Johdatus leskeneläkkeen matemaattisiin perusteisiin

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esittää vakuutusmatematiikassa käytetyn leskeneläkemallin matemaattiset perusteet sekä esitellä sen parametrien estimointiin ja mallintamiseen hyödynnettäviä menetelmiä sekä muutamia hyödyllisiä käytännön sovelluksia. Huomataan, että erona yhden hengen elinaikamalliin kahden hengen malli tuo mukanaan elinaikojen riippuvuuteen liittyviä haasteita, joiden analysointiin ja käsittelyyn osoitetaan muutamia käytännöllisiä metodeja.

Tutkielmassa käsitellään myös äärellistilaisen jatkuva-aikaisen Markov-ketjun ominaisuuksia sekä käydään läpi sen pohjalta formuloitavien differentaaliyhtälöiden ratkeavuutta sekä ratkaisujen yksikäsitteisyyttä. Lisäksi huomataan, että intensiteetit tuntemalla voidaan ratkaista Markov-ketjun tilojen välisten siirtymien siirtymätodennäköisyydet. Viimeisissä luvuissa määritellään kuolevuus ja muotoillaan aiemman teorian pohjalta kahden hengen riippuvan elinaikamallin mallintamiseen liittyviä käsitteitä ja ominaisuuksia.

Tutkielman kopulamallia koskevassa luvussa käydään vielä läpi kopuloiden yleistä teoriaa ja estimoidaan kopulamallin avulla leskeneläkkeen suuruutta. Lopussa käydään vielä lyhyesti läpi Arkimedeen kopuloiden teoriaa ja esitellään lyhyesti sopivan kopulan valintaan liittyvä yksinkertainen metodi.