Viriaaliteoreemat orbitaalittomassa tiheysfunktionaaliteoriassa
Huhtala, Jesse (2020-12-09)
09.12.2020
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Julkaisun pysyvä osoite on:
http://urn.fi/URN:NBN:fi-fe20201222102626
http://urn.fi/URN:NBN:fi-fe20201222102626
Tiivistelmä
Viimeisten vuosikymmenten aikana tietokoneiden nopeutuminen on mahdollistanut käytännöllisen kvanttimekaniikkaan perustuvan laskennan enenevällä tarkkuudella. Laskennallisia menetelmiä käytetään materiaalifysiikassa sekä ilmiöiden ymmärtämiseen että erilaisten rakenteiden tutkimiseen esityönä ennen kokeellisia mittauksia. Erityisesti materiaalifysiikassa standardimenetelmäksi on noussut tiheysfunktionaaliteoria.
Tiheysfunktionaaliteoria perustuu nk. Hohenbergin ja Kohnin teoreemaan, jonka mukaan minkä tahansa atomisysteemin oleelliset ominaisuudet (kuten energia) voidaan ratkaista käyttämällä hyväksi vain elektronitiheyttä, joka kuvaa elektronien jakautumista systeemissä. Tämä tekee mahdolliseksi kvanttimekaaniset laskut, sillä yhtälöt olisivat muuten aivan liian vaikeita ratkaistavaksi millään tietokoneella. Tiheysfunktionaaliteoriat voidaan karkeasti jaotella kahdenlaisiin menetelmiin: Kohnin ja Shamin yhtälöihin perustuvat menetelmät, joissa jokaiselle elektronille ratkaistaan erikseen Schrödingerin yhtälöä muistuttava Kohnin ja Shamin yhtälö, ja orbitaalittomat menetelmät, joissa ratkaistaan vain yksi energian minimointiyhtälö.
Perinteisesti Kohnin ja Shamin menetelmä on tuottanut paljon tarkempia tuloksia, mutta orbitaaliton menetelmä on puolestaan merkittävästi nopeampi; siten Kohnin ja Shamin menetelmää voi soveltaa vain pienehköihin systeemeihin, mutta orbitaalitonta menetelmää voi soveltaa jopa satojen tuhansien atomien laskuihin. Pääasiallinen virhe orbitaalittomissa menetelmissä tulee liike-energian likimääräistämisestä; Kohnin ja Shamin menetelmässä kineettinen energia saadaan laskettua lähes tarkasti yhden hiukkasen yhtälöistä.
Tässä tutkielmassa käsitellään eräänlaista kompromissia näiden kahden menetelmän välillä: Nagyn kehittämää orbitaalitonta teoriaa, jolla on ainakin periaatteessa lähes sama tarkkuus kuin Kohnin ja Shamin menetelmällä, mutta joka saattaa olla hieman nopeampi. Menetelmä juontaa juurensa 1900-luvun alkupuoliskolle, mutta vasta viime vuosina on kehitetty karkeasta ideasta toimiva laskentamenetelmä. Menetelmä asettuu optimaalisessa tapauksessa nopeudeltaan ja tarkkuudeltaan johonkin orbitaalittoman ja Kohnin ja Shamin menetelmien väliin. Tutkielman tarkoituksena on esitellä Nagyn uusi teoria, tutkia sen yhteyttä muihin materiaalifysiikan menetelmiin ja tarkastella numeeriseen laskentaan liittyviä käytännöllisiä ongelmia.
Tiheysfunktionaaliteoria perustuu nk. Hohenbergin ja Kohnin teoreemaan, jonka mukaan minkä tahansa atomisysteemin oleelliset ominaisuudet (kuten energia) voidaan ratkaista käyttämällä hyväksi vain elektronitiheyttä, joka kuvaa elektronien jakautumista systeemissä. Tämä tekee mahdolliseksi kvanttimekaaniset laskut, sillä yhtälöt olisivat muuten aivan liian vaikeita ratkaistavaksi millään tietokoneella. Tiheysfunktionaaliteoriat voidaan karkeasti jaotella kahdenlaisiin menetelmiin: Kohnin ja Shamin yhtälöihin perustuvat menetelmät, joissa jokaiselle elektronille ratkaistaan erikseen Schrödingerin yhtälöä muistuttava Kohnin ja Shamin yhtälö, ja orbitaalittomat menetelmät, joissa ratkaistaan vain yksi energian minimointiyhtälö.
Perinteisesti Kohnin ja Shamin menetelmä on tuottanut paljon tarkempia tuloksia, mutta orbitaaliton menetelmä on puolestaan merkittävästi nopeampi; siten Kohnin ja Shamin menetelmää voi soveltaa vain pienehköihin systeemeihin, mutta orbitaalitonta menetelmää voi soveltaa jopa satojen tuhansien atomien laskuihin. Pääasiallinen virhe orbitaalittomissa menetelmissä tulee liike-energian likimääräistämisestä; Kohnin ja Shamin menetelmässä kineettinen energia saadaan laskettua lähes tarkasti yhden hiukkasen yhtälöistä.
Tässä tutkielmassa käsitellään eräänlaista kompromissia näiden kahden menetelmän välillä: Nagyn kehittämää orbitaalitonta teoriaa, jolla on ainakin periaatteessa lähes sama tarkkuus kuin Kohnin ja Shamin menetelmällä, mutta joka saattaa olla hieman nopeampi. Menetelmä juontaa juurensa 1900-luvun alkupuoliskolle, mutta vasta viime vuosina on kehitetty karkeasta ideasta toimiva laskentamenetelmä. Menetelmä asettuu optimaalisessa tapauksessa nopeudeltaan ja tarkkuudeltaan johonkin orbitaalittoman ja Kohnin ja Shamin menetelmien väliin. Tutkielman tarkoituksena on esitellä Nagyn uusi teoria, tutkia sen yhteyttä muihin materiaalifysiikan menetelmiin ja tarkastella numeeriseen laskentaan liittyviä käytännöllisiä ongelmia.