Paikan ja liikemäärän yhteismittaukset ja niihin liittyvät epätarkkuusrelaatiot

Abstract

Perinteisessä kvanttimekaniikassa fysikaaliset suureet samaistetaan Hilbertin avaruuden itseadjungoitujen operaattorien, tai yhtäpitävästi niitä vastaavien spektraalimittojen kanssa. Suureet ovat samanaikaisesti mitattavissa silloin, kun on olemassa kolmas suure, ns. yhdistetty suure, jonka marginaaleina nämä saadaan. Paikka- ja liikemääräsuureiden tapauksessa tällaista yhdistetty suuretta ei ole, ja Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen eräs muotoilu onkin, että paikka ja liikemäärä voidaan mitata samanaikaisesti vain, jos mittauksessa sallitaan tietty epätarkkuus.

Onkin mahdollista konstruoida mittaus, jossa tarkan paikan ja liikemäärän sijaan mitataan niiden sumeita eli epätarkkoja versioita siten, että yhteismittaus on mahdollinen. Tällöin fysikaalinen suure pitää määritellä yleisempänä normoituna positiivioperaattorina eli semispektraalimittana. Tämän lisäksi pitää olla jokin keino karakterisoida sitä, miten hyvin nämä sumeat suureet kuvaavat vastaavia tarkkoja suureita.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan paikan ja liikemäärän yhteismittausten problematiikkaa. Approksimaatiosta johtuvaa virhettä kuvaamaan annetaan kolme mittaa: standardimitta, geometrinen mitta ja virheen kaistanleveys. Pääpaino on geometrisen mitan matemaattisessa tarkastelussa. Geometrisen mitan ja virheen kaistanleveyden tapauksessa johdetaan epäyhtälöt kuvaamaan rajoja, joiden puitteissa tarkkaa paikkaa ja liikemäärää voidaan approksimatiivisestimitata samanaikaisesti.