Konveksien joukkojen separaatio
Mielismäki, Elina (2018-06-26)
Konveksien joukkojen separaatio
Mielismäki, Elina
(26.06.2018)
Tätä artikkelia/julkaisua ei ole tallennettu UTUPubiin. Julkaisun tiedoissa voi kuitenkin olla linkki toisaalle tallennettuun artikkeliin / julkaisuun.
Turun yliopisto
Tiivistelmä
Tässä työssä esitetään konveksien joukkojen merkittävimmät separaatiotulokset. Päätuloksena johdetaan konveksien polytooppien separaatiolause, joka pohjautuu Hahn-Banachin lauseeseen. Kantavana motivaationa työssä toimii kolmiulotteisten suorakulmaisten särmiöiden törmäystarkastelualgoritmi, jolle esitetään syvällinen matemaattinen todistus.
Tutkielma etenee lähtien liikkeelle konveksien joukkojen separaatiosta topologisessa vektoriavaruudessa ja etenee askeleittain erikoistetumpiin tapauksiin. Topologisessa vektoriavaruudessa osoitetaan yleinen Hahn-Banachin lause ja tämän jälkeen johdetaan yksi sen sovelluslause, Hahn-Banachin separaatiolause. Topologisista vektoriavaruuksista siirrytään vektoriavaruuteen R^n ja esitellään yleisiä tuloksia liittyen konvekseihin joukkoihin sekä erityisesti konvekseihin polytooppeihin. Tässä toisessa luvussa osoitetaan kaksi konveksien polytooppien määritelmää ekvivalenteiksi sekä johdetaan yleiseen Hahn-Banahin lauseeseen pohjautuva separaatiotulos konvekseille polytoopeille.
Lopuksi sovelletaan kehitettyä matemaattista teoriaa ja johdetaan törmäystarkastelualgoritmi suorakulmaisille särmiöille. Pseudokoodisen algoritmin lisäksi esitetään pääperiaatteet, miten algoritmin suorittamaa laskentaa voidaan optimoida.
Tutkielma etenee lähtien liikkeelle konveksien joukkojen separaatiosta topologisessa vektoriavaruudessa ja etenee askeleittain erikoistetumpiin tapauksiin. Topologisessa vektoriavaruudessa osoitetaan yleinen Hahn-Banachin lause ja tämän jälkeen johdetaan yksi sen sovelluslause, Hahn-Banachin separaatiolause. Topologisista vektoriavaruuksista siirrytään vektoriavaruuteen R^n ja esitellään yleisiä tuloksia liittyen konvekseihin joukkoihin sekä erityisesti konvekseihin polytooppeihin. Tässä toisessa luvussa osoitetaan kaksi konveksien polytooppien määritelmää ekvivalenteiksi sekä johdetaan yleiseen Hahn-Banahin lauseeseen pohjautuva separaatiotulos konvekseille polytoopeille.
Lopuksi sovelletaan kehitettyä matemaattista teoriaa ja johdetaan törmäystarkastelualgoritmi suorakulmaisille särmiöille. Pseudokoodisen algoritmin lisäksi esitetään pääperiaatteet, miten algoritmin suorittamaa laskentaa voidaan optimoida.