On Catalan's Conjecture
Huovinen, Risto (2024-04-25)
On Catalan's Conjecture
(25.04.2024)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2024050325294
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2024050325294
Tiivistelmä
Catalan's conjecture states that there are no solutions in natural numbers to Catalan's equation x^n-y^m=1, where x,y>0 and n,m>1, except 3^2-2^3=1.
In this work we present partial results related to Catalan's conjecture without proving the conjecture itself. We show that if (x,y,n,m) is a solution to Catalan's equation and y is a prime number, then y=2, x=3, n=2, and m=3.
We prove Cassels' Theorem, which gives divisibility condition for such solutions (x,y,n,m) to the Catalan's equation, where n and m are odd primes.
Using Cassels' Theorem, we prove further divisibility conditions for such solutions (x,y,n,m) to the Catalan's equation, where n and m are odd primes.
We employ theory of cyclotomic fields to prove Inkeri's Theorem, which we use to show that the equation x^p-y^q=1, where p,q are odd primes, has no solutions x,y>0 for a large number of primes p,q. Catalanin otaksuma on väittämä, jonka mukaan Catalanin yhtälöön xn − ym = 1, missä x, y > 0 ja n, m > 1 ovat luonnollisia lukuja, ei ole muita ratkaisuja kuin 32 − 23 = 1.
Tässä työssä tarkastellaan Catalanin otaksumaan liittyviä osittaisia tuloksia. Catalanin otaksuma esitetään, mutta sitä ei todisteta.
Tutkielmassa todistetaan, että jos Catalanin yhtälön ratkaisussa (x, y, n, m) y on alkuluku, niin y = 2 ja x = 3, n = 2, m = 3.
Lisäksi todistetaan Casselsin lause, mikä antaa jaollisuusehtoja sellaisille Catalanin yhtälön ratkaisuille (x, y, n, m), missä n ja m ovat parittomia alkulukuja.
Casselsin lauseen avulla todistetaan lisää jaollisuusehtoja sellaisille Catalanin yhtälön ratkaisuille (x, y, n, m), missä n ja m ovat parittomia alkulukuja.
Tutkielman lopussa esitetään tuloksia ympyräkunnista ja niiden ihanteista ja todistetaan Inkerin lause, minkä avulla todistetaan, että suurelle määrälle alkulukuja p, q > 2 yhtälölle xp − yq = 1 ei ole ratkaisuja, missä x, y > 0.
In this work we present partial results related to Catalan's conjecture without proving the conjecture itself. We show that if (x,y,n,m) is a solution to Catalan's equation and y is a prime number, then y=2, x=3, n=2, and m=3.
We prove Cassels' Theorem, which gives divisibility condition for such solutions (x,y,n,m) to the Catalan's equation, where n and m are odd primes.
Using Cassels' Theorem, we prove further divisibility conditions for such solutions (x,y,n,m) to the Catalan's equation, where n and m are odd primes.
We employ theory of cyclotomic fields to prove Inkeri's Theorem, which we use to show that the equation x^p-y^q=1, where p,q are odd primes, has no solutions x,y>0 for a large number of primes p,q.
Tässä työssä tarkastellaan Catalanin otaksumaan liittyviä osittaisia tuloksia. Catalanin otaksuma esitetään, mutta sitä ei todisteta.
Tutkielmassa todistetaan, että jos Catalanin yhtälön ratkaisussa (x, y, n, m) y on alkuluku, niin y = 2 ja x = 3, n = 2, m = 3.
Lisäksi todistetaan Casselsin lause, mikä antaa jaollisuusehtoja sellaisille Catalanin yhtälön ratkaisuille (x, y, n, m), missä n ja m ovat parittomia alkulukuja.
Casselsin lauseen avulla todistetaan lisää jaollisuusehtoja sellaisille Catalanin yhtälön ratkaisuille (x, y, n, m), missä n ja m ovat parittomia alkulukuja.
Tutkielman lopussa esitetään tuloksia ympyräkunnista ja niiden ihanteista ja todistetaan Inkerin lause, minkä avulla todistetaan, että suurelle määrälle alkulukuja p, q > 2 yhtälölle xp − yq = 1 ei ole ratkaisuja, missä x, y > 0.