Elliptiset käyrät kryptografiassa
Peltoinen, Aleksander (2025-07-02)
Elliptiset käyrät kryptografiassa
(02.07.2025)
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
avoin
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2025070477650
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2025070477650
Tiivistelmä
Elliptinen käyrä on tietyn muotoisen yhtälön muodostama pistejoukko, jonka pisteille voidaan määritellä yhteenlaskuoperaation. Tämä joukko ja laskutoimitus muodostavat vaihdannaisen, eli Abelin ryhmän. Jos elliptinen käyrä on määritelty äärellisen kunnan yli, niin ryhmän jokainen alkio virittää äärellisen syklisen aliryhmän. Tähän sykliseen aliryhmään liittyy elliptisen käyrän diskreetin logarithmin ongelma, jolle ei tunneta tehokasta ratkaisualgoritmia.
Elliptisen käyrän kryptosysteemi on tyypiltään yleisen avaimen kryptografia, joka perustuu elliptisen käyrän diskreetin logarithmin ongelmaan. Koska elliptisen käyrän yhteenlaskuoperaatio on hyvin monimutkainen, tietyn suojaustason saavuttamiseen vaaditaan huomattavasti lyhyempi avain kuin muissa yleisesti käytetyissä yleisen avaimen kryptosysteemeissä. Tämän lisäksi, koska laskutoimitukset suoritetaan huomattavasti pienemmissä kunnissa, salaus ja purku ovat huomattavasti nopeampia ja vaativat vähemmän laskentaresursseja.
Tutkielmassa perehdytään perusteellisesti elliptisen käyrän keskeisiin käsitteisiin. Näytetään, miten elliptisen käyrän ominaisuudet periytyvät kuutiollisista käyristä ja määritellään elliptisen käyrän laskutoimituksia. Sen jälkeen esitetään Edwardsin käyrää, näytetään, miten sen laskut periytyvät elliptisestä käyrästä ja millainen elliptinen käyrä voidaan esittää Edwardsin käyränä. Lopuksi näytetään, miten elliptisen käyrän muodostama ryhmä käytetään kryptografiassa.
Elliptisen käyrän kryptosysteemi on tyypiltään yleisen avaimen kryptografia, joka perustuu elliptisen käyrän diskreetin logarithmin ongelmaan. Koska elliptisen käyrän yhteenlaskuoperaatio on hyvin monimutkainen, tietyn suojaustason saavuttamiseen vaaditaan huomattavasti lyhyempi avain kuin muissa yleisesti käytetyissä yleisen avaimen kryptosysteemeissä. Tämän lisäksi, koska laskutoimitukset suoritetaan huomattavasti pienemmissä kunnissa, salaus ja purku ovat huomattavasti nopeampia ja vaativat vähemmän laskentaresursseja.
Tutkielmassa perehdytään perusteellisesti elliptisen käyrän keskeisiin käsitteisiin. Näytetään, miten elliptisen käyrän ominaisuudet periytyvät kuutiollisista käyristä ja määritellään elliptisen käyrän laskutoimituksia. Sen jälkeen esitetään Edwardsin käyrää, näytetään, miten sen laskut periytyvät elliptisestä käyrästä ja millainen elliptinen käyrä voidaan esittää Edwardsin käyränä. Lopuksi näytetään, miten elliptisen käyrän muodostama ryhmä käytetään kryptografiassa.