Katsaus kombinatoriikkaan lukiolaisille

Abstract

Kombinatoriikka on matematiikan osa-alue, joka suppean määritelmän mukaisesti laskee asioiden tai objektien lukumääriä ja vertailee, yhdistelee tai laskee niitä yhteen. Tämän tutkielman aiheena on esitellä kombinatoriikasta tärkeimpiä perusperiaatteita ja niiden sovelluksia lukiolaisille. Tutkielma on laadittu niin, että se pyrkii opettamaan asiat esimerkkien ja harjoitustehtävien avulla johdattaen lukijaa kombinatoriseen ajatteluun.

Johdannon jälkeen aloitetaan alkeista esitellen summa-, tulo- ja osamääräperiaate, joilla määritetään joukkojen kokoja. Samoin esitellään eräs kombinatoriikan tärkeimmistä tuloksista eli bijektioperiaate, jolla voidaan osoittaa kahden joukon olevan yhtä suuria, sekä binomikertoimien yhteydessä esiintyvä Pascalin kolmio ja binomilause, joilla voidaan muun muassa määrittää kahden termin summan potensseja. Seuraavat kaksi lukua käyvät läpi muutamia sovelluksia perusperiaatteille kuten lokeroperiaate ja Ramseyn luvut ja laajentavat lukijan ajattelua lisäongelmien muodossa. Viimeisessä luvussa on esimerkkivastaukset tutkielman harjoitustehtäviin.

Tutkielman päälähde on edesmenneen Kenneth P. Bogartin keskeneräiseksi jäänyt teos Combinatorics Through Guided Discovery, jonka ideana on opettaa kombinatoriikkaa oivalluksien avulla.