Greenin identiteetit ja funktiot

Abstract

Tutkielmassa tutkitaan Greenin identiteettejä ja funktioita sekä niiden soveltamista harmonisten funktioiden analysointiin. Erityisesti tutkitaan, miten nämä mahdollistavat raja-arvo-ongelmien, kuten Dirichletin ja Poissonin ongelmien, ratkaisemisen. Tutkielmassa esitellään Greenin ensimmäinen ja toinen identiteetti, joita hyödynnetään keskiarvo-ominaisuuden, maksimiperiaatteen ja Dirichletin periaatteen johtamisessa. Toisessa osassa tutkitaan Greenin funktioiden rakennetta, symmetriaa ja erityistapauksia puolitilassa ja pallossa. Esitetyt menetelmät perustuvat klassisiin analyyttisiin tekniikoihin ja edellyttävät lukijalta ymmärrystä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä, integraalilaskennasta sekä harmonisten funktioiden ominaisuuksista.