Täydellisyysaksiooma

Abstract

Reaalilukujen joukko R koostuu irrationaali-ja rationaaliluvuista. Siinä missä rationaaliluvut jättävät lukusuoralle tyhjiä kohtia, reaaliluvut täyttävät koko lukusuoran niin, että sen pisteet vastaavat yhtä reaalilukua ja päinvastoin. Tätä reaalilukujen ominaisuutta kuvaa täydellisyysaksiooma. Täydellisyysaksiooman mukaan ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä reaalilukujen osajoukolla on aina pienin yläraja eli supremum, joka on reaaliluku. Joukkoa A ⊆ R sanotaan ylhäältä rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen reaaliluku b , että a ≤ b kaikilla a ∈ A . Tässä työssä tutkitaan reaalilukujen täydellisyysominaisuutta. Ensin käydään läpi lyhyesti reaalilukujen historiaa. Sen jälkeen tutustutaan täydellisyysaksiooman määritelmään ja sen seurauksiin. Lopuksi tutkitaan vielä reaalilukujen olemassaoloa. Työn pääasiallinen lähde on Stephen Abbottin kirja Understanding Analysis . Työ on tarkoitettu erityisesti reaaliluvuista kiinnostuneille ja vaatii perusanalyysin tuntemusta.