Riemannin zeeta-funktio ja sen yhteys alkulukuihin

Abstract

Riemannin zeeta-funktio on laajasti tunnettu ja käytetty funktio, jolla on yhteyksiä alkulukuihin. Tämän yhteyden tutkiminen on erityisesti saanut alkunsa noin 1800-luvun puolivälissä saksalaisen Bernhard Riemannin ansiokkaasta työstä. Riemann teki lukuteorian kannalta mullistavia otaksumia, jotka kuitenkin usein jäivät muiden todistettaviksi ja esimerkiksi kuuluisaa Riemannin hypoteesia ei vieläkään olla todistettu.

Alkuluvut ovat keskeisessä roolissa lukuteoriassa ja tämä opitaan yleensä hyvin aikaisessa vaiheessa, kun kokonaislukujen ominaisuuksia tutkitaan. Jaollisuussäännöiltään ainutlaatuiset alkuluvut voivat kiehtoa mystisyydellään, sillä niiden kaikkia salaisuuksia ei olla onnistuttu selvittämään. Alkulukujen tarkan lukumäärän laskeminen tietyllä välillä osoittautuu työlääksi ongelmaksi, sillä mitään helppoa kaavaa ei tähän ongelmaan ole tarjolla.

Tässä tutkielmassa osoitetaan Riemannin zeeta-funktion avulla erityisesti funktioteoriaa hyödyntämällä, että alkulukujen jakautumisella ja zeeta-funktiolla on selvä yhteys. Tämä yhteys tiivistyy lopulta hyvin eleganttiin muotoon. Havaitaan, että alkulukujen jakautuminen liittyy suoraan joukkoon kompleksilukuja, joilla zeeta-funktio saa arvon nolla.

Tutkielman erityinen tavoite on johtaa alkulukulause, joka tarkoittaa sitä, että alkulukujen jakautumista voidaan ennustaa menestyksekkäästi. On siis mahdollista johtaa kaava, jonka antama arvio alkulukujen lukumäärästä annetun lukuarvon alapuolella lähestyy tämän lukuarvon kasvaessa suhteellisesti alkulukujen todellista lukumäärää. Tämä tarkoittaa, että arvion virhe prosentteina lähestyy nollaa. Lopussa tarkastellaan myös Riemannin hypoteesia ja zeeta-funktion merkitystä lukuteoriassa.