Johdatus julkisen avaimen kryptosysteemeihin

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on toimia johdatuksena julkisen avaimen kryptosysteemeihin sekä niiden sovelluksiin. Lukijalta odotetaan vähintään lukion pitkän matematiikan oppimäärän hallitsemista, mutta tästä huolimatta tutkielma pyrkii olemaan mahdollisimman itsenäinen kokonaisuus, jonka vuoksi pohjatietojen esittely alkaa jaollisuuden ja alkulukujen kaltaisista yksinkertaisista määritelmistä, joiden pohjalta edetään hiljalleen erilaisiin kryptografian kannalta olennaisiin tuloksiin.

Toisessa luvussa esitellään tärkeimpiä lukuteoriaan ja ryhmien teoriaan liittyviä pohjatietoja, joita myöhemmin käytetään kryptosysteemien määritelmissä ja soveltamisessa. Keskeisimpiä aiheita ovat esimerkiksi suurin yhteinen tekijä, kiinalainen jäännöslause ja diskreetin logaritmin ongelma, minkä lisäksi luku sisältää useita pienempiä lauseita, joita käytetään ensisijaisesti aputuloksina tärkeämpiä tuloksia todistaessa.

Kolmannessa luvussa siirrytään itse kryptosysteemien käsittelyyn, joka alkaa kryptografian ja kryptosysteemien esittelystä yleisellä tasolla, minkä jälkeen tarkasteluun otetaan yksi kerrallaan RSA-, Rabin- ja ElGamal-kryptosysteemit. Jokaisen kryptosysteemin kohdalla käydään yksityiskohtaisesti läpi systeemin rakenne ja toiminta, todistetaan salauksen ja sen purkamisen oikeellisuus sekä lasketaan pieniä lukuarvoja käyttäen yksi laskuesimerkki.

Tutkielman lopuksi neljännessä luvussa otetaan vielä tarkasteluun julkisen avaimen kryptografian todennäköisesti tärkein sovellus eli digitaaliset allekirjoitukset. Lukija johdatetaan digitaalisten allekirjoitusmenetelmien toimintaan samalla tavalla kuin vastaaviin salaussysteemeihinkin, eli menetelmän toiminta käydään ensin yksityiskohtaisesti läpi, minkä jälkeen lasketaan pieniä lukuja käyttäen yksi käytännön laskuesimerkki.