Ptolemaioksen lauseen yleistyksestä tasokäyrien tasaisuuden luonnehtimiseksi

Abstract

Tutkielma tarkastelee tasokäyrien tasaisuuden mittaamista lukuarvona, jonka määritelmä perustetaan geometriseen Ptolemaioksen lauseeseen. Tarkoituksena on selvittää, missä määrin luotu mitta sopii käyrien tasaisuuden luonnehdinnaksi, mutta päämääränä on myös määrittää tavanomaisimpien tasokuvioiden tasaisuus mitalla mitattuina.

Mitattava arvo on tullut jo aikaisemmissa tutkimuksissa esille, ja sen perusteella voidaan muotoilla välttämätön ja riittävä ehto niin sanotuille kvasiympyröille. Myös yhteys K-kvasiympyröitä kuvaavaan suureeseen K on olemassa. Silti arvon tutkimus on toistaiseksi ollut vähäistä, joten tutkielma syventyy arvon määrittämisen lisäksi uusien menetelmien kehittämiseen. Pääasiallisena työkaluna tässä tehtävässä ovat Möbius-kuvaukset.

Lukuarvon tutkimuksen ohella selvitetään sen yhteyksiä toiseen käyräkohtaiseen vakioon. Tasoalueille määritelty uniformisuusvakio ilmentää eräässä esitysmuodossa samankaltaisia piirteitä kuin alueen reunakäyrälle kehitetty tasaisuuden mitta. Tähän näennäiseen yhteyteen perustuva tutkimushypoteesi osoitetaan alkuperäisessä muodossaan osittain vääräksi, mutta otaksuma tulee jalostetuksi saatujen tulosten perusteella. Vaikka tyhjentävää kuvausta yhteydestä ei saada, tutkimus paljastaa samankaltaisuuksia ja eroja tarkasteltavien lukujen luonteissa.