Pell'n yhtälön sovelluksia

Abstract

Tässä tutkielmassa esitetään Pell’n yhtälön ominaisuuksia ja sovelluksia. Pell’n yhtälöksi kutsutaan yhtälöä x^2-〖dy〗^2=1, missä luvut x ja y ovat kokonaislukuja ja d on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole minkään kokonaisluvun neliö. Tässä tutkielmassa keskitytään Pell’n yhtälön kokonaislukuratkaisujen löytämiseen ja sen sovelluksien algebralliseen tarkasteluun. Ensiksi tutkielmassa tarkastellaan lyhyesti Pell’n yhtälön historiaa sekä määritelmää ja triviaaleja ratkaisuja. Tämän jälkeen todistetaan, että Pell’n yhtälöllä on olemassa vähintään yksi epätriviaali kokonaislukuratkaisu kaikille positiivisille kokonaisluvuille d, jotka eivät ole neliöitä. Tämän jälkeen voidaan esittää menetelmä kaikkien Pell’n yhtälön ratkaisujen löytämiseksi. Tutkielman jälkimmäisessä osassa tarkastellaan erilaisia lukuteoreettisia sovelluksia, joiden ratkaisemisessa käytetään apuna Pell’n yhtälön ominaisuuksia. Tätä varten määritellään yleistetty Pell’n yhtälö ja negatiivinen Pell’n yhtälö. Näiden yhtälöiden ominaisuuksia käytetään kolmio-neliölukuihin, Arkhimedeen karja-ongelman ratkaisemiseen, Pythagoraan kolmioihin, neliöjuuren likiarvon laskemiseen ja peräkkäisten lukujen ja neliöiden summien tarkasteluun.