Stokastiset differentiaaliyhtälöt korkomarkkinoilla : Wienerin prosessi ja sen sovellukset

Abstract

Rahoitusmarkkinoilla korkojen ajallinen vaihtelu on satunnaista, minkä vuoksi niiden mallintamisessa ja korkojohdannaisten hinnoittelussa tarvitaan stokastista analyysiä. Tässä kandidaatintutkielmassa tarkastellaan stokastisten differentiaaliyhtälöiden matemaattista teoriaa ja sen soveltamista korkomarkkinoiden lyhytkorkomalleihin. Työn tavoitteena on esittää, kuinka puhtaasta satunnaiskulusta johdetaan työkaluja reaalimaailman taloudellisten ilmiöiden kuvaamiseen. Työn alkupuolella määritellään teorian fundamentaalinen rakennuspalikka, Wienerin prosessi (Brownin liike), sekä tutkitaan sen matemaattisia ominaisuuksia. Tämän pohjalta rakennetaan Itô-kalkyylin perusteet esittelemällä Itô-prosessit, joissa ajautumis- ja diffuusiokertoimet voivat yleisesti olla myös alkeistapauksesta riippuvia stokastisia prosesseja. Lisäksi esitellään Itôn lemma, joka toimii stokastisen analyysin ketjusääntönä. Tämän jälkeen määritellään stokastiset differentiaaliyhtälöt (SDY) ja käydään läpi ehdot niiden yksikäsitteisten ratkaisujen olemassaololle. Tutkielman sovellusosassa teoria sidotaan riskineutraalin hinnoittelun viitekehykseen tarkastelemalla yksifaktorisia affiineja korkomalleja. Työssä analysoidaan ja vertaillaan yksityiskohtaisesti kahta klassista mallia: Vasicekin mallia ja Cox-Ingersoll- Ross-mallia (CIR). Molemmat mallit pystyvät kuvaamaan korkotasoille tyypillistä keskiarvohakuisuutta (mean reversion). Tutkielmassa osoitetaan mallien matemaattiset erot: lineaariseen Ornstein-Uhlenbeck-prosessiin perustuva Vasicekin malli sallii negatiiviset korot, kun taas CIR-mallin hyödyntämä neliöjuuridiffuusio takaa Fellerin ehdon vallitessa korkojen aidon positiivisuuden. Yhteenvetona todetaan, että stokastiset differentiaaliyhtälöt tarjoavat johdonmukaisen, analyyttisesti käsiteltävän ja taloudellisesti intuitiivisen tavan korkodynamiikan mallintamiseen, toimien välttämättömänä pohjana nykyaikaiselle rahoitusmatematiikalle.