Mittateoreettinen johdanto hiukkassuotimiin

Abstract

Tässä tutkielmassa esitetään matemaattisten suotimien rakenneperiaatteita, jotka perustuvat todennäköisyysteoriaan sekä Bayesilaiseen estimaattoriteoriaan. Ennen varsinaisen suodinteorian käsittelyä esitetään stokastisten differentiaaliyhtälöiden perusteet, joita sovelletaan suotimien tila- ja havaintomalliin sekä esitettävien suodinmenetelmien sekä niiden ominaisuuksien todistamiseen.

Yleisesti tunnetun Kalman-Bucy-suotimen matemaattinen rakenne esitetään yksityiskohtaisesti Itô-laskennon avulla, jonka jälkeen suodinteoriassa edetään monimutkaisempiin ympäristöihin soveltuviin, numeerisesti tehokkaisiin ja monissa sovelluksissa hyödyllisiin hiukkassuotimiin. Näistä hiukkassuotimista esitetään diskreetti- sekä jatkuva-aikaisten iteraatiomenetelmien teoreettiset lähtökohdat sekä numeeriset algoritmit.

Lukijalta oletetaan ennakkotietona todennäköisyyslaskennan sekä mittateorian tuntemusta.

This thesis explores the principles of mathematical filters which are based on probability theory and Bayesian estimation theory. Before introducing filtering theory some required parts of the theory of stochastic differential equations is also presented. This theory is used for the state and observation models of the mathematical filtering methods to be presented as well as to prove their properties.

The commonly known Kalman-Bucy filter's mathematical structure is first shown in a detailed way with the use of Itô calculus. Afterwards filtering theory will be explored in the area of particle filters, which can be applied to more complex non-linear environments and models. These particle filters are generally considered numerically performant and useful in many different application contexts. Both discrete and continuous time versions of the particle filter methods are introduced in terms of theory and numerical algorithms.

The reader is expected to have experience with probability theory and measure theory.