Algebrallinen näkökulma peittokoodeihin - Heikkilä, Elias (My University, 2020)
Tässä tutkielmassa käsitellään algebrallista symbolidynamiikkaa ja sovelletaan sitä peittokoodien tutkimiseen. Algebrallisessa symbolidynamiikassa kombinatoriset ja topologiset ongelmat muutetaan polynomeja koskeviksi kysymyksiksi, jolloin ongelmaan saadaan algebrallinen näkökulma. Algebrallisella lähestymistavalla saadaan helppoja todistuksia neliöhilan ja kuningasgraafin peittokoodituloksille. Tutkielma alkaa symbolidynamiikan perinteisten käsitteiden määrittelyllä ja perustulosten esittelyllä. Tämän jälkeen määritellään kommutatiivisen algebran ja algebrallisen geometrian peruskäsitteet, joilla saadaan uusi näkökulman symbolidynamiikan tutkimukseen. Näin saadaan perinteisen topologisen rakenteen lisäksi myös algebrallista rakennetta käyttöön. Perustietojen jälkeen esitellään työkaluiksi erilaisia polynomihajotelmia ja todistetaan tutkielman kannalta olennaisten ihanteiden rakennetuloksia. Tutkielmassa pyritään rakentamaan tarvittava teoria mahdollisimman suppeilla esitietovaatimuksilla. Kun teoriapohja on rakennettu, sovelletaan polynomihajotelmia peittokooditulosten todistamiseen. Lopuksi annetaan vielä algoritmi peittokoodien etsimiseen tietyssä erikoistapauksessa.
Keywords: peittokoodi, algebra, algebrallinen geometria, algoritmi, kommutatiivinen algebra, polynomi, ihanne, symbolidynamiikka