Algebran peruslause
Merikanto, Maiju (2022-11-09)
Algebran peruslause
(09.11.2022)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2022111165273
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2022111165273
Tiivistelmä
Tässä Pro gradu -tutkielmassa perehdytään kompleksilukujen teoriaan sekä todistetaan algebran peruslauseena tunnettu tulos. Tutkielman lukijan oletetaan hallitsevan lukion pitkän matematiikan oppimäärä. Kompleksilukujen teoriaan liittyen esitellään kolme erilaista tapaa esittää kompleksiluku sekä käydään läpi yleisimpiä kompleksilukujen laskutoimituksia. Kompleksiluvuille saadaan geometrinen tulkinta, kun ne esitetään kompleksitasossa. Algebran peruslauseen mukaan kompleksilukukertoimisella vähintään astetta 1 olevalla polynomilla on ainakin yksi kompleksinen nollakohta. Lauseen todistus rakentuu kahdesta pääkohdasta. Ensin osoitetaan, että polynomin itseisarvo saavuttaa miniminsä kompleksitasossa. Tämän jälkeen todistetaan, että näin saatu minimikohta on nolla. Tutkielmassa esitellään kaikki todistuksessa käytettävät käsitteet sekä aputulokset. Tutkielman lopussa esitetään algebran peruslauseen yleisimpiä seurauksia, kuten polynomin esittäminen tekijöiden tulona.