Vapaat ryhmät, niiden toiminta puilla ja residuaalinen äärellisyys

Abstract

Tässä tutkielmassa tutkitaan vapaita ryhmiä ja niiden ominaisuuksia. Erityisesti tarkastelun kohteina ovat vapaiden ryhmien toiminnat puille ja vapaiden ryhmien residuaalinen äärellisyys. Tutkielman kolmannessa luvussa määritellään vapaat ryhmät ja tutustutaan niiden konstruktioon. Tämän jälkeen määritellään vapaan ryhmän aste Cantor-Bernsteinin lauseen avulla. Lisäksi tutustutaan sanojen redusoituihin muotoihin ja esitellään Kleinin Ping-Pong lemma. Tutkielman neljännessä luvussa tutustutaan graafeihin, erityisesti puihin. Tämän jälkeen esitellään joukon S generoiman ryhmän G Cayleyn graafi Γ(G, S) ja tarkas- tellaan ryhmän toimintaa puilla. Tutkielman viimeisessä luvussa tutkitaan residuaalista äärellisyyttä ja osoitetaan, että kaikki vapaat ryhmät ovat residuaalisesti äärellisiä.