Pienemmistä ja suuremmista epäyhtälöistä

Abstract

Tässä matematiikan opettajalinjan pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan epäyhtälöitä. Epäyhtälö on matemaattinen lause, joka määrittää kaksi suuretta tai lauseketta erisuuriksi ja asettaa ne suuruusjärjestykseen.

Tutkielma voidaan jakaa kahteen osaan. Luvuissa 1 ja 2 määritellään epäyhtälön käsite, käydään läpi epäyhtälöiden perusteita ja esitellään erilaisia epäyhtälötyyppejä ja niiden ratkaisutapoja. Luvussa 2 ratkaistaan polynomiepäyhtälöitä, kaksoisepäyhtälöitä, rationaaliepäyhtälöitä ja itseisarvoepäyhtälöitä sekä trigonometrisia funktioita koskevia epäyhtälöitä.

Luvuissa 3, 4 ja 5 esitellään ja tarkastellaan tunnettuja epäyhtälöitä. Luvuissa 3 käydään läpi niin keskiarvoepäyhtälöt ja suuruusjärjestysepäyhtälö kuin Cauchy– Schwarzin, Hölderin ja Minkowskin epäyhtälöt sekä Tšebyšovin summaepäyhtälö. Luvussa 4 käsitellään kolmioepäyhtälöä, Nesbittin ja Bernoullin epäyhtälöitä sekä Youngin ja Jensenin integraaliepäyhtälöitä. Luvussa 5 käydään läpi trigonometrisia funktioita sisältäviä epäyhtälöitä, Jordanin epäyhtälö, Huygensin epäyhtälö sekä Cusa–Huygensin epäyhtälö. Kunkin epäyhtälön historiaa käsitellään lyhyesti ja käyttöä havainnollistetaan esimerkein. Lisäksi lukujen 2, 3, 4 ja 5 loppuun on koottu harjoitustehtäviä, jotka liittyvät luvussa tarkasteltuihin epäyhtälöihin.