Waringin ongelma

Abstract

Tutkielmassa perehdytään Waringin ongelmaan käyttäen apuna Hardyn ja Littlewoodin ympyrämenetelmää. Erityisesti ollaan kiinnostuneita, että kun k on luonnollinen luku, niin mikä on pienin sellainen luku t, että jokainen riittävän suuri luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan t:n potenssiin k korotetun luonnollisen luvun summana. Pienintä tällaista lukua t merkitään symbolilla G(k).

Ympyrämenetelmä perustuu ajatukseen, että integroidaan sopivasti valittua eksponenttisummaa yksikkövälin ylitse. Tuloksena saadaan kuinka monella tavalla annettu luonnollinen luku voidaan esittää s:n potenssiin k korotetun luonnollisen luvun summana. Integraalin arvioimiseksi yksikköväli jaetaan pääkaariin ja sivukaariin, joita arviomalla saadaan vastaavasti päätermi ja virhetermi.

Tutkielman ensimmäisessä osassa käytetään ympyrämenetelmää sen osoittamiseen, että G(k) <= 2^k + 1.

Toisessa osassa perehdytään Vinogradovin keskiarvolauseeseen ja osoitetaan kuinka sen avulla voidaan todistaa, että G(k) << k^2 log k. Tämä tosin todistetaan vain sivukaarien osalta.