Hadamardin matriiseista Steinerin systeemeihin - Virtanen, Atte (My University, 2022)
Tämän kirjallisuuteen perustuvan pro gradu -tutkielman pääaiheita ovat Hadamardin matriisit ja lohkosommitelmat. Tutkimuksen kohteina ovat myös äärelliset projektiiviset tasot ja Steinerin systeemit, jotka ovat tietynlaisia lohkosommitelmia. Työ kuuluu diskreetin matematiikan, lineaarialgebran ja kombinatoriikan alaan. Tärkeimmät lähdeteokset ovat olleet Ian Andersonin kirja Combinatorial Designs: Construction Methods, Marshall Hall Juniorin kirja Combinatorial Theory sekä Ian Andersonin ja Iiro Honkalan luentomoniste A Short Course in Combinatorial Mathematics. Tutkielman alkupuolella tarkastellaan Hadamardin matriiseja. Ne ovat neliömatriiseja, joiden alkiot ovat positiivisia ja negatiivisia ykkösiä sopivassa järjestyksessä. Kun Hadamardin matriisi ja sen transpoosi kerrotaan keskenään, tuloksena on diagonaalimatriisi, jonka jokainen diagonaalialkio on matriisin asteluku. Alkuosan keskeisimpänä asiana esitellään kaksi Hadamardin matriisien konstruointimenetelmää ja muutamia esimerkkitapauksia. Keskiosassa siirrytään tutkimaan lohkosommitelmia. Ne ovat matemaattisia esiintyvyysjärjestelmiä, joissa äärellisen perusjoukon alkiot jaetaan lohkoihin eli osajoukkoihin sellaisella tavalla, että lohkot ja alkiot ovat toistensa kanssa erityisessä relaatiossa. Sommitelmassa on tietty määrä lohkoja, joissa jokainen alkio ja jokainen alkiopari tai yleisemmin t-alkioinen osajoukko esiintyy. Lisäksi kaikissa lohkoissa on tietty määrä alkioita. Kolmannessa luvussa tutkitaan sommitelmien ominaisuuksia, muodostetaan yksinkertaisia esimerkkejä ja löydetään luonnollinen yhteys Hadamardin matriisien ja sommitelmien välille. Työn loppupuolella tutustutaan äärellisiin projektiivisiin tasoihin ja Steinerin systeemeihin. Projektiivisia tasoja muodostetaan äärellisen geometrian avulla. Osoittautuu, että pisteet voidaan tulkita alkioiksi ja suorat lohkoiksi, ja näin projektiivinen taso on myös sommitelma. Steinerin systeemit puolestaan ovat lohkosommitelmia, joissa jokainen perusjoukon t-alkioinen osajoukko kuuluu täsmälleen yhteen lohkoon. Loppuosan tärkein teoreettinen asia on Steinerin kolmikkosysteemin konstruoiminen Skolemin menetelmällä. Lisäksi viidennen luvun lopussa laajennetaan Hadamardin 2-sommitelma 3-sommitelmaksi ja tarkastellaan hieman Steinerin nelikkosysteemeitä.
Keywords: matriisi, lohkosommitelma, äärellinen geometria, Steinerin systeemi