Generalized Orlicz spaces and partial differential equations with application to image restoration
Baruah, Debangana (2022-11-11)
Generalized Orlicz spaces and partial differential equations with application to image restoration
Baruah, Debangana
(11.11.2022)
Turun yliopisto
Julkaisun pysyvä osoite on:
https://urn.fi/URN:ISBN:978-951-29-9036-8
https://urn.fi/URN:ISBN:978-951-29-9036-8
Tiivistelmä
The research area of this thesis is nonlinear functional analysis, a branch of Mathematics which examines questions related to qualitative aspects of solution of a differential equation, such as existence, uniqueness, stability, solvability conditions. Owning to the rapid progress in image processing research involving variational problems, this research work deals with the study of existence and properties of minimizer for image restoration model under Sobolev-Orlicz function space setting.
The nature of image restoration that we deal here is noise reduction, where the observed image is assumed to be degraded by a random noise. The noise reduction problem is formulated as a minimization problem consisting of a least squares fit and a regularization term. In the proposed image denoising model, the regularization term represent a double-phase functional that serve the purpose of anisotropic diffusion along with isotropic smoothing, for piecewise smoothing and edge preservation. The mathematical modeling of image restoration problem requires the setting of the domain function space to permit discontinuities of the solution. In this respect, Sobolev-Orlicz function space, which consists of functions having weak derivatives and satisfy certain integrability conditions, provide a favorable framework. For solving such minimization problems, the so-called direct method in the Calculus of Variations is widely used, whose basic topological ingredients are the lower semicontinuity of the functional and the compactness of the lower level sets of the regularization functional. The natural question which then arises here is to study the regularity of such solutions and to establish under which conditions on the data and domain, we have a solution in the sense of distributions. This forms the main objective of my research from the theoretical perspective. Although considerable contributions have been devoted to this challenging question, investigating new approaches under the Sobolev-Orlicz space setting provide new insight into the matter.
In this thesis, the study of image restoration problem is carried out in two approaches: variational and PDE-based. The variational approach presents restoration through minimization, where the existence and uniqueness of minimizer is established using the direct Method of the Calculus of Variations. This approach gives information about the qualitative aspects of the model in the Sobolev-Orlicz space setting. In the PDE-based approach, we consider models in the form of heat flow differential equation, where the image is embedded in an evolution process in both space and time dimensions. This yields a quasilinear parabolic boundary value problem. However, due to the degenerate behavior of the PDE, it is not possible to apply general results from classical parabolic equations theory. Thus, to formulate a well-adapted framework, we regularize the PDE using approximations to obtain appropriate solvability conditions. The idea is to construct an approximated boundary problem whose solution converges to the solution of the heat flow problem, under the suitable conditions. Further, to prove the existence and uniqueness of the solution, we derive a few a priori estimates, which gives information about the qualitative behavior of the boundary function. This approach is particularly useful in determining the nature of the domain, where the image corresponds to a feasible solution, that is usually required for numerical purposes.
Finally, after proving the existence and uniqueness of the solution, we discretize the problem in order to find a numerical solution. The behaviour and efficiency of the model is then tested and illustrated through numerical experiments.
KEYWORDS: image restoration, double-phase, Sobolev-Orlicz space, minimizer, heat flow, PDE Tämän opinnäytetyön tutkimusalueena on epälineaarinen funktionaalinen analyysi, matematiikan haara, joka tutkii differentiaaliyhtälön ratkaisun laadullisiin näkökohtiin liittyviä kysymyksiä, kuten olemassaoloa, yksikäsitteisyyttä ja stabiilisuutta. Johtuen nopeasta edistymisestä kuvankäsittelytutkimuksessa, joka liittyy variaatio-ongelmiin, tämä tutkimustyö käsittelee kuvan restaurointimallin minimoijan olemassaoloa ja ominaisuuksia Sobolev-Orliczin funktioavaruuksissa.
Tässä käsiteltävä kuvan restauroinnin luonne on kohinanvaimennus, jossa oletetaan havaitun kuvan sisältävän satunnaista kohinaa. Kohinanvaimennusongelma on muotoiltu minimoimisongelmaksi, joka koostuu pienimmän neliösumman sovituksesta ja regularisointitermistä. Ehdotetussa kuvan kohinanpoistomallissa regularisointitermi edustaa kaksivaiheista (double phase) funktiota, jossa on sekä anisotrooppinen että isotrooppinen diffuusio paloittaista tasoittamista ja reunan säilyttämistä varten. Kuvan restaurointiongelman matemaattinen mallinnus edellyttää funktioavaruutta, joka mahdollistaa epäjatkuvuudet ratkaisussa. Tässä suhteessa Sobolev-Orlicz-funktioavaruus, joka koostuu funktioista, joilla on heikko derivaatta ja tietyt integroitavuusehdot, tarjoavat suotuisat puitteet. Tällaisten minimointiongelmien ratkaisemiseksi ns. variaatiolaskun suora menetelmä on laajalti käytössä, ja sen topologiset perusainekset ovat funktionaalin alhaalta puolijatkuvuus ja kompaktisuus. Luonnollinen kysymys on tutkia tällaisten ratkaisujen säännöllisyyttä ja pyrkiä määrittämään, millä ehdoilla meillä on ratkaisu distribuution mielessä. Tämä on tutkimukseni päätavoite teoreettisesta näkökulmasta. Vaikka tätä haastavaa kysymystä on tutkittu paljon, uudet lähestymistavat Sobolev-Orliczin avaruuksissa antavat uutta näkemystä asiaan.
Tässä opinnäytetyössä kuvan restaurointiongelmaa tutkitaan kahdella lähestymistavalla: variaatio- ja ODY-perustaisesti. Variaatiolaskennassa restaurointia lähestytään minimoinnin kautta, jossa olemassaolo ja minimoinnin yksikäsitteisyys sadaan käyttämällä suoraa variaatiolaskentamenetelmää. Tämä lähestymistapa antaa tietoa mallin laadullisista näkökohdista Sobolev-Orliczin avaruudessa. ODY-pohjaisessa lähestymistavassa tutkimme lämpöyhtälön muotoisia malleja, joissa on evoluutioprosessi sekä tila- että aikaulottuvuuksissa. Tämä tuottaa kvasilineaarisen parabolisen reuna-arvoongelman. ODY:n degeneroidun käyttäytymisen vuoksi siihen ei kuitenkaan voida soveltaa yleisiä tuloksia klassisesta parabolisten yhtälöiden teoriasta. Joten muotoillaksemme sopivan kehyksen, normalisoimme ODY:n käyttämällä approksimaatioita saadaksemme sopivat ratkeavuusehdot. Ideana on rakentaa likimääräiset reuna-arvo ongelmat, joiden ratkaisut suppenevat lämpöyhtälön ratkaisua kohti sopivissa olosuhteissa. Lisäksi todistaaksemme ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden johdamme a priori arvioita, jotka antavat tietoa rajafunktion laadullisesta käyttäytymisestä. Tämä lähestymistapa on erityisen hyödyllinen määritettäessä alueen luonnetta, jossa kuva vastaa mielekästä ratkaisua, jota yleensä tarvitaan numeerisissa sovelluksissa.
Lopuksi, kun olemme todistaneet ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden, diskretisoimme ongelman löytääksemme numeerisen ratkaisun. Sen jälkeen mallin käyttäytymistä ja tehokkuutta testataan ja havainnollistetaan numeerisilla kokeilla.
The nature of image restoration that we deal here is noise reduction, where the observed image is assumed to be degraded by a random noise. The noise reduction problem is formulated as a minimization problem consisting of a least squares fit and a regularization term. In the proposed image denoising model, the regularization term represent a double-phase functional that serve the purpose of anisotropic diffusion along with isotropic smoothing, for piecewise smoothing and edge preservation. The mathematical modeling of image restoration problem requires the setting of the domain function space to permit discontinuities of the solution. In this respect, Sobolev-Orlicz function space, which consists of functions having weak derivatives and satisfy certain integrability conditions, provide a favorable framework. For solving such minimization problems, the so-called direct method in the Calculus of Variations is widely used, whose basic topological ingredients are the lower semicontinuity of the functional and the compactness of the lower level sets of the regularization functional. The natural question which then arises here is to study the regularity of such solutions and to establish under which conditions on the data and domain, we have a solution in the sense of distributions. This forms the main objective of my research from the theoretical perspective. Although considerable contributions have been devoted to this challenging question, investigating new approaches under the Sobolev-Orlicz space setting provide new insight into the matter.
In this thesis, the study of image restoration problem is carried out in two approaches: variational and PDE-based. The variational approach presents restoration through minimization, where the existence and uniqueness of minimizer is established using the direct Method of the Calculus of Variations. This approach gives information about the qualitative aspects of the model in the Sobolev-Orlicz space setting. In the PDE-based approach, we consider models in the form of heat flow differential equation, where the image is embedded in an evolution process in both space and time dimensions. This yields a quasilinear parabolic boundary value problem. However, due to the degenerate behavior of the PDE, it is not possible to apply general results from classical parabolic equations theory. Thus, to formulate a well-adapted framework, we regularize the PDE using approximations to obtain appropriate solvability conditions. The idea is to construct an approximated boundary problem whose solution converges to the solution of the heat flow problem, under the suitable conditions. Further, to prove the existence and uniqueness of the solution, we derive a few a priori estimates, which gives information about the qualitative behavior of the boundary function. This approach is particularly useful in determining the nature of the domain, where the image corresponds to a feasible solution, that is usually required for numerical purposes.
Finally, after proving the existence and uniqueness of the solution, we discretize the problem in order to find a numerical solution. The behaviour and efficiency of the model is then tested and illustrated through numerical experiments.
KEYWORDS: image restoration, double-phase, Sobolev-Orlicz space, minimizer, heat flow, PDE
Tässä käsiteltävä kuvan restauroinnin luonne on kohinanvaimennus, jossa oletetaan havaitun kuvan sisältävän satunnaista kohinaa. Kohinanvaimennusongelma on muotoiltu minimoimisongelmaksi, joka koostuu pienimmän neliösumman sovituksesta ja regularisointitermistä. Ehdotetussa kuvan kohinanpoistomallissa regularisointitermi edustaa kaksivaiheista (double phase) funktiota, jossa on sekä anisotrooppinen että isotrooppinen diffuusio paloittaista tasoittamista ja reunan säilyttämistä varten. Kuvan restaurointiongelman matemaattinen mallinnus edellyttää funktioavaruutta, joka mahdollistaa epäjatkuvuudet ratkaisussa. Tässä suhteessa Sobolev-Orlicz-funktioavaruus, joka koostuu funktioista, joilla on heikko derivaatta ja tietyt integroitavuusehdot, tarjoavat suotuisat puitteet. Tällaisten minimointiongelmien ratkaisemiseksi ns. variaatiolaskun suora menetelmä on laajalti käytössä, ja sen topologiset perusainekset ovat funktionaalin alhaalta puolijatkuvuus ja kompaktisuus. Luonnollinen kysymys on tutkia tällaisten ratkaisujen säännöllisyyttä ja pyrkiä määrittämään, millä ehdoilla meillä on ratkaisu distribuution mielessä. Tämä on tutkimukseni päätavoite teoreettisesta näkökulmasta. Vaikka tätä haastavaa kysymystä on tutkittu paljon, uudet lähestymistavat Sobolev-Orliczin avaruuksissa antavat uutta näkemystä asiaan.
Tässä opinnäytetyössä kuvan restaurointiongelmaa tutkitaan kahdella lähestymistavalla: variaatio- ja ODY-perustaisesti. Variaatiolaskennassa restaurointia lähestytään minimoinnin kautta, jossa olemassaolo ja minimoinnin yksikäsitteisyys sadaan käyttämällä suoraa variaatiolaskentamenetelmää. Tämä lähestymistapa antaa tietoa mallin laadullisista näkökohdista Sobolev-Orliczin avaruudessa. ODY-pohjaisessa lähestymistavassa tutkimme lämpöyhtälön muotoisia malleja, joissa on evoluutioprosessi sekä tila- että aikaulottuvuuksissa. Tämä tuottaa kvasilineaarisen parabolisen reuna-arvoongelman. ODY:n degeneroidun käyttäytymisen vuoksi siihen ei kuitenkaan voida soveltaa yleisiä tuloksia klassisesta parabolisten yhtälöiden teoriasta. Joten muotoillaksemme sopivan kehyksen, normalisoimme ODY:n käyttämällä approksimaatioita saadaksemme sopivat ratkeavuusehdot. Ideana on rakentaa likimääräiset reuna-arvo ongelmat, joiden ratkaisut suppenevat lämpöyhtälön ratkaisua kohti sopivissa olosuhteissa. Lisäksi todistaaksemme ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden johdamme a priori arvioita, jotka antavat tietoa rajafunktion laadullisesta käyttäytymisestä. Tämä lähestymistapa on erityisen hyödyllinen määritettäessä alueen luonnetta, jossa kuva vastaa mielekästä ratkaisua, jota yleensä tarvitaan numeerisissa sovelluksissa.
Lopuksi, kun olemme todistaneet ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden, diskretisoimme ongelman löytääksemme numeerisen ratkaisun. Sen jälkeen mallin käyttäytymistä ja tehokkuutta testataan ja havainnollistetaan numeerisilla kokeilla.
Kokoelmat
- Väitöskirjat [2771]