Matematiikan joukko-opillisia perusteita

Abstract

Tutkielman aiheena on joidenkin matematiikan peruskäsitteiden esittäminen joukkoopin keinoin. Muun muassa järjestetyt parit eli kahden komponentin vektorit ja luonnolliset luvut voidaan kohtalaisen yksinkertaisesti esittää pelkistettyinä joukkoina. Pelkistetyt joukot ovat joukkoja, joiden kaikki jäsenet, jäsenten jäsenet ja niin edespäin ovat joukkoja.

Määritelmät ja todistukset esitetään formalismin hengessä matemaattisella symbolikielellä. Tarkoitus on varmistua, että perustelut todella noudattavat tutkielman alussa asetettuja sääntöjä ja sopimuksia ja perustuvat tutkielmassa esitettyihin aksioomiin. Aksiomaattisen joukko-opin suhdetta intuitioon perustuvaan naiiviin joukkooppiin pyritään selvittämään perustelemalla syitä eri aksioomien asettamiselle.

Monen asetetun aksiooman tarkoitus on mahdollistaa uusien joukkojen muodostaminen tai toisin ilmaisten kertoa, minkälaisia joukkoja on olemassa. Tällaisia aksioomia asetettaessa on oltava varovainen, jottei teoria ajaudu ristiriitaan. Joukkoja on voitava määritellä esimerkiksi ominaisuuden perusteella, jonka täyttävät alkiot valitaan joukon jäseniksi. Siksi esitetään separaatioaksiooma, jonka muoto on niin kutsutun Russellin paradoksin vuoksi harkittava tarkoin.

Lopuksi tarkastellaan lyhyesti äärettömiä joukkoja ja joukkoina esitettyjen luonnollisten lukujen yhteenlaskua. Yksinkertaisuudestaan huolimatta äärettömyyden ja yhteenlaskun käsitteet osoittautuvat tämän tutkielman puitteissa liian hankaliksi, kun ne yritetään esittää täsmällisen formaalisesti.