Monskyn lause neliön osittamisesta kolmioiksi - Heino, Teemu (My University, 2020)
Monikulmion osittaminen tarkoittaa sen jakamista äärellisen moneksi monikulmioksi, jotka eivät ole päällekkäin mutta peittävät koko monikulmion. Osituksia hyödynnetään geometriassa ja niiden ominaisuuksia voidaan tutkia. Kaksi monikulmiota ovat yhteisositettavissa, jos toisen monikulmion osituksen osista voidaan koota toinen monikulmio. Tutkielmassa osoitetaan, että kaksi monikulmiota, joilla on sama pinta-ala, ovat aina yhteisositettavissa. Monskyn lause vuodelta 1970 toteaa, että neliö voidaan aina osittaa parilliseksi määräksi kolmioita, joilla on yhtäsuuri pinta-ala, mutta ei koskaan parittomaksi määräksi kolmioita, joilla on yhtäsuuri pinta-ala. Ensimmäinen väite on triviaali ja näytetään jakamalla neliö yhteneviksi suorakulmioksi, joille piirretään lävistäjät. Tutkielman päätarkoituksena on esitellä Monskyn lauseen jälkimmäisen väitteen alkuperäinen todistus, joka vaatii tuloksia kombinatoriikasta ja algebrasta. Spernerin lemman mukaan on olemassa sellainen tason R^2 väritys kolmella värillä, että kun yksikköneliö [0, 1]×[0, 1] on väritetty tällä värityksellä ja ositettu kolmioiksi, ainakin yhdellä kolmiolla on kolme eriväristä kärkeä. Spernerin lemma todistetaan vahvistamalla, että eräs väritys toteuttaa ehdot. Arvotus antaa kunnan nolla-alkiolle arvon 0 ja kaikille muille kunnan alkioille jonkin suuremman arvon kuin 0. Jos arvotus on epäarkhimedinen, niin kahden alkion summan arvotus ei voi olla suurempi kuin suurin näiden alkioiden arvotuksista. 2-adinen arvotus antaa rationaaliluvulle arvon 2^-n, kun rationaaliluku kirjoitetaan supistettuna muodossa 2^n m1/m2. Todistetaan 2-adinen arvotus epäarkhimediseksi, vahvistetaan että se antaa luvulle 1/2 arvon 2 ja todetaan, että 2-adinen arvotus voidaan antaa kaikille reaaliluvuille. 2-adisen arvotuksen avulla konstruoidaan Spernerin lemman mukainen väritys. Tiedetään, että kolmioiksi ositetulla yksikköneliöllä on tällöin kolmio, jonka kaikki kärjet ovat erivärisiä, ja oletetaan, että kolmion pinta-ala on 1/n, missä n on pariton. Kolmion pinta-ala kaksinkertaisena saa suoraan laskemalla 2-adisen arvotuksen 1/2. Toisaalta huomataan, että tällaisen kolmion kaksinkertaisen pinta-alan 2-adinen arvotus on suurempi kuin 1. Tämä ristiriita osoittaa Monskyn lauseen jälkimmäisen väitteen.
Keywords: Monskyn lause, ositus, yhteisositettavuus, väritys, Spernerin lemma, arvotus, epäarkhimedinen arvotus, dominointiperiaate, p-adinen arvotus