Tasokuvioiden heijastusongelmat

Abstract

Pro gradu -tutkielman tavoitteena oli selvittää tasokuvioiden heijastusongelmia. Ideana oli ajatella tasokuviota huoneena, jonka kaikki seinät ovat peilejä. Sitten huoneeseen päästetään valonsäde, joka heijastuu seinistä ja kulkee ympäri huonetta. Tutkielmassa käsittelemme teräväkulmaisten ja suorakulmaisten kolmioiden heijastuspolkuja. Näiden lisäksi käsittelemme tasokuvioita, joita on mahdotonta valaista yhdellä valonlähteellä. Tasokuvioiden heijastusongelmat ovat matemaattisten ongelmien luokka, joka tutkii peilattujen seinien valaistusta pistevalolähteillä. Tässä tutkielmassa käsitellään neljäkkään ja viuhkan rakennetta osoittamaan jaksollisten polkujen olemassaolon suorakulmaisissa kolmioissa. Olkoon β jonkin suorakulmaisen kolmion pienin sisäkulma ja olkoon N = [ π / 2 β ] − 1 . Tällöin jokainen suorakulmaisen kolmion lyhyemmän sivun sisäinen piste sijaitsee yksikäsitteisellä polulla, jossa on (4 k + 2) heijastusta sykliä kohden, kaikille k = 1 , 2 , . . . , N − 1 ja jokainen lyhyemmän kateetin jonkin alajanan sisäpiste sijaitsee yksikäsitteisellä polulla, jossa on 4 N + 2 heijastusta sykliä kohti.