Algebrallisia lähestymistapoja Golomb-Welch konjektuuriin

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään Golomb-Welch konjektuuriin algebrallisin keinoin käyttäen Laurentin polynomeja. Konjektuuri esitellään koodausteorian sanastolla, mutta sitä käsitellään laatoitusten ongelmana. Tutkielmassa esitellään vahvoja työkaluja, joilla saadaan pääteltyä laatoitusten ominaisuuksia laatoittavan kappaleen avulla. Työkalut ja lauseet pätevätkin kaiken muotoisiin diskreetteihin laattoihin, mutta esimerkit ja sovellukset esitellään Lee-palloilla. Tutkielmassa kerrataan peruskäsitteitä muun muassa algebrasta ja laatoituksesta, jonka jälkeen syvennytään ihanteisiin ja Lee-koodeihin. Tämän jälkeen esitellään Golomb-Welch konjektuuri. Tutkielmassa olevat algebralliset lähestymistavat keskittyvät pääosin polynomiseen menetelmään sekä säikeillä tutkittavaan deterministisyyteen. Lopulta esitellään lyhyesti ylärajoja.