Differentiaaliyhtälöt lukiolaisille
Grönroos, Atte (2015-11-26)
Differentiaaliyhtälöt lukiolaisille
Grönroos, Atte
(26.11.2015)
Tätä artikkelia/julkaisua ei ole tallennettu UTUPubiin. Julkaisun tiedoissa voi kuitenkin olla linkki toisaalle tallennettuun artikkeliin / julkaisuun.
Turun yliopisto
Kuvaus
Siirretty Doriasta
Tiivistelmä
Tutkielman aiheena on differentiaaliyhtälöt. Tarkoituksena on, että tämä tutkielma toimisi oppikirjana lukion differentiaaliyhtälöiden kurssille.
Aluksi kerrataan derivaatan ja integraalin määritelmät. Tämän jälkeen suoritetaan johdatus differentiaaliyhtälöihin. Pääasiasssa perehdytään ensimmäisen kertaluvun yhtälöihin, vaikka useamman kertaluvun yhtälöt mainitaankin teoksessa.
Kun differentiaaliyhtälön käsite on määritelty tarkastellaan Sage-ohjelmistoa. Tarkoituksena on, että Sage olisi tukena yhtälöitä ratkaistaessa. Sagen avulla käydään läpi suuntakenttien ja kuvaajien piirtäminen sekä differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen aloitetaan separoituvista yhtälöistä, jonka jälkeen siirrytään lineaariseen ja eksaktiin yhtälöön. Näillä metodeilla ratkeaa suuri osa ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä. Tämän jälkeen esitellään sopivia muunnoksia, joilla tietyt yhtälötyypit muuttuvat helpommin ratkaistavaan muotoon. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi Bernoullin ja Riccatin yhtälö.
Viimeisessä kappaleessa perehdytään differentiaaliyhtälöiden sovelluksiin. Differentiaaliyhtälöihin päädytään muun muassa fysiikan maailmassa sekä populaatioita tarkkailtaessa.
Aluksi kerrataan derivaatan ja integraalin määritelmät. Tämän jälkeen suoritetaan johdatus differentiaaliyhtälöihin. Pääasiasssa perehdytään ensimmäisen kertaluvun yhtälöihin, vaikka useamman kertaluvun yhtälöt mainitaankin teoksessa.
Kun differentiaaliyhtälön käsite on määritelty tarkastellaan Sage-ohjelmistoa. Tarkoituksena on, että Sage olisi tukena yhtälöitä ratkaistaessa. Sagen avulla käydään läpi suuntakenttien ja kuvaajien piirtäminen sekä differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen aloitetaan separoituvista yhtälöistä, jonka jälkeen siirrytään lineaariseen ja eksaktiin yhtälöön. Näillä metodeilla ratkeaa suuri osa ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä. Tämän jälkeen esitellään sopivia muunnoksia, joilla tietyt yhtälötyypit muuttuvat helpommin ratkaistavaan muotoon. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi Bernoullin ja Riccatin yhtälö.
Viimeisessä kappaleessa perehdytään differentiaaliyhtälöiden sovelluksiin. Differentiaaliyhtälöihin päädytään muun muassa fysiikan maailmassa sekä populaatioita tarkkailtaessa.