Ellipsi ja Dandelinin pallot

Abstract

Muinaiset kreikkalaiset matemaatikot tutkivat kartioleikkauksia jo 200 eaa.[7] Ellipsi on yksi kartioleikkauksista, jota Johannes Kepler hyödynsi tutkiessaan planeettojen liikeratoja 1600-luvulla. [1]Dandelin pallot ovat vuodelta 1822, ja ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Germinal Pierre Dandelinin mukaan. [4] Ellipsi on yksi kartioleikkauksista. Se syntyy, kun taso leikka kartion siten, että tason kaltevuus on pienempi kuin kartion sivujanojen kaltevuus. Tällöin taso leikkaa kaikki kartion sivujanat ja leikkaus on suljettu käyrä – eli ellipsi. [5] Kahden Dandelinin pallon avulla voidaan todistaa, että kartion ja tason leikkaus- käyrä on kartioleikkaus. Näiden pallojen tason kanssa muodostamat sivuamispisteet ovat kartioleikkauksen polttopisteet. [4] Työssä keskitytään ellipsiin ja Dandelinin palloihin. Niiden avulla voidaan todistaa, että kun taso leikkaa kartion sopivalla tavalla, leikkauskäyrä on ellipsi. Tutkielmassa esitellään ensin useita ellipsin määritelmiä ja osoitetaan, että ne ovat keskenään ekvivalentteja. Tämän jälkeen Dandelinin pallojen avulla esitetään moderni todistus siitä, että tarkasteltavassa tilanteessa kartion ja tason leikkauskäyrä on ellipsi. Lisäksi todistuksessa osoitetaan, että ellipsin polttopisteet vastaavat Dandelinin pallojen ja leikkavaan tason tangeerauspisteitä.