathematical knowledge and their relation. Journal für Mathematik-Didaktik, 21(2), 139-157. 2000. [12] S. Hattikudur, R. Prather, P. Asquith, M. Alibali, E. Knuth & M. Nat- han: Constructing graphical representations: middle schoolers' intuitions 26 and developing knowledge about slope and y-intercept. School science and mathematics, 112(4), 230-240. 2012. [13] M. Hähkiöniemi: The role of representations in learning the derivative. University of Jyväskylä. 2006. [14] J. Joutsenlahti: MATEMAATTINEN AJATTELU JA KIELI - mielen- kiintoinen ulottuvuus uudessa opetussuunnitelmassa. Projekteja ja pro- sesseja - opetuksen käytäntöjä matematiikassa ja viestinnässä: Hämeen- linnan normaalikoulu, 3-12. 2003. [15] J. Kangasaho, J. Mäkinen, J. Oikkonen, J. Paasonen, M. Salmela & J. Tahvanainen: Pitkä matematiikka 4: Analyyttinen geometria. Werner Söderström Osakeyhtiö, ensimmäinen painos, 56-63. 2005. [16] S. Koskinen: Kuvaajien kvalitatiivinen tulkitseminen: yleisimmät virhe- käsitykset, tulkintaan vaikuttavat tekijät ja kuvaajien opetuskäyttö. Uni- versity of Turku. 2016. [17] G. Leinhardt, O. Zavlasky & M. Stein: Functions, graphs, and graphing: Tasks, learning, and teaching. Review of Educational Research, 60(1), 1-64. 1990. [18] T. Lingefjard & D. Frahani: The elusive slope. International Journal of Science and Mathematics Education, 16(6), 1187-1206. 2018. [19] L. McDermott, M. Rosenquist & E. van Zee: Student difficulties in con- necting graphs and physics: Examples from kinematics. American Jour- nal of Physics, 55(503). 1987. [20] J. McKendree, C. Small, K. Stenning & T.Conlon: The role of repre- sentation in teaching and learning critical thinking. Educational review, 54(1), 57-67. 2002. [21] C. Nagle, D. Moore-Russo, J. Viglietti & K. Martin: Calculus students' and instructors' conceptualizations of slope: A comparison across acade- mic levels. International Journal of Science and Mathematics Education, 11(6), 1491-1515. 2013. [22] C. Nagle & D. Moore-Russo: The concept of slope: Comparing teachers' concept images and instructional content. Investigations in Mathematics Learning, 6(2). 2013. [23] Opetushallitus. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2014. https://www.oph.fi. 2014. 27 [24] R. Panasuk. Three phase ranking framework for assessing conceptual un- derstanding in algebra using multiple representations. Education 131(2). 2010. [25] M. Planinic, A. Susac, Z. Milin-Supus, H. Katic & L. Ivanjek: Compa- rison of student understanding og line graph slope in physics and mat- hematics. International Journal of Science and Mathematics Education, 10(6), 1393-1414. 2012. [26] M. Planinic, L. Ivanjek, A. Susac & Z. Milin-Supus: Comparison of uni- versity students' understanding of graphs in different contexts. Phys. Rev. Phys. Educ. Res., 9(2). 2013. [27] M. Planinic, L. Ivanjek, A. Susac, A. Andrasevic & Z. Milin-Supus: Student reasoning about graphs in different context. Phys. Rev. Phys. Educ. res., 12(1). 2016. [28] M. Planinic, L. Ivanjek, M. Hopf & A. Susac: Student difficulties with graphs in different contexts. Cognitive and Affective Aspects in Science Education Research, 167-178. 2017. [29] M. Planinic, A. Susac, A. Bubic, E. Kazotti & M. Palmovic: Student understanding of graph slope and area under a graph: A comparison of physics and nonphysics students. Phys. Rev. Phys. Educ. Res, 14(2). 2018. [30] M. Potgieter, A. Harding & J. Engelbrecht: Transfer of algebraic and graphical thinking between mathematics and chemistry. Journal of Re- search in Science Teaching, 45(2), 197-218. 2008. [31] W. Roth & M.K. McGinn: Graphing: Cognitive ability or practice?. Science education, 81, 91-106. 1996. [32] M. Stanton & D. Moore-Russo: Conceptualizations of slope: A review of state standards. School science and mathematics, 112(5), 270-277. 2012. [33] S. Stump: Secondary mathematics teachers' knowledge of the concept of slope. Non-Journal. 39 pages. 28.3.1997. [34] S. Stump: Developing preservice teachers' pedagogical content knowledge of slope. The Journal of Mathematical Behavior, 20(2), 207-227. 2001a. [35] S. Stump: High school precalculus students' understanding of slope as a measure. School science and mathematics, 101(2), 81-89. 2001b. 28 [36] H. Wainer: Understanding Graphs and Tables. Educational Researcher, 21(1), 14-23. 1992. [37] J. Woolnough: How students learn to apply their mathematical knowledge to interpret graphs in physics?. Research in Science Education, 30(3), 259-267. 2000. [38] O. Zaslavsky, H. Sela & U. Leron: Being sloppy about slope: The effect of changing the scale. Educational Studies in Mathematics, 49(1), 119-140. 2002. [39] Hetkellinen kiihtyvyys: https://peda.net/rauma/rauman-lukio/oppiaineet/mafyke/tapiovaara-janne /fysiikan-kurssit/vanha-ops/kr/4-kurssi:file/download/ 02e53305da1957c218753c60866d6f8b79e0696e/ Fysiikka_4_kertaustehtavien_ratkaisut.pdf [40] Suoran kulmakerroin ja suuntakulma: https://peda.net/sievi/sievin-lukio/oppiaineet2/mp/m5ag/tkapp/ luku-3-12:file/download/f1b349a74c3ecdfdb90126181cd53b988a031794/ Analyyttinen_Geometria_MAA5_LUKU3.1.pdf 29