Fourier'n sarjoista
Kyyrönen, Juho (2021-04-14)
Fourier'n sarjoista
(14.04.2021)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2021042311626
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2021042311626
Tiivistelmä
Työn tavoitteena oli selvittää, mitkä ehdot jaksolliselle funktiolle täytyy
asettaa, jotta funktion Fourier’n sarja suppenee kohti alkuperäistä funktiota.
Osoittautuu, että pisteittäisen suppenemisen tutkiminen antaa suppean kuvan siitä,
millaisia funktioita Fourier’n sarjoilla voidaan mielekkäästi approksimoida. Esimerkiksi
funktion jatkuvuus ei takaa Fourier’n sarjan pisteittäistä suppenemista, mikä
osoitetaan tutkielman viimeisessä luvussa.
Lebesguen integaalin avulla saadaan ilmaistua huomattavasti yleisempi suppenemisen
muoto. Näin saadaan mielekäs suppenemisehto kaikille jaksollisille Lebesguen
neliöintegroituville funktioille. Tämä lähestymistapa yhdistää erilaisia Fourier’n sarjoja
koskevia tuloksia yhtenäiseksi teoriaksi, missä euklidisesta avaruudesta tutut
käsitteet yleistyvät funktioiden joukkoon.
Koska sini- ja kosinifunktiot ovat äärettömästi derivoituvia, saadaan Fourier’n sarjojen
avulla muodostettua hyvin käyttäytyvä approksimaatio jopa epäjatkuville funktioille.
Tämä on selvä etu esimerkiksi Taylorin polynomeihin verrattuna, minkä muodostaminen
asettaa funktiolle tiukemmat sileysehdot.
Tutkielman päätulokset ovat Fourier’n sarjojen pisteittäistä suppenemista koskevat
Lauseet 5.8 ja 5.9, tasaista suppenemista käsittelevä Lause 7.4 sekä neliöintegroituvien
funktioiden approksimointia koskeva Lause 8.17.
asettaa, jotta funktion Fourier’n sarja suppenee kohti alkuperäistä funktiota.
Osoittautuu, että pisteittäisen suppenemisen tutkiminen antaa suppean kuvan siitä,
millaisia funktioita Fourier’n sarjoilla voidaan mielekkäästi approksimoida. Esimerkiksi
funktion jatkuvuus ei takaa Fourier’n sarjan pisteittäistä suppenemista, mikä
osoitetaan tutkielman viimeisessä luvussa.
Lebesguen integaalin avulla saadaan ilmaistua huomattavasti yleisempi suppenemisen
muoto. Näin saadaan mielekäs suppenemisehto kaikille jaksollisille Lebesguen
neliöintegroituville funktioille. Tämä lähestymistapa yhdistää erilaisia Fourier’n sarjoja
koskevia tuloksia yhtenäiseksi teoriaksi, missä euklidisesta avaruudesta tutut
käsitteet yleistyvät funktioiden joukkoon.
Koska sini- ja kosinifunktiot ovat äärettömästi derivoituvia, saadaan Fourier’n sarjojen
avulla muodostettua hyvin käyttäytyvä approksimaatio jopa epäjatkuville funktioille.
Tämä on selvä etu esimerkiksi Taylorin polynomeihin verrattuna, minkä muodostaminen
asettaa funktiolle tiukemmat sileysehdot.
Tutkielman päätulokset ovat Fourier’n sarjojen pisteittäistä suppenemista koskevat
Lauseet 5.8 ja 5.9, tasaista suppenemista käsittelevä Lause 7.4 sekä neliöintegroituvien
funktioiden approksimointia koskeva Lause 8.17.