Tason inversio

Abstract

Tason inversio on yksi mielenkiintoisimmista tason transformaatioista. Sen avulla voidaan yksinkertaistaa useiden haastavien ympyrägeometristen ongelmien ratkaisua. Tason inversio on kuvauksena selkeä ja helposti ymmärrettävissä mutta se ei kuitenkaan ole isometria eikä affiini kuvaus kuten useimpien tuntemat translaatio, rotaatio ja peilaus ovat. Se ei siten yleisesti säilytä kuvioiden geometrisia ominaisuuksia kuten etäisyyksiä, kulmia tai kaarevuuksia muuttumattomina. Sen sijaan se vaikuttaa niihin hyödyllisellä tavalla. Tason inversio esimerkiksi kuvaa inversiokeskuksen kautta kulkevat ympyrät suoriksi ja päinvastoin. Inversiotasossa käytetäänkin käsitettä yleistetty ympyrä, jolla viitataan sekä suoriin että ympyröihin. Siten tason inversio kuvaa aina yleistetyt ympyrät yleistetyiksi ympyröiksi. Kuvauksena tason inversio on kääntäen konforminen, joka on keskeinen ominaisuus useissa tason inversion sovelluksissa. Erityisesti kuvioiden tangentiaalisuuden ja ortogonaalisuuden säilymistä hyödynnetään niin väitteiden todistuksissa kuin geometristen konstruktioiden laatimisessa.

Tämän tutkielman tavoitteena on esitellä monipuolisesti tason inversiota ja sen sovelluksia. Tutkielman aluksi tutustutaan aihepiirin historiaan. Tämän jälkeen määritellään tason inversio ja havainnollistetaan sitä geometristen konstruktioiden avulla. Määritelmästä edetään tason inversion ominaisuuksiin, jotka todistetaan euklidisen tasogeometrian avulla. Näistä keskeisimpiä ovat tason inversion vaikutus suoriin ja ympyröihin sekä tasokäyrien välisten kulmien säilyminen. Lopuksi esitellään tason inversion käyttöä erilaisissa sovelluksissa niin matematiikassa kuin muissakin tieteissä.