Fourier'n sarjoista - Kyyrönen, Juho (My University, 2021)
Työn tavoitteena oli selvittää, mitkä ehdot jaksolliselle funktiolle täytyy asettaa, jotta funktion Fourier’n sarja suppenee kohti alkuperäistä funktiota. Osoittautuu, että pisteittäisen suppenemisen tutkiminen antaa suppean kuvan siitä, millaisia funktioita Fourier’n sarjoilla voidaan mielekkäästi approksimoida. Esimerkiksi funktion jatkuvuus ei takaa Fourier’n sarjan pisteittäistä suppenemista, mikä osoitetaan tutkielman viimeisessä luvussa. Lebesguen integaalin avulla saadaan ilmaistua huomattavasti yleisempi suppenemisen muoto. Näin saadaan mielekäs suppenemisehto kaikille jaksollisille Lebesguen neliöintegroituville funktioille. Tämä lähestymistapa yhdistää erilaisia Fourier’n sarjoja koskevia tuloksia yhtenäiseksi teoriaksi, missä euklidisesta avaruudesta tutut käsitteet yleistyvät funktioiden joukkoon. Koska sini- ja kosinifunktiot ovat äärettömästi derivoituvia, saadaan Fourier’n sarjojen avulla muodostettua hyvin käyttäytyvä approksimaatio jopa epäjatkuville funktioille. Tämä on selvä etu esimerkiksi Taylorin polynomeihin verrattuna, minkä muodostaminen asettaa funktiolle tiukemmat sileysehdot. Tutkielman päätulokset ovat Fourier’n sarjojen pisteittäistä suppenemista koskevat Lauseet 5.8 ja 5.9, tasaista suppenemista käsittelevä Lause 7.4 sekä neliöintegroituvien funktioiden approksimointia koskeva Lause 8.17.
Keywords: Fourier’n sarja, jaksolliset funktiot, approksimaatio