The Geometry of Metric Spaces

Abstract

This Master’s Thesis investigates the geometry of different metric spaces. There are three types of metrics and metric spaces in our main focus. First, we will focus on the complex plane with the usual Euclidean metric that has been slightly modified so as to make it suitable for complex numbers. Then, we will present two different models for the hyperbolic geometry with their own hyperbolic distances that can be derived from each other. In the end of this thesis, we will also introduce the triangular ratio metric that can be applied to different domains in metric spaces that have fulfilled a certain condition presented with the definition.

Tämä Pro gradu -tutkielma tutkii eri metristen avaruuksien geometriaa. Työ jakautuu kolmeen pääosaan. Ensin esitellään kompleksiluvut, niiden perusominaisuudet ja kompleksitaso sekä kyseiseen tasoon liittyvä euklidinen metriikka, joka on muokattu kompleksiluvuille sopivaksi. Sitten käsitellään hyperbolista geometriaa ja sen rakenteita kahden eri hyperbolisen geometrian mallin avulla. Lopuksi määritellään kolmisuhdemetriikka ja esitellään muutamia siihen liittyviä tuloksia sekä algoritmeja.