Kaksikasvuisen variaatio-ongelman minimoijan säännöllisyydestä

Abstract

Tässä työssä tutkitaan kaksikasvuisen variaatio-ongelman minimoijan olemassaoloa ja säännöllisyyttä. Erityisesti osoitetaan, että minimoiva funktio on Hölder-jatkuva ja sen gradientille parempi integroituvuus.

Kaksi ensimmäistä lukua käsittelevät esitietoja, läpi työn käytettäviä merkintöjä sekä kahta iteraatiolemmaa. Ensimmäisessä luvussa esitellään myös yleisimmin käytettävät epäyhtälöt sekä läpi tutkielman voimassa olevat oletukset.

Kolmannessa luvussa esitetään todistus lokaalin minimoijan olemassaololle tarkastelemalla variaatio-ongelman funktionaalia $\mathcal{F}$. Olettamalla, että $\mathcal{F}$ on rajoitettu, koersiivinen ja sileä, nähdään lokaalin minimoijan olemassa olo funktionaalianalyysin keinoja käyttäen.

Luvut neljä ja viisi käsittelevät lokaalin minimoijan säännöllisyyttä. Luvussa neljä osoitetaan eräs Sobolev--Poincar\'e-epäyhtälö ja gradientin parempi integroituvuus. Tähän tarvitaan Sobolev--Poicanr\'e -epäyhtälön lisäksi Gehringin lemmaa. Luvussa viisi käydään läpi minimoijan Hölder-jatkuvuuden todistus de Giorgin metodin kaltaisella päättelyllä.