Osakeindeksituoton implisiittisen todennäköisyysjakauman estimointi : Normaalijakaumaoletuksen aiheuttamat hinnoitteluvirheet optiomarkkinoilla

Abstract

Matemaattisen rahoituksen mallit ovat yksinkertaistuksia oikeiden markkinoiden toiminnasta. Stokastisten prosessien kohdalla tärkeimmät oletukset koskevat satunnaisuuden muotoa. Useimmiten satunnaisuutta kuvataan standardia normaalijakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla sen laskennallisen helppouden vuoksi. Esimerkiksi optioiden hinnoittelussa yleisesti käytössä oleva Black–Scholes–Merton-malli pohjautuu geometriseen Brownin liikkeeseen, jossa kohde-etuuden hinnanmuutokset ovat log-normaalisti jakautuneita. Empiiriset tutkimukset ovat kuitenkin osoittaneet, että osakemarkkinoiden todellinen tuottojakauma ei ole normaali, minkä vuoksi Black–Scholes–Merton-mallissa esiintyy hinnoitteluvirheitä erityisesti toteutushinnan poiketessa reilusti nykyhinnasta.

Tämän tutkielman tavoitteena on estimoida markkinoilla vallitseva implisiittinen tiheysfunktio, jota optioiden tarjoama hintainformaatio heijastelee. Todennäköisyysjakauman muotoa ja sen eroavuutta normaalijakaumaan tarkastellaan usealla aikavälillä. Lopulta määritetään Black–Scholes–Merton-mallin aiheuttamat hinnoitteluvirheet eri optiokategorioissa.

Teoreettisessa viitekehyksessä käsitellään osakkeiden hintaprosesseja siinä tilanteessa, kun perinteisimmät oletukset ovat voimassa. Tarkastelu aloitetaan perinteisestä satunnaiskulkuhypoteesista, josta edetään stokastisiin differentiaaliyhtälöihin. Lyhyesti sivutaan myös pitkän muistin prosesseja. Osto- ja myyntioptioiden hinnoittelu perustetaan esiteltyihin kohde-etuuden hintaprosesseihin. Black–Scholes–Merton-mallin oletuksia ja niiden aiheuttamia virheitä lähestytään volatiliteettihymyn kautta. Lopulta esitellään myös periaate, jonka mukaan optioiden hinnat implikoivat markkinoilla vallitsevia tulevaisuudennäkymiä tiheysfunktion muodossa.

Empiirisessä osassa tutkitaan S&P 500 indeksiä kohde-etuutenaan käyttäviä indeksioptioita ja estimoidaan niiden perusteella implisiittinen todennäköisyysjakauma. Menetelmänä käytetään ei-parametrista lähestymistapaa, jota tarkennetaan sovittamalla luonnollinen kuutiosplini volatiliteettihymyyn. Tiheysfunktio estimoidaan optiohintafunktion toisesta derivaatasta toteutushinnan suhteen.

Tulokset osoittavat, että implisiittinen jakauma on sekä negatiivisesti vino että paksuhäntäinen. Eroavuus normaalijakaumaan on selvintä lyhyellä aikavälillä, kun taas pitkällä aikavälillä ero on vähäisempää ja paksuhäntäisyys näyttää jopa häviävän. Hinnoitteluvirhettä esiintyy myös eniten lyhyellä juoksuajalla. Pahimmillaan virhe on keskimäärin jopa satoja prosentteja, minkä vuoksi sijoittajat voivat altistua erittäin suurille virheille luottaessaan liikaa yhteen markkinoiden eniten käytetyistä hinnoittelumalleista.